专题10 统计-期末真题（考题猜想易错必刷3大题型）（解析版）

专题10统计（考题猜想，易错必刷3大题型）【题型一】线性回归方程【题型二】非线性回归方程【题型三】独立性检验【题型一】线性回归方程一、单选题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用负相关性的定义求解即可.【详解】由样本数据可知解释变量与响应变量之间具有负相关性，所以又因为对应的点均在直线上，故，故A正确.故选：A2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（）A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大【答案】B【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可.【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关，所以B正确，A错误；由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误，由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误.故选：B.3．（23-24高二下·辽宁朝阳·期末）已知一组数据满足线性回归关系，且经验回归方程为，若，则（

）A．30 B．60 C．630 D．1200【答案】D【分析】根据样本中心点在回归直线方程上代入计算可得结果.【详解】易知样本数据的中心点在回归直线方程上，易知，所以，即，可得.故选：D4．（23-24高二下·四川德阳·期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：温度x（℃）6810病毒数量y（万个）302220由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（

）参考公式：，A．12 B．10 C．9 D．11【答案】C【分析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程，再用方程代入温度预测病毒数量即可.【详解】y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点由表格数据得，，，，故根据最小二乘原理知，所以，即线性回归方程为；将代入方程，得，即可预测病毒数量为.故选：C二、解答题5．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某学院为了加强学生身体素质，特推出“校园轻氧打卡”活动，以下是前9天的打卡人数散点图．(1)求出每天打卡人数y关于天数x的经验回归方程；(2)利用经验回归方程试着预测第10天的打卡人数；附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】(1)(2)340【分析】（1）依据题中所给数据先依次求出、、、，再结合最小二乘法即可求出和，进而得解.（2）将代入（1）所得经验回归方程即可得解.【详解】（1）由题得，，，，所以，每天打卡人数y关于天数x的经验回归方程为.（2）由（1）当时，，所以第10天的打卡人数预测为人.6．（23-24高二下·山东泰安·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频（单位：s）0.280.290.300.310.32步长（单位：）909599103117(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？(2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差.参考数据：，.参考公式：，.【答案】(1)，秒(2)【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，（2）由残差的计算公式即可求解.【详解】（1）依题意可得，，，，所以回归直线方程为，将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是秒.（2）根据（1）得到，；所以步长为0.30残差和为.7．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间x（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选2天的数据，以X表示2天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.参考数据：，，.附：对于一组数据（，），（，），……，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；（2）去掉第天数据后，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解.【详解】（1）普及人数不少于200人的天数为4天，则X的所有可能取值为0，1，2，又，，.故X的分布列为：012.（2）去掉第天的数据可得统计表如下：时间天12346789每天普及的人数8098129150190258292310设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，所以，，，；去掉第5天数据后，.所以，，所以剩下的数据求得的回归直线方程为：.8．（23-24高二下·陕西西安·期末）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：研发投入（亿元）12345产品收益（亿元）3791011(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.参考数据：，，.【答案】(1)，相关程度较高(2)，9.3亿元【分析】（1）通过计算相关系数来进行判断.（2）先计算回归直线方程，并由此作出预测.【详解】（1）由表中数据可知，，，，，，则，故相关程度较高；（2），，则，，故，令，解得，故研发投入至少9.3亿元.【题型二】非线性回归方程一、解答题1．（22-23高二下·海南海口·期末）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据：年份20182019202020212022年份代码x12345平均收入y（千元）5961646873(1)根据表中数据，现有与两种模型可以拟合y与x之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，已知的残差平方和是3.5，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入.参考数据及公式：，，其中.，.【答案】(1)，．(2)拟合效果更好，2023年农户种植药材的平均收入8万元．【分析】（1）根据最小二乘法结合条件可得回归方程；（2）根据回归方程分别计算残差平方和，进而可得拟合效果更好，然后根据回归方程结合条件即得.【详解】（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：，，所以，，则，．设，则，所以，则，．所以，两种模型的回归方程分别为，．（2）回归方程为时，将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，则残差平方和为．而的残差平方和是3.5，则，所以回归方程拟合效果更好，应选择该方程进行拟合．当时，故预测2023年该农户种植药材的平均收入为80千元，即8万元．2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数123456抗体含量水平510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望.参考数据：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.【答案】(1)(2)，40(3)分布列见解析，【分析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程；（2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；（3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望.【详解】（1）根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.（2）设，变换后可得，设，建立w关于x的回归方程，，所以所以w关于x的回归方程为，所以，当时，，即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87.（3）由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值为0，1，2，，，，X的分布列为012.3．（23-24高二下·山西太原·期末）山西某地打造旅游特色村，鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租，增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况，随机选取6间民宿进行调查，统计它们在淡季的100天里的出租情况，得到每间民宿租金（单位：元/日）与其出租率（出租天数）的对应关系表和散点图如下：租金88128188288388488出租率0.90.70.50.30.20.15(1)请根据散点图判断，与哪个更适合此模型（不用证明），并根据下表数据（表中），求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）.261.30.465.4121437.861.97-221.19-1.04(2)已知该地一年旅游淡季按100天计算，在此期间，民宿无论是否出租，每天都要支出租金的的费用.若民宿出租，则每天需要再支付租金的的开支.请用（1）中结论的模型，计算租金为多少元时，该民宿在这100天内的收益最大.附：；对于一组数据，其经验回归方程为.【答案】(1)选，；(2)元.【分析】（1）观察散点图确定回归模型，换元，利用最小二乘法公式求出回归方程.（2）结合（1）求出收益的函数关系，利用导数探讨单调性并求出取最大值时的x值.【详解】（1）由散点图知，应选更合适.由，得，则，，所以.（2）依题意，，求导得，令，得，解得，当时，，随着的增大而增大，当时，，随着的增大而减小，所以当元时，民宿在这100天内的收益最大.【点睛】易错点睛：非纯属回归方程的求解，换元转化为线性回归方程求解，再利用最小二乘法求解时，要代入对应值.4．（23-24高二下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表：46810122742555660为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②．(1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）；(2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）．附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，，ii）参考数据：设，，，，，．【答案】(1)(2)，约为万元【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数；（2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得.【详解】（1）因为，，所以，，，模型①中，相关系数，（2）因为，所以选择模型②，令，先建立关于的线性回归方程，由于，，所以关于的线性回归方程为，即，当时，（万元），所以若投入经费万元，收益约为万元.5．（23-24高二下·河北石家庄·期末）一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t（分钟）和答对人数y的统计表格如下：时间t（分钟）102030405060708090100答对人数y9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7时间t与答对人数y和的散点图如下：附：，，，，，对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．请根据表格数据回答下列问题：(1)根据散点图判断，与哪个更适宜作为线性回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，建立y与的回归方程；（a，b或c，d的计算结果均保留到小数点后三位）(3)根据（2）请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍．（结果四舍五入保留整数）（参考数据：，）．【答案】(1)更适宜作为线性回归类型；(2)；(3)19分钟.【分析】（1）根据给定的两个散点图即可得答案.（2）先求得的线性回归方程，再将对数式化为指数式即得与的回归方程.（3)）解不等式即可得答案.【详解】（1）观察两个散点图知，更适宜作为线性回归类型.（2）依题意，，，由（1）知，，根据最小二乘法得：，，于是，因此y与的回归方程.（3）依题意，，即，则，而，于是，解得，所以要想答对人数不少于75人，至多间隔19分钟需要重新记忆一遍.【题型三】独立性检验一、单选题1．（23-24高二下·河北张家口·期末）某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用列联表进行检验，零假设：两种药物的疗效无差异，计算出，根据下面的小概率值的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（

）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得到犯错误的概率不超过.【详解】，，故“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过.故选：A2．（23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表：AB总计认可15823不认可51217总计2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（

）A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”【答案】C【分析】先计算出卡方值，再分别与各选项中的相应的小概率值比较，根据独立性检验的原理，即可作出判断【详解】由对于A，因，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误；对于B，因，故没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误；对于C，因，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确；对于D，因，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误.故选：C.二、解答题3．（23-24高二下·青海西宁·期末）某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中750人经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）.现用按比例分配的分层抽样方法（按A类､B类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的100人，得到以下列联表（单位：人）：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼40不经常参加体育锻炼15总计100(1)完成上表；(2)依据的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？注：.附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析；(2)无关联.【分析】（1）根据题目含义填写表格即可，（2）利用列联表结合卡方计算求解即可.【详解】（1）填写列联表（单位：人）如下：身高达标身高不达标总计经常参加体育锻炼403575不经常参加体育锻炼101525总计5050100（2）零假设为：经常参加体育锻炼与身高达标无关联.由列联表中的数据，.根据的独立性检验，没有充分证据证明不成立，即认为经常参加体育锻炼与身高达标无关联.4．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）期末考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行统计，规定：大于或等于120分的为优秀，120以下的为非优秀.统计结束后，得到如下2×2列联表.已知在甲、乙两个文科班的110人中随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成2×2列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计110(2)是否有99.9%的把握认为“成绩优秀与班级有关”0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析(2)没有的把握认为“成绩优秀与班级有关”【分析】（1）根据所给的数据完成2×2列联表.（2）计算，根据数据表进行比较判断.【详解】（1）2×2列联表如下：优秀非优秀总计甲班105060乙班203050总计3080110（2）因为所以没有的把握认为“成绩优秀与班级有关”5．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校进行健康体检，发现学生中近视率与性别有关．若将近视率超过50%的班级称为“近视班”，未超过的称为“非近视班”．现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如下所示：近视班男生：60人，女生：70人．非近视班男生：40人，女生：30人．合计男生：100人，女生：100人．(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“近视班”与性别有关联？(2)若从随机抽取的非近视班学生中采用分层抽样的方法抽取7人，再从7人中抽取3人，求这3人中至少有2名男生的概率．附：下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)不能(2)【分析】（1）根据所给数据计算出后与比较即可得；（2）由分层抽样的性质可得抽取的人中男女生人数，再结合组合数计算这3人中至少有2名男生的概率即可得.