整式加减中的数数位和数字问题

习题解读：整式加减中的数，数位和数字问题在教材上有这样一道习题：（1）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，列式表示这个两位数；（2）列式表示上面的两位数与10的乘积；（3）列式表示（1）中的两位数与它的10倍的和，这个和是11的倍数吗？题目设置的意义：用我们熟悉的数字知识为背景，锻炼列代数式表示数的基本能力，让我们学会用数位上的数字和数位之间的关系，准确的表示一个数．其次，让我们学会了判断一个数是不是另一个数的倍数的基本方法．同时也培养了我们如何灵活使用括号的基本能力，是一道值得深思的好题．知识储备：数，数位与数字之间的关系：有一个ｎ位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，……，n位数字是，则这个ｎ位数表示成×＋……＋×＋×＋×．明确了这些知识，我们就可以回过头来解决上面的问题了．解答展播：（1）因为两位数的个位数字是a，十位数字是b，所以这个两位数是：b×＋a×＝10b＋a；（2）根据题意，列代数式得：（10b＋a）×10＝100b＋10a；（3）根据题意，列代数式得：（10b＋a）＋（100b＋10a）＝110b＋11a＝11×（10b＋a），所以这个两位数与它的10倍的和是11的倍数．开眼界：一、交换数位上的数字，探求倍数变式1：一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，若交换其个位数与十位数的位置，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是11的倍数．分析：熟练的表示出变化前后的两位数是解题的主要依据．解：因为两位数的个位数字是a，十位数字是b，所以这个两位数是：b×＋a×＝10b＋a；新的两位数是：a×＋b×＝10a＋b，所以它们的和为：（10b＋a）＋（10a＋b）＝11a＋11b＝11（a＋b），所以这两个两位数的和是11的倍数．变式2：一个两位数，若交换其个位数于十位数的位置，则所得新两位数与原两位数的差，一定是9的倍数．证明：设原数的个位数字为a，十位数字为b，则原数表示为：10b+a．交换后，个位数字为b，十位数字为a，则新数表示为：10a+b．所以（10a+b．）－（10b+a）＝9a－9b＝9（a－b）．所以所得新两位数与原两位数的差，一定是9的倍数．二、交换数位上的数字，探求原来两位数的个数与特点变式3：一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9．这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？分析：会用字母表示个位数和十位数是解题的关键．其次就是要抓住题目的特点：新数比原数大．解：设原数的个位数字为a，十位数字为b，则原数表示为：10b+a．交换后，个位数字为b，十位数字为a，则新数表示为：10a+b．所以（10a+b．）－（10b+a）＝9a－9b＝9（a－b）．因为新两位数比原两位数大9，所以9（a－b）＝9，所以a－b＝1．因为 b表示的是十位数字，所以1≤b≤9．因为a是个位数字，所以0≤a≤9．所以当b＝1时，a＝b+1＝2，此时两位数为12；所以当b＝2时，a＝b+1＝3，此时两位数为23；所以当b＝3时，a＝b+1＝4，此时两位数为34；所以当b＝4时，a＝b+1＝5，此时两位数为45；所以当b＝5时，a＝b+1＝6，此时两位数为56；所以当b＝6时，a＝b+1＝7，此时两位数为67；所以当b＝7时，a＝b+1＝8，此时两位数为78；所以当b＝8时，a＝b+1＝9，此时两位数为89．所以符合条件的两位数一共有8个，它们的特点是个位数字与十位数字都是正整数，且个位数字比十位数字大1．变式4：一个两位数，若交换其个位数于十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大18．这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？解：设原数的个位数字为a，十位数字为b，则原数表示为：10b+a．交换后，个位数字为b，十位数字为a，则新数表示为：10a+b．所以（10a+b．）－（10b+a）＝9a－9b＝9（a－b）．因为新两位数比原两位数大9，所以9（a－b）＝18，所以a－b＝2．因为 b表示的是十位数字，所以1≤b≤9．因为a是个位数字，所以0≤a≤9．所以当b＝1时，a＝b+2＝3，此时两位数为13；所以当b＝2时，a＝b+2＝4，此时两位数为24；所以当b＝3时，a＝b+2＝5，此时两位数为35；所以当b＝4时，a＝b+2＝6，此时两位数为46；所以当b＝5时，a＝b+2＝7，此时两位数为57；所以当b＝6时，a＝b+2＝8，此时两位数为68；所以当b＝7时，a＝b+2＝9，此时两位数为79．所以符合条件的两位数一共有7个，它们的特点是个位数字与十位数字都是正整数，且个位数字比十位数字大2．三、定义新数变式5：如果一个两位数是十位数字和个位数字和的ｋ倍，则称这个两位数是两数位数字和的ｋ阶亲合数．请你根据定义求出所有的4阶亲合数．分析：正确理解新数的定义，并能灵活应用列代数式的方法，将问题变得可解．解：设两位数的个位数字为a，十位数字为b，则两位数表示为：10b+a．根据题意得：10b+a＝4（a＋b），整理得：a＝2b，因为b表示的是十位数字，所以1≤b≤9，且b是正整数．所以当b＝1时，a＝2，此时两位数为12；所以当b＝2时，a＝4，此时两位数为24；所以当b＝3时，a＝6，此时两位数为36；所以当b＝4时，a＝8，此时两位数为48；所以当b＝5时，a＝10，不符合要求，所以所有的4阶亲合数有4个，分别是12，24，36，48．中考之旅：例观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×.（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并证明.分析：确定第一个后面的三个不同的数与第一个数之间的关系是解题的关键．解：仔细观察不难发现，左边第二个因数的特点是：百位数字等于前两位数的个位数字，十位数字等于前两位数的数字之和，个位数字等于前两位数的十位数字，右边的第一个因数是左边第二个因数的各个数字按照从右向左的顺序重新组合而来，第二个因数是前两位数的各个数字按照从右向左的顺序重新组合而来．所以左边第二个因数为：2×100＋（5＋2）×10＋5＝275，52×275＝572×25；②因为左边第二个因数是396，所以第一个因数的各位数字是3，十位数字是6，所以第二个等式为：63×396＝693×36；（2）因为左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，所以左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，所以一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a）右边=[100a+10（a