数学试题卷+答案【Top30强校】山西省山西大学附中2025-2026学年高三第一学期12月模块诊断(12.23-12.24)

考试时间：120分钟满分：150分一．单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2．已知复数z，则z=()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．已知圆锥的母线长为8，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积A．24πB．27πC．30πD．33π6．已知样本数据：x1，x2，a，3-b，x3的方差为0，则a2+b2的最小值为()7．若f(x，记a=fb=f，c=f则a，b，c的大小关8．在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧面PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，PC=PD若该四棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积二．多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多9．如图，已知ΔABC，AB=1，AC=，BC=2，其内有一点G，满足A．AG=3AB+4ACB．点G为ΔABC的重心11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，已知BC=8，有水部分的几何体体积是V，下列命题正确的是()A．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形B．固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥D．体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3的圆锥内任意旋转三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分12．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在C上，且点M到y轴的距离为4，则MF=．则log1b2025的值为．214．若不等式e2x+2t2x≥tex(2+x)对任意x∈[1,+∞)恒成立，则实数t的最大值是___四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）已知点A(2,1)关于坐标原点的对称点为B，动点P满足直线PA,PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)若ΔPAB为以AB为底边的等腰三角形，求ΔPAB的面积．16（15分已知数列{an}的前n项和为Sn，a，当n≥2时，an(1)求证：数列为等差数列；(2)记[x]表示不超过x的最大整数，bn，求数列{bn}前100项的和T100.17.（15分）已知平行六面体ABCD-A117.（15分）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，所有棱长为2，点O1和O分别为上、下底面的中心，且A1AB=A1AD18.（17分）某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立．(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n小时后（n≥1）机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y)．19.（17分）如图，在区间[a,b]上，曲线y=f(x)与x=a,x=b,x轴围成的阴影部分面积记为面积S，若F,(x)=f(x)（F,(x)为函数y=F(x)的导函数则S=F(b)-F(a).设函数f直线分别交x=a,x=b于B,C两点（B,C在第一象限设四边形ABCD的面积为S1，写出S1的表达式（用a,b表示）并证明：S>S1(3)函数g(x)=f(x)lnx-m有两个不同的零点x1,x2，比较x1x2与e2的大小，并说明理由.数学试题答案一、单选题【答案】C【分析】由已知利用交集的运算，可得答案.2．已知复数z=，则z=()【答案】A【分析】根据复数模的公式及除法法则求解即可.3．已知x∈R，设甲：sinx；乙则甲是A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项,则x不一定推出≤x≤；反之，当≤x≤时，一定有sin选：B.【答案】B【分析】由(2)丄可计算出.，再根据模长公式计算即可.222.25．已知圆锥的母线长为8，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为()【答案】D【分析】根据圆锥表面积公式，结合扇形的弧长和面积公式进行求解即可.【详解】设圆锥的母线长为l=8，底面半径为r，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，6．已知样本数据：x1，x2，a，3b，x3的方差为0，则a2+b2的最小值为()【答案】C2【分析】根据方差的意义可得a+b=3，利用不等式a2+b2≥(a+b)2即可得结果.2可得a2+b当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+b2的最小值为.故选：C.7．若f(x)=(|(),x，记a=f,)，b=f，c=f则a，b，c的大小关系为()【答案】A【分析】分别代入求值表示a,b，对于c，结合根式以及二次函数求出c取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小.3 24，b=f(-1)==f(1) 22214∞)上单调递减所以b<a<c，故选8．在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧面PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，【答案】D【分析】方法1，如图建立以E为坐标原点，以BE,EF所在直线分别为x,y轴，以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设设O(x,y,z)，球O的半径为R，由题可建立关于x,y,z及R的方程，据此可得表面积.方法2，分别过点E作平面PAB的垂线，过EF的中点G作平面ABCD的垂线,则两垂线交点为球心，再在OEG利用正弦定理可得外接球半径，即可得表面积；解法一如图，分别取AB,CD的中点E，F，连接PE,PF,EF，因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以EF丄AB，EF=2，所以cosLPEF===-LPEF=.PE2所以cosLPEF===-LPEF=.以E为坐标原点，以BE,EF所在直线分别为x,y轴，以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，22【点睛】关键点睛：求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据主要是球心的两个特性：一是球心到球面上各点的距离都等于半径；二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面（球的截面圆性质利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面的距离d三者的关系R2=r2+d2求解.解法二如图，分别取AB，CD的中点E,F，连接PE,PF,EF，因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以EF丄AB，EF=2，过点E作平面PAB的垂线，过EF的中点G作平面ABCD的垂线，62二、多选题A．AG=3AB+4ACB．点G为ABC的重心【答案】BCD=-=-2，利用重心的性质即可判断，对于C由,利用D,G,E三点共线即可判断，对于D设AB中点为N，计算CN，利用重心的性质得CG=CN.)三等分点，即G为ABC的重心，故B正确；确；对于D：设AB中点为N，则有AN=AB=，又AC=·、i3,BC=2,AB=1，即AC2+AB2=BAB丄AC，在Rt△ACN中有CN==，又G为重心，所以CG=2CN=，故D正确.故选：BCD.【答案】ABD【分析】利用余弦定理即可求得AB，由cosC求sinC，即得ABC面积，利用数量积的定义即可判断C，设ABC的内切圆半径为r，由SABC=AB+AC+BC).r即可求解r.【解】由余弦定理有：AB2=AC2+BC2-2AC.BCcos设ABC的内切圆半径为r，则有SABC=AB+AC+BC).r=8，即r故D正确.故选：ABD.当底面ABCD水平放置时，水面位置满足BF:FB1=1:3，容器内有水部分的几何体体积是V，下列命题正A．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形B．固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥D．体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3、/6的圆锥内任意旋转【答案】ACD【分析】根据棱柱的定义可判断A选项；计算出三棱锥B-AB1C的体积，比较V和三棱锥B-AB1C体积的大小，可判断B选项；计算出圆锥的外接球半径R，比较R与3、的大小，可判断C选项；计算出圆锥的内切球半径和正方体的外接球半径，比较大小后可判断D选项.【详解】对于A选项，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确；44441所以，将固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，要使得有水的部分呈三棱锥，则需水的体积不超过三棱锥B-AB1C的体积，但VB-ABC<V，矛盾，B错；对于C选项，设圆锥的底面半径为r，则V可得r设圆锥的外接球半径为R，由勾股定理可得r2+42=R2，解得R因为r22-16因为r22-16 -16π 0 0所以，体积为V，高为4·的圆锥不可以放在半径为3、的球体内，C对；对于D选项，设轴截面为正三角形且底面半径为3、的圆锥的内球半径为r1，2=3v2，即圆锥的内切球半径为r1=3v2，2设正方体的棱长为a，则a3=V=48，所以，体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3、的圆锥的内切球内任意旋转，故体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为3、的圆锥内任意旋转，D对.故选：ACD.三、填空题12．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在C上，且点M到y轴的距离为4，则MF=．【答案】5【分析】利用抛物线的定义可求得MF的值.【解】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，因为点M到y轴的距离为4，所以点M到准线x=-1的距离为5，由抛物线定义可得MF=5．故答案为：5.13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15=120，等比数列{bn}的首项为1，若a8=b4，则log1b2025的2【答案】-2024【分析】根据等差数列的前n项和公式，等差数列下标和的性质可得a8=8，利用等比数列的通项公式结合a8=b4求出公比，继而可得b2025，再根据对数运算即可求解.【解】设数列{bn}的公比为q，由S15故log1b2025=log1b1q2024=log122024=-2024，故答案为：-2024.14．若不等式e2x+2t2x≥tex(2+x)对任意x∈[1,+∞)恒成立，则实数t的最大值是 【答案】(ex)(ex)|(t-2,|(t-x,≥0，结合恒成立可求出t的取值范围.即令f(x)=，其中x≥1，则f,(x)=≥0对任意的x≥1恒成立，即函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，(e2)2当x=2时，则有|(t-2,≥0显然成立；exex(ex)(ex)exexee22x(2,(x,2x222x(2,(x,2x22xx(ex)(ex)xx当x>2时，>，由|(t-2,|(t-x,≥xx(ex)(ex)xx综上所述，t≤或t=，故t的最大值为.四、解答题15．已知点A(2,1)关于坐标原点的对称点为B，动点P满足直线PA,PB的斜率之积为-，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)若PAB为以AB为底边的等腰三角形，求PAB的面积．【分析】（1）设P(x,y)，由kPA.kPB=-化简整理可得C的方程；（2）由题意可知，以AB为底边的等腰三角形的顶点P在直线y=-2x上，联立直线与C的方程，可求得x2,y2，从而得OP，求出AB，进而由三角形面积公式求出答案．【详解】（1）点A(2,1)关于坐标原点的对称点为B(-2,-1)，（2）∵点A(2,1)关于坐标原点的对称点为B(-2,-1)，kAB==，∴AB的垂直平分线过原点且斜率为-2，故AB的垂直平分线的方程为y=-2x.∴以AB为底边的等腰三角形的顶点P在直线y=-2x上，〔y=-2xy=-2xxy12222x+y,又AB=(-1-1)22△PAB2 2 2.16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，当n≥2时an+SnSn-1=0.(1)求证：数列为等差数列；(2)记[x]表示不超过x的最大整数，bn，求数列{bn}前100项和T100.【答案】(1)证明见解析(2)94【分析】（1）由an与Sn的关系可得根据等差数列的定义即可证明；Sn.Sn.nSn-1=0，可得Sn-Sn-1+SnSn-1=0，则即n≥2)，所以是首项为2，公差为1的等差数列.nnT100=9417．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，所有棱(1)求证：平面A1BD丄平面ABCD；(2)求平面O1BC与平面BCC1B1所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理，利用线面垂直判定以及面面垂直判定，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用面面角的夹角向量公式，可得答案.在正方形ABCD中，由ACBD=O，则O为BD的中点，易知因为A1O平面A1BD，所以平面A1BD丄平面ABCD在正方形ABCD中，易知OC^OB，所以OA1,OB,OC两两垂直，以O为原点，分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图：v2,0,00,v2,00,2s2,v2，设平面O1BC与平面BCC1B1所成角为θ,则cos18．某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立．(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n小时后（n≥1）机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y)．【答案】(1)0.79(2)分布列见解析；期望为5.49元【分析】（1）设出相应的事件，条件概率公式和独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）由题意，列出X的所有可能的值，并依次求出对应的概率，列出分布列，计算出均值即可；（3）经分析推得n个小时后正常的概率递推式Pn=0.8Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2)，由此式构造等比数列{Pn-}，求出其通项公式n-1(n≥1)，再根据修复与收益标准依次计算各小时的期望收益E(Yi)，最后利用等比数列的求和公式计算累计期望收益即可.【解】（1）设“i小时后机器正常”为事件(i=1，2)，设“加急检修，1小时修复”为事件B1，设“常规检修，1小时修复”为事件B2．|A|A|A从而2小时后机器正常的概率为(P2)（2）依题意，X的所有可能的值为-27，-8，11，X=-27的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27X=11的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11