2024八年级数学上学期期中达标检测卷二（人教版）含答案

2024年八年级数学上学期期中达标检测卷（二）

【人教版】

考试时间：100分钟；满分：1（）（）分

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人得分

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2019秋•宁德期末）下列四个图案中，是轴对称图形的是（）

2.（3分）（2019秋•咸丰县期天）如图所示，NABC=NACB,CO_LAC于C,于B,AE交BC

于点F,且下列结论不一定正确的是（）

A.AB=ACB.BF=EFC.AE=ADD.ZBAE=ZCAD

3.（3分）（2019•江北区模拟）如果一个正多边形内角和等于1080°,那么这个正多边形的每一个外角

等于（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

4.（3分）（2019秋吆I：安县期中）如图，OC平分NAO从且NAO5=60°,点P为OC上任意点，PM

_LOA于何，P0〃OA,交08于。，若OM=3,则尸。的长为（）

5.（3分）（2019秋•荔湾区期末）如图，若△43C是等边三角形，48=6,3。是NA3C的平分线，延长

BC至IJE,使CE=C。，则8E=（）

6.（3分）（2018秋•昆明期末）三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这个点一定是三角形的（）

A.三条高的交点B.三条角平分线的交点

C,三边中线的交点D.三边垂直平分线的交点

7.（3分）（2019•重庆模拟）如图，在△ABC中，BC=5an,BP、CP分别是NABC和/AC8的角平分线,

且PE//AC,则△尸DE的周长是（）

8.（3分）（2018秋•垦利区期中）如图，ZA=70°,ZB=＜）°,ZC=20°,则N8OC=（）

o

c

B

A.130°B.120°C.110°D.100°

9.（3分）（2018秋•嘉荫县期末）如图，。是BC的中点，E是AC的中点，△AOE的面积为2,则△48C

的面积为（）

10.（3分）（2019秋•官渡区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=45°,BDVAC,垂足为。点,

AE平分NZMC,交于点〃交3C于点召，点G为44的中点，连接。G,交于点〃，下列结论错

误的是（）

A.AH=2DFB.HE=BEC.AF=2CED.DH=DF

D为A5的中点，如果点P在线段8C上以3厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时点Q在线段CA上

由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为时,

能够在某一时刻使aBP。与△CQP全等.

评卷人得分

三.解答题（共6小题，满分52分）

17.（8分）（2018秋•新宾县期中）如图，△48。中，ZC=90°,40是△ABC的角平分线，于

E,AC=BE.

（1）求证：AD=BD；

（2）求N8的度数.

18.（8分）（2019秋•瑶海区期末）（1）如图1,已知用直尺和圆规在AOE/内作出点P,使点

P到4。月尸三边距离相等不写作法，保留作图痕迹）.

（2）如图在图示的网格中，作出关于MN对称的图形△A/Ci；说明△42SC2是由△Ai3Ci经

过怎样的平移得到的？

图1图2

19.（8分）（2019秋•深水县校级月考）如图，已知点。到aABC的两边人从人C所在直线的距离相等,

且OB=OC.

（1）如图，若点。在边8C上，试说明AB=AC；

（2）若点。在△ABC的内部，求证：AB=AC.

20.（8分）（2019秋•郑城县期末）已知，如图，在△人"C中，AD,4f分别是△/WC的高和角平分线,

若NA8C=30",ZACB=6（）0

（1）求ND4E的度数；

（2）写出NOAE与/C-N8的数量关系,并证明你的结论.

21.（1（）分）（2019秋•黄石期末）如图I,△A8C中，AB=AC,NB4C=90°,CO平分N4CB,BEA.

CD,垂足E在CO的延长线上.请解答卜列问题：

（1）图中与NO8E相等的角有：；

（2）直接写出8£和C。的数量关系；

（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形8EC变为图2中直角三角形8EO,NE=90'，且NEO8

=AzC,。£与48相交于点”.试探究线段8E与U。的数量关系，并证明你的结论.

22.（10分）（2019秋•河西区校级月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACB。

以D为顶点作/MOM交边AC、BC于"、N.

（1）若NACQ=30。，NMDN=60°,当NMDN绕点、D旋转时,AM.MN.8N三条线段之间有何种

数量关系？证明你的结论：

（2）当NACQ+NMON=90°时，AM、MN、3N三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、3C的延K线上，完成图3,其余条件不变，则

AM、MN、8N之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

八年级数学上学期期中达标检测卷（二）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列四个图案中，是轴对称图形的是（）

0

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着•条直线对折后两部分完全重合，这样的图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【答案】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁

的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义.不符合题意；

B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重

合，即不满足轴对称图形的定义.不符合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的•条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够

重合，即不满足轴对称图形的定义.不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合.

2.（3分）如图所示，ZABC=^ACB,CD_LAC于&BE工AB于B,AE交BC于点F,且下

列结论不一定正确的是（）

A.AB=ACB.BF=EFC.AE=ADD./BAE=/CAD

【分析】先根据N48C=NACB,得出A8=AC,再根据SAS判定△ABEgzMCD,即可得到

据此进行判断即可.

【答案】解：・・・N45C=NACB,

••AB=AC＞故A选项正确；

又・.・CO_LAC于C,BE工AB,

；・ZABE=NACO,

又•：BE=CD,

AABE^AACD,

：.AE=AD,ZBAE=ZCAD,故C、。选项正确：

而BF=EF不一定成立.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对

应角相等.

3.（3分）如果一个正多边形内角和等于1080°,那么这个正多边形的每一个外角等于（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

【分析】首先设此多边膨为〃边形，根据题意得：18（）（〃-2）=1080,即可求得〃=8,再由多边形的

外角和等于360。，即可求得答案.

【答案】解：设此多边形为〃边形，

根据题意得：180（n-2）=1080,

解得：〃=8,

・•・这个正多边形的每一个外角等于：360°4-8=45°.

故选：A.

【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理：（〃-2）-180°,

外角和等于360°.

4.（3分）如图，OC平分N4OZ?,且NAO8=60°,点。为。。上任意点，PM_LOA于M,PD//OA,交

0/3于。，若OM=3,则PD的长为（）

【分析】过点。作PN_L03于N,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PN=PM,根据角平分

线的定义求出N4OC=30°,然后求出PM,再根据两直线平行，同位角相等可得NPQN=60°,求出

NOPN=30°,再求解即可.

【答案】解：如图，过点尸作PN_L08于N,

:。。平分NA08,PMLOA,

:.PN=PM,

VOC^^ZAOB,且NAO8=60°,

AZAOC=1ZAOB=1X60°=30°,

22

•・・OM=3,

:.PM=3X

3

•・•PD//OA,

：,ZPDN=ZAOB=^)0,

：・NDPN=90°-60°=30°,

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解直角三角形以及平行线的性垢，熟

记各性质并准确识图是解题的关键.

5.（3分）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6,8。是NA8C的平分线，延长8c到E,使CE=CQ,

C.9D.10

【分析】因为△A8C是等边三用形，所以NA8C=NAC8=60°,8。是NA8C的平分线，则NO8C=30

3,AD=CD=^AC,再由题中条件CE=CQ,即可求得BE.

2

【答案】证明：•「△ABC是等边三角形，

AZABC=ZACB=60°,

：是NA8c的平分线，

：.AD=CD=^AC,ZDBC=AzABC=30°,

22

,:CE=CD,

：.CE=^AC=3

2

・•・BE=BC+CE=6+3=9.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得

到AD=CD=1AC是正确解答本题的关键.

2

6.（3分）二角形内有一点到二角形二边的距离相等，则这个点一定是二角形的（）

A.三条高的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中线的交点D.三边垂直平分线的交点

【分析】根据角平分线的判定可知，到三角形三边的距离相等的点是角平分线的交点.

【答案】解：在一个三角形的内部有一个点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点是角平分线的交

点.

故选：B.

【点睛】主要考查了角平分线的判定.本题注意不要与线段中垂线的性质或判定混淆，三角形三边中垂

线的交点到三角形三个顶点的距离相等.

7.（3分）如图，在△A8C中，BC=5cm,BP、CP分别是NA8C和/AC8的角平分线，且PO〃A8,PE

//AC,则△POE的周长是（）

A.10B.15C.20D.5

【分析1根据平行线的性质可证的AOPB和尸。为等腰三角形，从而将的周长转化为BC的长.

【答案】解：・・・切、CP分别是N"C和NAC8的角平分线,

・•・NABP=NPBD,ZACP=ZPCE,

*：PD//AB,PE//AC,

，/ABP=NBPD,/ACP=NCPE,

・•・ZPBD=/BPD,NPCE=NCPE,

:.BD=PD,CE=PE,

・•・APDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm.

却△尸。石的周长是5cm.

故选：D.

【点睛】本题考查平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用.

8.(3分)如图，ZA=70°,NB=40°,ZC=20°,则N50C=()

A.130°B.120°C.110°D.100°

【分析】延长80,交AC于点。，可得N8OC=NC+NOZ)C,/ODC=NA+NB,从而得出答案.

【答案】解：延长80,交人。于点D,

ZBOC=ZC+ZODC,ZODC=ZA+ZB,NA=700,/4=40°,ZC=20°,

：.ZI3OC=ZC+ZA+ZB

=20°+80°+30°

=130°.

故选：A.

【点睛】本题考杳了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.

9.（3分）如图，。是8C的中点，E是AC的中点，△AQE的面积为2,则△ABC的面枳为（）

A

BD

A.4B.8C.10D.12

【分析】根据三角形的中线的性质解答即可.

【答案】解：是8C的中点，E是AC的中点，的面积为2,

•••△4OC的面积=4,

・•・的面积=8,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是根据三角形的中线的性质解答.

10.（3分）如图，在AABC中，AB=AC,N84C=45°,BD1AC,垂足为。点，AE平分N8AC,交8。

于点尸交8c于点E,点G为A8的中点，连接。G,交AE于点、H,下列结论错误的是（）

A.AH=2DFB.HE=BEC.AF=2CED.DH=DF

【分析】通过证明△AQ"0△BOU可得人下=AC=2C2叱等腰直角三角形的性质可得人G=AG,DG

A.AB,由余角的性质可得/。阴=/4，6=/。〃/，可得。”=。几由线段垂直平分线的性质可得A"

=BH,可求NEHB=NEBH=45°,可得HE=BE,即可求解.

【答案】解：VZBAC=45°,BD±AC,

：.ZCAB=ZABD=45a,

:・AD=BD,

'：AB=AC,AE平分N'BAC,

：・CE=BE=LBC,NC4E=NZME=22.5°,AELBC,

2

・・・NC+NC4£=90°,且NC+NQ3c=90°,

:./CAE=/DBC,且AO=4D,ZADF=ZBDC=90a,

•••△AO•△8OC(AAS)

：.AF=BC=2CE,故选项C不符合题意,

•・•点G为AB的中点，AD=BD,N4Q8=90°，NC4E=NRAE=22.5°，

：,AG=BG,DG±AB,ZAFD=61.5°

AZAHG=61.5°,

JZDFA=ZAHG=ZDHF,

:.DH=DF,故选项。不符合题意，

连接BH,

'：AG=BG,DGYAB,

••・A〃=3〃，

：.ZHAB=ZHBA=22.5°,

・"EHB=45°,且AE_LBC,

・・・NEHB=NEBH=45°,

:.HE=BE,

故选项B不符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性

质，灵活运用这些性质是本题的关键.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)若等腰三角形的周长为20cm,那么腰长x的取值范围是5a〃VxV10cm.

【分析】根据已知三角形周长公式可表示出底边长，根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可.

【答案】解：•・•等腰三角形的腰长为周长2()57,

，底边为(20-2x)cmt

.,.20-2.r>0K2v>20-2r,

解得xV10且x>5.

；•腰长工的取值范围是5cm<x<1Ocrn.

故答案为：5cm<x<1Ocm

【点睛】本题考杳了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范闱是解

答本题的关键.

12.（3分）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：KQ5881那么它的实际车牌号是：K62897

【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称.

【答案】解：实际牟牌号是K62897.

故答案为：K62897.

【点睛】本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字.也可以简单

的写在纸上，然后从纸的后面看.

13.（3分）如图，△A8C中，边A4的垂直平分线分别交A3、8c于点。、E,连接若BC=7,AC

=4,则的周长为一II.

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB=E4,根据三角形的周长公式计算即可.

【答案】解：・・・。石是人8的垂直平分线,

:・EB=EA,

・•・^ACE=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=11,

故答案为：11.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离

相等是解题的关键.

14.（3分）如图，等边三角形ABC的边长为3,过点B的直线且△ABC与BC'关于直线/

对称，。为线段BC'上一动点，则AD+CD的最小值是6.

【分析】连接CA'交.BC于点£C,A'关于直线8C'对称，推出当点。与8重合时，4c的值

最小，最小值为线段AA'的长=6.

【答案】解：连接CV交8C于点E,

•・•直线/_LA8,且△ABC与BC关于直线/对称，

••.A,B,A'共线，

VZABC=ZArBC=60°,

AZCBC/=60°,

，NC'BAf=ZC，BC,

,：BA,=BC,

C.liDA-CA1,CD=DA',

AC,A'关于直线4U对称，

・•・当点。与3重合时，AZH3C的值最小，最小值为线段AA'的氏=6,

故答案为6.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对■称解决最

短问题，属于中考常考题型.

15.（3分）如图，A,B,C,D,E,r是平面上的6个点，则/A+N8+NC+ND+/E+//的度数是二

【分析】先根据三角形外角的性质得出NA+N4=N1,NE+NF=N2,NC+NQ=N3,再根据三角形

的外角和是360。进行解答.

【答案】解：・・・/1是△A8G的外角，

・・・N1=NA+N8,

•・・/2是△£：「，的外角，

：.Z2=ZE+ZF,

：N3是△CQ/的外角，

AZ3=ZC+ZD,

VZKN3、N3是4G〃/的外角，

.*.Zl+Z2+Z3=360°,

•••NA+NB+NC+NO+NE+N尸=360°.

【点睛】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题

的关键.

16.（3分）如图，在△ABC中，A8=AC=10厘米，NB=NC,8c=8厘米，点。为A8的中点，如果点

P在线段BC上以3厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时点Q在线段C4上由。点向4点运动，当一

个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为3或告厘米/秒时,能够在某一

时刻使△5PO与△C。。全等.

【分析】根据等边对等角可得/B=/C,然后表示出BD、BP、PC.CQ,再根据全等三角形对应边相

等，分①以）、PC是对应边，②8。与CQ是对应边两种情况讨论求解即可.

【答案】解：•••4B=10c〃2,8c=&,〃?，点。为A3的中点,

ABD=—X\0=5ctn,

2

设点尸、。的运动时间为I，则8。=31，

PC=(8-3f)cm

①当时，8-3/=5,

解得：，=1,

则BP=CQ=3t=3,

故点。的运动速度为：3+1=3（厘米/秒）：

②当BP=PCW,•・•BC=8cm,

・•・BP=PC=4cm,

・"4+3=4（秒），

3

故点Q的运动速度为5+2=三（厘米/秒）；

34

故答案为：3或三厘米/秒.

4

【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本

题的难点.

三.解答题（共6小题，满分52分）

17.（8分）如图，△ABC中，ZC=90°,AO是aABC的角平分线，DE1ABE,AC=BE.

（1）求证：AD=BD；

（2）求NB的度数.

【分析】（1）根据角平分线的性质得到。=。£,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义可得根据等边对等角可得N8=/8A。，再根据三角形的内

侑和定理列出方程求解即可.

【答案】证：（1）•••QEJLAB于E,ZC=90°,4力是△45。的角平分线，

:.CD=DE,

在RtAACD与RtAAEDtpfCD=DE,

IAD=AD

・\RtAACD^RtAAED,

•：AC=BE,

:.AE=BE,

:.AD=BD；

（2）YA。是△ABC的角平分线，

：.ZCAD=ZBAD,

•:AD=BD,

:・NB=NBAD,

：.ZCAD=ZBAD=ZB,

VZC=90°,

.•・NC4O+N8A£>+N8=90°,

AZB=30°.

【点睛】本题考查了角平分线上的性质，等边对等角的性质，二角形的内角和定理，熟记性质并列出求

出NCAO=ZBAD=NB是解题的关键.

18.（8分）（1）如图I,已知△。石尺用直尺和圆规在△。石尸内作出点P,使点尸到△OEf■三边距离相

等不写作法，保留作图痕迹）.

（2）如图在图示的网格中，作出△ABC关于MN对称的图形△AIBICI；说明AA282c2是由△AiBiCi经

图1图2

【分析】（1）如图1,已知用直尺和圆规在△。仃'内作三角形其中任意两个角的平分线交点即

为点P，此时点。到△OEF三边距离相等；

（2）如图在图示的网格中，作出△A8C关于MN对称的图形△A/iCi即可，282c2是由△44。向

右平移6个单位、向下平移2个单位得到的.

（1）如图1所示：

点P即为所求作的点；

（2）如图2所示：

△AIBICI即为所求作的图形;

△A2B2C2是由△48C1经过向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到的、

【点睛】本题考查了作图一轴对称变换、角平分线的性质、坐标与图形变化■平移，解决本题的关键是

根据已知条件准确作图.

19.（8分）如图，已知点。到AABC的两边A&AC所在直线的距离相等，且OB=OC.

（1）如图，若点。在边8c上，试说明AB=AC；

（2）若点。在△ABC的内部，求证：AB=AC.

【分析】（1）先利用斜边直角边定理证明△0E3和△OFC全等，根据全等三角形对应角相等得到N3

=NC,再根据等角对等边的性质即可得到4B=AC；

（2）过0作0七_1_4/3,。/与（1）的证明思路基本相同.

【答案】证明：（1）过点。分别作OFLAC,E,尸分别是垂足,

•・•点0到△48C的两边AB,AC所在直线的距离相等，

：・OE=OF,

又・・・08=0C,

•••RgOEBgRt△。产C（HL）、

・・・NB=NC（全等三角形的对应角相等），

：.AB=AC（等角对等边）；

（2）过点。分别作0£_LA8,。凡LAC,E,〃分别是垂足,

由题意知，OE=OF,

仁RtAOEZ?和RtAOFC中,

•：OE=OF,OB=OC,

/.RtAOEB^RtAOFC（HL）,

：.40BE=40CF,

乂，：OB=OC,

：・/OBC=4OCB,

/.ZEBO+ZOIiC=ZOCF+ZOCB,艮flZABC=ZACB,

••AB=AC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的判定与性质，等角对等边的性质，熟

练掌握性质作出辅助线是解题的关键.

20.（8分）己知，如图，在△A8C中，A。，AE分别是△A8C的高和角平分线，若N44C=30°,ZACB

=60°

（1）求ND4£的度数；

（2）写出ND4E与/C-的数量关系_/DAE二工（NC-NB）_，并证明你的结论.

2

BEDC

【分析】(1)先根据三角形内角和可得到NC48=180°・/ACB=90°,再根据角平分线与

高线的定义得到/C4E=」"NC4B=45°,Z/ADC=90°,求出NAEC,然后利用ND4E=90°-ZAEC

2

计算即可.

(2)根据题意可以用N8和/C表示出NC4。和NC4E,从而可以得到ND4E与NC-N8的关系.

【答案】解：(1)VZB+ZC+ZBAC=180°,NA8c=30°,ZACT=60°,

，NB4C=180°-30°-60°=90°.

VAE是△43C的角平分线，

AZBAE=^ZBAC=45<,.

2

•・•NA£C为aABE的外角，

，NAEC=NB+/8AE=300+45°=75°.

••.A。是△ABC的高，

，乙4。石=90°.

・・・/。4石=90°-NAEC=90°-75°=15°.

(2)由(1)知,

ZDAE=90a-ZAEC=90°-(/B4/BAC)

2

又・・・NBAC=1800-ZB-ZC.

・・・NO4E=90°-ZB-A(180°-NB-/C),

2

=A(ZC-ZB).

2

【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，

找出所求问题需要的条件.

21.(10分)如图1,ZVIBC中，AB=AC,NB4C=90°,平分NAC8,BE上CD,垂足£在。。的延

长线上.请解答下列问题：

(1)图中与NO8E相等的角有：/ACE和N8CD；

(2)直接写出8E和C。的数量关系:

(3)若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形/法O,NE=90°,且/石。4

=-izC,。七与A8相交于点F.试探究线段8£与“£＞的数量关系，并证明你的结论.

2

【分析】(I)根据三角形内角和定理得到NACE,根据角平分线的定义得到/BC/)=NACE,

得到答案；

(2)延长/3E交C4延长线于尸，证明△(?£：/且△CE8,得到尸石=8£证明△ACOgZLASF,得到CO

=BF,证明结论；

(3)过点。作OG〃CA,交BE的延长线于点G,与相交于〃，分别证明△3G〃之△。”〃、4BDE

QAGDE,根据全等三角形的性质解答即可.

【答案】解：⑴VBE1CD.

・・・NE=90°,

NE=NBAC,乂NEDB=NAOC,

・•・/DBE=/ACE,

•；C。平分NAC8,

：,ZBCD=ZACE,

:・/DBE=/BCD,

故答案为：NACE和N8CO；

(2)延长BE交C4延长线于F,

•；C。平分NACB,

ZFCE=NBCE,

在和△CE8中，

rZFCE=ZBCE

CE=CE，

ZCEF=ZCEB

AACEF^ACEB(ASA),

:・FE=BE,

在△ACO和△AB/中，

rZACD=ZABF

AC=AB，

ZCAD=ZBAF=90"

•••△ACOgAAB尸（ASA）,

:,CD=BF,

：.BE=^CDi

2

（3）BE=LDF

2

证明：过点。作。G〃C4,交BE的延长线于点G,与AE相交于H,

*：DG//AC,

:.NGDB=NC,NBHD=NA=90°,

*/ZEDB=1ZC,

2

・•・ZEDB=NEDG=』NC,

2

BELED,

：・NBED=90°,

:・/BED=NBHD,

•；/EFB=/HFD,

・•・/EBF=ZHDF,

*：AB=AC,NBAC=90°,

・・・NC=N48C=45°,

•/GD//AC,

・・・NGOB=NC=45°,

:・NGDB=NABC=45°,

BH=DH,

在△4GH和△OF”中，

2HBG=NHDF

（BH=DH，

ZBHG=ZDHF=90"

:ABGH边ADFH（ASA）

:.BG=DF,

•・•在△5OE和△GOE中，

'NBDE二NGDE

DE=DE，

ZBED=ZGED=90°

:,△BDEmAGDE(ASA)

:.BE=EG,

Afi£，=yBG-yDF-

乙乙

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理

和性质定理是解题的关键.

22.（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以。为顶点作/MQM交边

AC、8C于M、N.

（1）若N4CO=30°,/MDN=60°,当NMON绕点。旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种

数量关系？证明你的结论；

（2）当/4C/）+/MON=90°时，AM、MN、AN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在C4、的延长线上，完成图3,其余条件不变，则

AM、MN、&V之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

①

【分析】（1）延长C8到七,使证△。人M丝△OBE,推出N8DE=NMQ/1,DM=DE,证4

MDNgAEDN,推出MN=N七即可;

(2)延长C3到E,使4E=AW,证△QAMg△。以E,推出NBQE=NMD4,DM=DE,证△MQNg4

EDN,推出iMN=NK即可;

(3)在CB截取8E=/Uf,连接。E,证△D4M空/XOBE,推出N8OE=/MD4,DM=DE,证△MON

.qXEDN,推出MN=NE即可.

①

【答案】②

(1)AM+BN=MNf

证明：延长CB到E,使8E=A/W,

•・・/A=NC4Q=90°,

：,ZA=ZEBD=90°,

在△DAM和△。4£中

AM=BE

NA=NDBE，

AD=BD

：,ADAMWADBE,

:・/BDE=NMDA,DM=DE,

VZMDN=ZADC=60<>,

JZADM=ZNDC,

・•・ZBDE=NNDC,

/./MDN=/NDE,

在△MQN和△E£W中

DM=DE

'ZMDN=ZNDE>

DN=DN

4MDN@4EDN,

:.MN=NE,

•・•NE=BE+BN=AM+BN,

:.AM+BN=MN.

(2)AM+BN=MN,

证明：延长CB到E,使连接。区

VZA=ZCTD=90°,

/.ZA=ZDBE=90°,

VZCDA+ZACD=9O0,NM3N+NACO=90",

：.4MDN=4CDA,

•・•/MDN=4BDC,

・•・/MDA=NCDN,NCDM=4NDB,

在△DAM和△OBE中

网二BE

NA=NDBE，

IAD=BD

:ADAM@ADBE,

・•・ZI3DE=ZMDA=ZCDN,DM=DE,

•；/MDN+NACD=90°,ZACD+^ADC=90°,

・•・ZNDM=ZADC=ZCDB,

ZADM=NCDN=NBDE,

*.*/CDM=ZNDI3

，/MDN=ZNDE,

在△MQN和△EON中

DM=DE

'ZMDN=ZNDE«

DN=DN

・•・△MDN94EDN,

:・MN=NE,

*：NE=BE+BN=AM+BN,

:,AM+BN=MN.

(3)BN-AM=MN,

证明：在CB截取8E=AM,连接。E,

•・・NCZM+NACO=90°,NMON+NACO=90°,

:・/MDN=/CDA,

•；NAON=NADN,

：.4MDA=/CDN,

•••NB=NC4O=90",

：,ZB=ZDAM=90°,

在△DAM和△QBE中

(AM二BE

NDAM=NDBE，

IAD=BD

•・•△DAM"ADBE,

：,NBDE=ZADM=NCOMDM=DE,

,?ZADC=NBDC=NMDN,

・•・/MDN=NEDN,

在△MON和△££>2中

DM=DE

ZMDN=ZNDE.

DN=DN

4.MDN乌/XEDN,

:.MN=NE,

VNE=BN-BE=BN-AM,

:・BN-AM=MN.

【点睛】本题考查J'全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用J'

类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度.

专题01三角形章末重难点题型汇编【举一反三】

K兵为分所］1

【考点1三角形的稳定性】

【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三

角

形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实

质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.

【例I】（2019春•永泰县期中）如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的

加固方案（）

【变式1-1]（2019秋•西陵区校级期中）将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳

定性的是（）

【变式1-2]（2018秋•桐梓县校级期中）图中的五角星是川螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的,

它的形状不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺

栓尽可能少，那么需要添加螺栓（)

B.2个C.3个D.4个

【变式1-3]（2019秋•安陆市期中）我们都有这样的生活经验,要想使多边形（三角形除外）木架不变形

至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根;五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉

上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）

D.8根

【考点2判断三角形的高】

【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：（1）过该边所对的顶点；（2）垂足必须在该边或在该边的延长

线上.

【例2】（2019春•海州区期中）如图，△ABC中的边上的高是（）

A.AFB.DBC.CFD.BE

【变式2-1]（2019春•大丰区期中）要求画△A8C的边上的高，下列画法中，正确的是（）

B

【变式2-2]（2019春•苏州期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这

个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【变式2-3]（2018春•南岗区校级期中）如图，8。是△ABC的高，EF//AC,EF交BD于G,下列说法正

确的有（）

①BG是AEB/的高；②CO是△BGC的高；③。G是△AGC的高；④4。是△48G的高.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点3三角形边角关系的应用】

【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.

【例3】（2019春•福州期末）用一根长为1（）。〃的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为

2cm,且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【变式3-1]（2019秋•银海区期末）a,b,c为△A8C的三边,化简了+b+d・4・b・c|・|a・b+c\-\a+b-

c|,结果是（）

A.0B.2ai2〃12cC.4aD.2b-2c

【变式3-2］（2019春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是。、b,且那么这个三角形

的周长L的取值范围是（）

A.3b<L<3aB.2a<L<2(a+h)

C.a+2b<L<2a+bD.3a-b<L<3a+b

【变式3-3］（2019•孝感模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不

计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的

夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【考点4多边形的相关概念】

【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n：n23）边形的

一个顶点可以作出（n-3）条对角线.将多边形分成（n-2）个三角形.

【例4】（2019春•道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多:S形的是（）

【变式4-1］（2019秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线.

A.1B.2C.3D.4

【变式4-2］（2018秋•南城县期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以

把一个七边形分割成（）个三角形.

A.6B.5C.8D.7

【变式4-3］（2018秋•绵阳期中）一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

【考点5多边形内角和与外角和的应用】

【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：（n-2）X1800（n23的整数），多边形的外角和等于360

特别注意：与边数无关.

【例5】（2019春•吴江区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3,

则这个多边形为（）

A.三角形B.四边形C.六边形D.八边形

【变式5-1】（2018秋•桐梓县校级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°,再沿

直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米.

A.100B.120C.140D.60

【变式5-2]（2019春•江都区期中）如图，五边形A8COK中，AB//CD,Nl、N2、N3分别是七、

/AED、NEDC的外向,则Nl+N2+N3等于（）

A.180°B.90°C.210°D.270°

【变式5-3]（2019春•江阴市期中）如图，在六边形A8CQE产中，ZA+ZB+ZE+ZF=a,CP、DP分别

平分N3C。、ZCDE,则NP的度数是（）

A.180°B.180。-LaC..laD.3600-La

2222

【考点6三角形内角和定理的应用】

【方法点拨】三