第4章 相似三角形 章末重难点检测卷（教师版）-浙教版(2024)九上

第4章相似三角形重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．若线段，，则线段，的比例中项为（

）A． B． C．6 D．【答案】C【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可．【详解】设线段，的比例中项为，则，解得：又因为为线段，所以．故选：C．2．如图，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，即可得出结果．【详解】解：∵，∴．∵，∴．故选C．3．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．【详解】解：∵点为的黄金分割点（），∴，故选：A．4．如图，已知且，则的长为（

）A．12 B．13 C．18 D．21【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．【详解】解：，，，解得：，故选：D．5．如图所示，四边形和是以点O为位似中心的位似图形．若，四边形的面积是，则四边形的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了位似变换的概念和性质．解题的关键在于正确理解如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形的面积即可．【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，，∴，∴，即，解得，∴四边形的面积是，故选：．6．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为，则像的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答．【详解】解：根据题意可得：，∵，∴，∴，∵，∴，故选：C．7．如图，E为的边上一点，交对角线于点F，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质．由得到，由平行四边形的性质得到，从而，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴，∴．故选：B8．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵，，，∴，，∵平分，，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．9．如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查重心的性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解．【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点．点是的重心，，，，．．又，．又，，，．故选：C．10．好图，是的内接三角形，、弦，交的延长线于点．已知，，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点E，连接并延长交于D，连接，由垂径定理和三线合一定理可得，则C、O、E三点共线，利用勾股定理求出，则，进而求出，再证明，得到；设，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则．【详解】解：如图所示，取中点E，连接并延长交于D，连接，∵，点E为中点，∴，∴C、O、E三点共线，∵，，∴，∴，∴，∴，∵是直径，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴；设，则，∵，∴，∴，即，∴，解得，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三线合一定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）11．若，则的值为．【答案】7【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：，，．故答案为：712．如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A、D均在x轴正半轴上．若点A坐标为1,0，，则点D的坐标为．【答案】【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，根据位似图形一定相似，位似比等于相似比，求出两个图形的位似比，进而求出点D的坐标即可．【详解】解：∵与位似，∴与的相似比，∴与的位似比为，∵，∴点D的坐标为．故答案为．13．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：（填序号）．【答案】①②③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①，时，，故①符合题意；②，时，，故②符合题意；③，时，，故③符合题意；④，时，不能推出，故④不符合题意，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．14．如图，在中，已知，D是AB上一点，连接．若，则的长为．【答案】/【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．【详解】解：∵，∴可设，∵，∴，即，∴，解得或（舍去），∴故答案为：．15．如图，直线，直线AC分别交，，点A，B，C，直线分别交、、于点D，E，F，与相交于点G，且，，，则的值为．【答案】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据，，求出的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，故答案为：．16．如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则．【答案】//2.6【分析】延长交延长线于，由正方形的性质，平角的定义推出，即可证明，得到，得到是等腰直角三角形，求出，的长，由，，即可求出的长，从而求出的长．【详解】解：延长交延长线于，如图，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴四边形为矩形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形等知识，综合应用相关知识点是解题的关键．三、解答题（8小题，共68分）17．已知，求的值．【答案】【分析】本题主要考查了比例的性质，根据可得出，变形即可得出答案．【详解】解：由，得，整理得：，，18．如图，在与中，，且．(1)与相似吗？如果相似，请说明理由；(2)连接，若B、D、E三点共线，记与的交点为H，若，的面积为20，试求的面积．【答案】(1)相似，理由见解析(2)125【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质：（1）先根据角的和差证明∠BAC=∠DAE，再根据∠B=∠D即可得证；（2）根据相似三角形的性质得出∠E=∠C，结合对顶角相等证明△AEH∽△CBH，再根据相似三角形的性质即可得出答．【详解】（1）解：相似，理由如下：∵，∴，即，∵，∴；（2）解：如图：由（1）知，∴，∵，∴，∵．∴与的面积比为，∵的面积为20，∴的面积为125．19．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；④测量出之间的距离大约为27m．数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答．【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下：∵，∴，，∴，∴，即，∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为27m，∴，解得：，经检验，是原方程的解，答：能测出树A与树B之间的距离为18米．20．已知：如图，在中，，以为直径的交于点，为的中点．(1)求证：；(2)延长、交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）想办法证明，即可解决问题；（2）连接，利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）证明：是的直径，，，，，，，；（2）解：连接，为弧的中点．，，，，∴，，，，，，，．21．如图，在中，已知是的平分线，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明是解题的关键．（1）根据角平分线的性质，相似三角形的判定即可证明；（2）利用相似三角形的性质即可求解；【详解】（1）证明：是的平分线，，，，又，，；（2）由（1）得，，，，，，解得；22．根据以下素材，探索完成任务如何调整足球的发球方向素材1如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2如图，当足球运动到最高点时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．

素材3距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且，拦网高．．

问题解决任务1结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式．任务2结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变．此时足球能否进入球门？若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门．任务3结合以上素材，小梅站在处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点处进入球门．上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门【答案】任务一：足球运动轨迹抛物线的函数表达式为任务二：向正后方移动1米射门任务三：能在处入网【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，灵活应用解析式解答改变发球方向后是否通过拦网是解答本题的关键．任务1：设抛物线顶点式，将点代入求出值，继而得到抛物线解析式；任务2：求出时的值，和球门的高度进行比较即可得到能否进入，设平移后抛物线解析式代入点即可得到平移距离；任务3：画出图形，拦网在点处，分别求出改变线路后拦网所在位置距离点的距离及点的距离，分别代入任务1的解析式中，看值是否大于拦网高度即可判断能否入网．【详解】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，抛物线经过点，，解得，，足球运动轨迹抛物线的函数表达式为任务二：当时，即时，，足球不能进入球网，小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：把点代入得：，解得（舍去）或，向正后方移动1米射门任务三：如图构造三角形，

由题意可知：，，，，，当时，，能过拦网．当时，，能在处入网．23．如图，中，，（为常数，）．点是上的一点，且，过点作于点．(1)若，，求．(2)连结，若平分，求满足的关系式．(3)设与的周长和为，的周长为．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)最大值，理由见详解【分析】（1）证明，得出对应边成比例，即可求出的长；（2）证出，证明．得出，证明，得出，则可得出结论；（3）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，求出，由（1）得：，得出，由二次函数的性质求出最大值即可．本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，二次函数的最值等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．【详解】（1）解：，，，，即，解得：；（2）解：，，平分，，，，，，．，，，，，，，；（3）解：存在最大值；理由如下：，，，，由（1）得：，，当时，即，有最大值，最大值为．24．如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题：(1)如图1，若M是边上的中点且，求的值；(2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积．【答案】(1)(2)或5【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全