河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（IV）数学

河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（Ⅳ）数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．3．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（

）A．1 B．2 C．1或2 D．34．已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（

）A． B． C．3 D．6．在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（

）A．1 B． C．2 D．37．已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（JoshuaZahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知正实数、满足，则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为C．的最小值为 D．存在、满足10．在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（

）A． B．若为等腰三角形，则C．当时， D．当时，11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且的离心率为，点在直线上，点为直线上的动点，直线与的另一个交点为，记线段的中点为，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的面积为C．当变化时，直线与直线的斜率之积恒为定值D．存在，满足三、填空题12．若随机变量，则．13．已知数列为等差数列，为的前项和，若，则．14．若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题15．如图，在三棱锥中，平面，，，，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．16．已知数列满足．(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求．17．在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品的只有青年和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品打分分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)：给商品打分区间青年购买者5354515中老年购买者3540205(1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）；(2)若购买者打分在区间内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”．①根据表格数据，将频率视为概率，从商品的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件“该购买者为青年购买者”，事件“该购买者为满意顾客”，计算的估计值；②请利用表格数据补充完整下列列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值的独立性检验，能否认为对商品是否满意与购买者群体有关．满意顾客不满意顾客合计青年购买者100中老年购买者100合计200附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且与轴交于点的准线与轴交于点．(1)当直线的斜率为1时，求的值；(2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：为锐角．19．已知函数是函数的一个极值点．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，且．①求实数的取值范围；②求证：．

参考答案1．C【详解】集合，又，所以，故选：C．2．D【详解】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以，所以渐近线方程为.故选：D．3．A【详解】设，代入，得到，解得，即，故，即，解得或－2，因为，所以，故.故选：A．4．B【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得，解得，又因为，所以或，因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件.故选：B．5．C【详解】设长方体的外接球半径为，且，因为外接球表面积为，故，即，又因为，可得，即，所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立，所以长方体的体积的最大值为.故选：C．6．B【详解】设点为内切圆圆心，则，则，因为是等边三角形，故点也是的重心，故，故，由等面积得，则，故.故选：B7．B【详解】设，由于函数为偶函数，且当时，，故的大致图象如图所示，当时，函数的图象与直线有四个交点，横坐标分别设为，，且，故四个方程的根的个数分别为0，0，4，2，故方程恰有6个不同的根，因此B选项正确．容易验证取其他值时，不符合题意．故选：B.8．C【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，点到的距离，故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为，故；等边三角形的面积为，扇形的面积为，故；三角形的面积为，扇形的面积为，故.故阴影部分面积.故选：C．9．AC【详解】由正实数、满足得，又因为，解得，故A选项正确；由已知条件及得，解得，当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误；由已知条件及得，解得，当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确；由得，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误．故选：AC．10．BC【详解】对于A，，即，因为，故，故，故，A选项错误；对于A，由对A选项的分析可知，当为等腰三角形时，为等边三角形，故，则，解得，故B选项正确；对于C，当时，，结合余弦定理得，即，即，故C选项正确；对于D，由，又由对C选项分析可知，当时，，代入，解得，故，代入，得，故，即，故D选项错误．故选：BC．11．AC【详解】对于A，依题意，，则，由离心率为，得，解得，A正确；对于B，当时，点，线段的中点为椭圆的上顶点，即点，的面积为，B错误；对于C，设，则，直线与直线的斜率分别为，，则，C正确；对于D，假设存在，使得，由为线段的中点，得与矛盾，因此假设不成立，即不存在，使得，D错误.故选：AC12．【详解】由于随机变量，故，因此．故答案为：13．2027【详解】由等差数列性质知，则．故答案为：202714．【详解】因为，所以，所以不等式等价于，设，则，令，解得，令，解得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，故；设，则，令，解得，令，解得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，因为恒成立，所以，即．故答案为：15．(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）因为平面，平面，所以．因为，所以．又因为平面，故平面．又因为平面，所以平面平面．（2）因为，所以以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则即，令得，故平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．16．(1)证明见解析，(2)【详解】（1）解：由数列满足，可得，又由，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知：，所以，故，因为，故，因此．17．(1)平均数6.6，中位数4.125(2)①；②表格见解析，认为对商品是否满意与购买者群体有关【详解】（1）由表格数据可知青年购买者打分的平均数．由数据可知中老年购买者打分在区间内的频率为，故其中位数满足：，解得．（2）“假设各组数据在对应的区间内均匀分布”，①由题意知，．因此．②由表格数据知“满意的青年购买者”的人数为（人），“不满意的青年购买者”的人数为70人；“满意的中老年购买者”的人数为（人），“不满意的中老年购买者”的人数为88人，故补充完整的列联表如下：满意顾客不满意顾客合计青年购买者3070100中老年购买者1288100合计42158200零假设为：对商品是否满意与购买者群体无关．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对商品是否满意与购买者群体有关，此判断犯错误的概率不超过0.01．18．(1)4(2)存在，1(3)证明见解析【详解】（1）设两点坐标分别为，由题意知的坐标为（1，0），当直线的斜率为1时，直线的方程为，联立消去，整理得，解得，故，点坐标为,故，故．（2）存在，理由如下：由题可知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，联立消去得，，由题意知点坐标为，故．，故，故时，所以存在满足题意的常数，且.（3）证明：，故，显然三点不共线，故为锐角．19．(1)单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）．(2)①；②证明见解析【详解】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得，故，令，解得或，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以是函数的极大值点，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0