河北省遵化市乡村中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

河北省遵化市乡村中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率乙获胜概率丙获胜概率丁获胜概率则甲最终获得冠军的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.362．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交4．如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（）A. B.C. D.5．已知随机变量，，则的值为（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.766．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．在数列中，，，则（）A. B.C. D.8．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项9．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（）A. B.C. D.10．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（）A. B.C. D.11．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（）A. B.C. D.12．函数的导函数的图像如图所示，则（）A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则___________14．函数单调增区间为______.15．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.16．写出一个同时满足下列条件①②的圆C的一般方程______①圆心在第一象限；②圆C与圆相交的弦的方程为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和18．（12分）已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：19．（12分）设命题，，命题，.若p、q都为真命题，求实数m的取值范围.20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.21．（12分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.（1）求“将军饮马”的最短总路程；（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45°的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，，试求的值.22．（10分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果.【详解】甲最终获得冠军的概率，故选：B.2、B【解析】利用渐近线方程和直线解出Q点坐标，再由得P点坐标，代入双曲线方程得到a、b、c的齐次式可解.【详解】如图，因为与渐近线垂直所以的斜率为，方程为解的Q的坐标为设P点坐标为则，因为，所以，得点P坐标为，代入得：所以，即所以渐近线方程为故选：B.3、B【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；C：平面内不存在与a平行的直线，错误，当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.故选：B4、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.5、A【解析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A6、A【解析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果【详解】∵双曲线的离心率，∴又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为故选：A7、A【解析】根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到.【详解】由，得，所以，所以.故选：A.8、C【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.9、B【解析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.【详解】由题设，，因为回归直线方程过样本点中心，A：，排除；B：，满足；C：，排除；D：，排除.故选：B10、B【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B11、B【解析】由题可得，然后结合条件可得，即求.【详解】设于点，准线交轴于点G，则，又，∴，又于点且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故选：B.12、A【解析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值【详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求出函数的导函数，再求出，即可得出答案.【详解】解：由，得，则，所以，所以，所以.故答案为：.14、【解析】利用导数法求解.【详解】因为函数，所以，当时，，所以的单调增区间是，故答案为：15、【解析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为故答案为：【点睛】方法点睛：对于有关弦中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.16、（答案不唯一）【解析】设所求圆为，由圆心在第一象限可判断出，只需取特殊值，即可得到答案.【详解】可设所求圆为，即只需，解得：，不妨取，则圆的方程为：.故答案为：（答案不唯一）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）an=n（2）【解析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求【小问1详解】因a1，a2+1，a3+6成等比数列，所以又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；【小问2详解】因为，所以，所以，所以所以18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最小值，推出，，，得到双曲线方程（2）设，，，，，即可得到，依题意可得以、为切点的切线方程，从而得到直线的方程，再分与两种情况讨论，即可得证；【小问1详解】解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，因为，所以，又，所以当且仅当时，，因为，所以，，因为，所以，故椭圆的标准方程为【小问2详解】解：由（1）知，设，，，，，所以，由题知，以为切点的椭圆切线方程为，以为切点的椭圆切线方程为，又点在直线、上，所以、，所以直线的方程为，当时，直线的斜率不存在，直线斜率为，所以，当时，，所以，所以，综上可得；19、【解析】先求出命题为真时，的取值范围，再取交集可得答案.【详解】若命题，为真命题，则，解得；若命题，为真命题，则命题，为假命题，即方程无实数根，因此，，解得.又p、q都为真命题，所以实数m的取值范围是.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.20、（1）（2）【解析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可【小问1详解】依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，则，，，，椭圆的方程为【小问2详解】当直线的斜率存在时，设，，，，由得由得由，得设，则，当直线的斜率不存在时，，的最大值为21、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可；（2）将直线方程代入圆的方程并化简，进而结合韦达定理求得答案.【小问1详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则，又，联立解得：，即，所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为.【小问2详解】过点A倾斜角为