江苏省宿迁市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷（解析版）

PAGE1高一年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.已知复数满足，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可求得的值.【详解】由题意可得，故.故选：B.2.在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，进而判断各选项即可.【详解】对于A，因为，则不共线，故A正确；对于B，因为，则共线，故B错误；对于C，因为，则共线，故C错误；对于D，因为，则共线，故D错误.故选：A.3.化简的值为A. B. C.- D.-【答案】A【解析】【分析】先将75°统一成15°，利用余弦和的公式化简即可．【详解】cos15°cos45°－cos75°sin45°=，故选A【点睛】余弦和差公式为,．4.已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（）A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，12【答案】C【解析】【分析】利用中位数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差．【详解】因为数据的中位数为2，方差为3，所以数据的中位数为，方差为.故选：C5.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确.【详解】A选项：如图：在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误；B选项：如图：在正方体中，，此时，B选项错误；D选项：如图：在正方体中：，此时，D选项错误；C选项：如图：过作平面，使得，，∵，∴，则，又∵，∴，∴，C选项正确.故选：C.6.已知事件相互独立，若，则的值为（）A.0.36 B.0.4 C.0.6 D.0.76【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可.【详解】由题意，，则，即.故选：B.7.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理求出，再由正切函数定义即可求解.【详解】由正弦定理可得，所以.故选：D.8.如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据几何体轴截面结构特征依次求出台体母线长为和，接着结合题设条件得，再由台体侧面积公式和基本不等式及其配凑法即可求解.【详解】如图为几何体的轴截面，为上下底面中心，为球心，为球与母线的切点，台体上下底半径分别为，则，又因为，所以与全等，所以，同理可得，所以台体母线长为，所以，则，所以台体的侧面积为，当且仅当即时等号成立.圆台的侧面积最小值为.故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（）A.环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B.环比涨跌幅的平均数为C.环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D.同比涨跌幅的75百分位数为【答案】AC【解析】【分析】根据极差，平均数和百分位数的定义进行计算，判断ABD；根据图表中数据波动情况判断C选项，【详解】A选项，环比涨跌幅的极差为，同比涨跌幅的极差为，环比涨跌幅极差小于同比涨跌幅的极差，A正确；B选项，，，故环比涨跌幅的平均数为，B错误；C选项，根据统计图可以看出，环比涨跌幅的波动情况小于同比涨跌幅的波动情况，且从A可知环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，故环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差，C正确；D选项，同比涨跌幅从小到大排序为，，故从小到大，选取第9个和第10个的平均数作为75百分位数，即，D错误.故选：AC10.已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（）A.若，则为锐角三角形B.若，则只有一解C.若，则的面积为D.若为锐角三角形，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，依次由余弦定理求出即可求解判断；对于B，由即可判断；对于C，先由正弦定理求出a，再由面积公式即可求解判断；对于D，先由题设求出的取值范围，再由正弦定理结合两角差的正弦公式以及弦化切即可求出即可求解判断.【详解】对于A，若，则即，所以且即，所以为锐角三角形，故A正确；对于B，若，则，所以有两解，故B错误；对于C，若，则，则，所以，故C正确；对于D，由题，若为锐角三角形，则，所以，所以，故D正确.故选：ACD11.如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（）A.截面形状是梯形 B.截面形状可能为等腰梯形C.直线与直线相交 D.直线与直线相交【答案】ACD【解析】【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断.【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点，直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面，对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确；对于AB，平面平面，平面平面，平面平面，则，，因此截面是梯形，A正确；在等腰中，在线段上（除端点外），则，而，于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知，则的值为______.【答案】##【解析】【分析】对题设条件平方并结合倍角公式即可计算求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.13.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】由题可知，所以.故答案为：14.在中，为边上一点，，且的面积为，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先由直角三角形面积结合题设的b，进而依次得、和，接着在中依次求出和即可由结合两角和正弦公式求解.详解】由题得，所以，所以即，所以，，所以在中，所以，所以，所以.故答案为：四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知，，与的夹角为．（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可；（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值.【小问1详解】根据题意，，又.【小问2详解】根据题意，，即，，解得.16.已知函数（其中）最小正周期为.（1）若，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由两角差正弦公式和周期化简并求出解析式，再结合题设、诱导公式、商数关系和两角差的正切公式即可求解；（2）先由题设依次求出和，再结合和两角和正弦公式即可求解.【小问1详解】，因为，所以，则，所以.因为，所以原式.【小问2详解】因为，所以，因为，所以，则，所以.17.高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；（2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；（3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.【答案】（1）75，180（2）71（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和方差的计算公式即可依次计算求解；（2）由样本总平均成绩即可估计所有学生的平均成绩；（3）一一列举样本点，再由古典概型计算即可.【小问1详解】由题估计所有男生的平均成绩为，估计所有男生的方差为所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180；【小问2详解】全体学生的平均数；【小问3详解】抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为，事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生，则样本空间，，所以，所以.18.如图（1），正方形的边长为分别为的中点，与对角线的交点分别为，对角线交于，沿图中虚线折起，使三点重合于点，得到图（2）所示的多面体.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由结合线面平行判定定理即可得证；（2）先求证平面，再由面面垂直判定定理即可求证；（3）先求证以平面，进而求出，接着由图（1）中得，进而得即可计算求解.【小问1详解】证明：由图（1），分别为的中点，所以，即，又平面平面，所以平面；【小问2详解】由（1）得，因为，所以，即，，即.又因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；【小问3详解】因为且都在平面内，所以平面，所以，图（1）中，因为，所以，所以，所以，所以.19.在中，角所对的边分别为.（1）若为线段中点，求线段的长；（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、余弦定理求出，再由可