专题06 一元一次方程实际应用十二问 初中数学人教版（2024）七年级上册（解析版）

目录专题06一元一次方程实际应用十二问目录A·重难点题型分类题型1：工程问题……………1题型2：行程问题……………4题型3：配套问题……………9题型4：销售盈亏问题………13题型5：比赛积分问题………19题型6：方案选择问题………23题型7：数字问题……………29题型8：和差倍和比例问题…………………32题型9：电费与水费问题……………………34题型10：日历问题……………38题型11：古代问题……………42题型12：几何问题……………44B·能力提升………………………49重难点题型分类重难点题型分类【题型1：工程问题】【例1】某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？【答案】这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原计划x天完成，根据两种生产方式下，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得x的值，由此即可得．【详解】解：设原计划x天完成，由题意得：20x+100=23x−20，解得x=40，则20x+100=20×40+100=900（套），答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成．【变式1-1】甲、乙、丙三人在A，B两块地植树，A地要植树900棵，B地要植树1250棵，已知

甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？【答案】11【分析】本题考查了对工程问题的解答方法的掌握情况，解题关键在于熟练掌握一元一次方程和工程问题的等量关系.甲、乙、丙三人在植树过程中都没有停，设都干了x天，则共植了2150棵树，由此可得出都干了25天．乙在开始后第11天从A地转到B地．【详解】解：设共干了x天，24x+30x+32x=900+1250解得：x=25900−24×25=300（棵）300÷30=10（天）即第11天从A地转到B地．答：两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第11天从A地转到B地.【变式1-2】完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？【答案】26【详解】解：丙2天的工作量，相当于乙4天的工作量，丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样，也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍，乙做13天，甲只要133天，丙做13天，乙要26天，而甲只要263天，他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要【变式1-3】整理一批图书，如果由一个人单独做要用30小时完成，(1)学校现要求6小时完成，假设每个人的工作效率相同，需安排多少人员整理？(2)现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排多少人员整理？【答案】(1)5人(2)6人【分析】（1）设需要安排x人，根据题意，得130（2）设现先安排m人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．根据题意，得130本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．【详解】（1）解：设需要安排x人，根据题意，得130解得x=5．答：需要安排5人．（2）解：设现先安排m人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．根据题意，得130解得m=6．答：现先安排6人用1小时整理．【变式1-4】修一段公路，如果甲、乙两个工程队合修24天可以完成．如果甲队先工作9天，乙队再单独做18天，还剩下全长的1328没有完成，已知后来有一天因停电甲队少修100米，这一天甲修的米数只占乙一天修的米数的2【答案】8400【分析】设乙每天可修x米，甲每天可修23x+100米，这一段公路全长为24x+23本题考查了用一元一次方程解应用题，合理的设未知数并找到等量关系列出方程是解题的关键．【详解】解：设乙每天可修x米，则甲每天可修23x+100米，这一段公路全长为根据题意得92解得x=150，则甲每天可修23这一段公路全长为24×200+150=8400(米答：这一段公路全长为8400米．【题型2：行程问题】【例1】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，甲车再行驶3小时就能到达B地，已知甲车每小时比乙车多行驶20km．求A【答案】560【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为x+20km/h，根据题意列出方程求出【详解】解：设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为x+20由题意得，4+3x+20解得x=60，∴甲车的速度为x+20=60+20=80km/h∴A，B两地的距离为答：A，B两地的距离为【变式1-1】一个人从县城骑车去乡办厂．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程．【答案】县城到乡办厂之间的总路程为18000米【分析】本题考查行程问题，设总路程为x米，求出原来的速度，进而求出加速后的速度，根据题意，列出方程进行求解即可．【详解】解：2千米=2000米，设县城到乡办厂之间的总路程为x米，由题意，得：12解得：x=18000；答：县城到乡办厂之间的总路程为18000米．【变式1-2】周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为800m的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为4m/s，(1)多久后两人首次相遇？(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距80m【答案】(1)60秒后两人首次相遇(2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距80【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距80m（1）两人分别A，D两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；（2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距80m【详解】（1）解：设x秒后两人首次相遇，依题意得到方程4x+6x=800×3解得x=60．答：60秒后两人首次相遇．（2）解：设又经过y秒后两人两人相距80m依题意得4y+6y=80或4y+6y=800−80解得y=8或y=72．答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距80m【变式1-3】梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；(2)现在带队的老师和一位参赛同学分别设计一种运送方案：老师方案：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．学生方案：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到某处，然后这4个人步行前往考场，小汽车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．他们的各自的方案合理吗？请通过计算说明．【答案】(1)不能在限定时间内到达考场(2)他们的方案都合理；理由见解析【分析】（1）计算出汽车将8人都送到考场所用的时间，然后再与42分钟进行比较即可；（2）算出按老师方案将8人送到考场需要的时间和按学生方案将8人送到考场需要的时间，然后与42分钟进行比较即可．【详解】（1）解：1560∵45>42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）解：老师方案：设汽车将第一批送到考场再返回与第二批学生相遇所用时间为x小时，根据题意得：5x+60x=15×2，解得：x=6则将所有学生都送到考场所用的总时间为：6===405∵40∴这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．学生方案：∵两批学生步行速度相等，∴设第一批学生行驶的路程为mkm，第二批学生行驶的路程为m15−m+15−m−m=30−3m根据题意得：m5解得：m=2，则将所有学生都送到考场所用的总时间为：25∴他们也能在截止进考场的时刻前到达考场．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程，解方程．【变式1-4】如图，水平跑道AB和CD的长度分别为2400米和1800米，斜坡跑道BC的长度为2400米．小明从A点出发沿跑道慢跑到达D点，小东同时从D点出发沿跑道慢跑到达A点．他们在水平跑道慢跑的速度都是100米/分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的1.5倍．(1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分．(2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程．(3)当小明和小东相距1000米时，求小明慢跑的时间．【答案】(1)50(2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为2775米；(3)当小明和小东相距1000米时，求小明慢跑的时间为26分钟或1123【分析】（1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解；（2）根据题意，24秒后小东在BC上，相遇点在BC上，设相遇时，用时t分，根据题意列出一元一次方程即可求解；（3）依题意，当小明和小东相距1000米时，设小明慢跑的时间为t分，分相遇前后两种情况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，100×0.5=50米故答案为：50．（2）解：∵2400100=24（分），1800∴24秒后小东在BC上，相遇点在BC上，设相遇时，用时t分，依题意得：t−24×50+解得：t=31.5∴2400+31.5−24答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为2775米；（3）解：由（2）可知相遇点距离B点2775−2400=依题意，当小明和小东相距1000米时，设小明慢跑的时间为t分，①两人相遇前，小明在线段AB上，小东在线段BC上，依题意：100t+1000+t−18解得：t=26，②两人相遇后，则小明在线段BC上，小东在线段AB上，依题意，2400+t−24解得：t=112综上所述，当小明和小东相距1000米时，求小明慢跑的时间为26分钟或1123【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．【题型3：配套问题】【例1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人．(1)求调整后车间共有多少名工人；(2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】(1)车间有工人22名；(2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母．【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．（1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：16+x=3x+4，可解得答案；（2）设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得120y=1【详解】（1）解：设调入x名工人，根据题意得：16+x=3x+4，解得x=6，∴调入6名工人；答：车间有工人16+6=22（名)．（2）解：设y名工人生产螺栓，则(22−y)名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴120y=1解得y=10，∴22−y=22−10=12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【变式1-1】为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列．该工厂将这批新春限定盲盒分为A、B两种包装，工厂共有800名工人．请用一元一次方程解答下列问题：(1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？【答案】(1)生产B种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人(2)工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，则600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．（1）设生产B种盲盒的工人x人，则生产A种盲盒2x−100人，根据工厂共有800名工人建立方程求解；（2）设工厂应该安排y名工人生产A种盲盒，则800−y名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套，由该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒，建立方程求解．【详解】（1）解：设生产B种盲盒的工人x人，则生产A种盲盒2x−100人，由题意得：x+2x−100解得：x=300，∴2x−100=500，答：生产B种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人；（2）解：设工厂应该安排y名工人生产A种盲盒，则800−y名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套，由题意得：20y2解得：y=200，∴800−y=800−200=600，答：工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套．【变式1-2】某手工编织厂40名工人在编织一批手工花束．平均每人每天可编织18束铃兰或12束康乃馨．每束手捧花需要5束铃兰和2束康乃馨．该车间每天安排多少工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套？【答案】该车间每天安排25名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x名工人编织铃兰，则安排40−x名工人编织康乃馨，根据每束手捧花需要5束铃兰和2束康乃馨且每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【详解】解：设安排x名工人编织铃兰，则安排40−x名工人编织康乃馨，根据题意得：18x5解得：x=25，答：该车间每天安排25名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套．【变式1-3】某工厂里用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张铁皮，为使盒身与盒底正好配套，应用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底？【答案】应用16张铁皮制盒身，20张铁皮制盒底【分析】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．可设用x张制盒身，则36−x张制盒底，可使盒身与盒底正好配套，根据等量关系：一个盒身与两个盒底配成一套．列出方程求解即可．【详解】解：设用x张制盒身，则36−x张制盒底，根据题意，得2×25x=40(36−x)，解得x=16．36−x=36−16=20．答：应用16张铁皮制盒身，20张铁皮制盒底．【变式1-4】新冠肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面，多少名工人生产耳绳？【答案】10名生产口罩面，16人生产耳绳【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，找出等式关系，列出方程．设出安排x名工人生产口罩面，则26−x人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则26−x人生产耳绳，由题意得100026−x解得∶x=10，∴26−x=26−10=16答：安排10名工人生产口罩面，16人生产耳绳．【变式1-5】列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？【答案】(1)生产盲盒B的工人人数为400人．(2)该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为2x−200人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；（2）设安排m人生产盲盒A，则安排1000−m人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设生产B的人数为x人，则生产A的人数为2x−200人，于是2x−200解得：x=400答：生产盲盒B的工人人数为400人．（2）解：设安排m人生产A，则安排1000−m人生产B，于是3×20m=2×10解得：m=250∴1000−m=1000−250=750（人）答：该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．【题型4：销售盈亏问题】【例1】某乡镇返乡创业青年采用线上方式售卖非遗手工绣花布鞋，已知A，B两款鞋子的售价均为120元/双，每双B款鞋子的成本比A款鞋子的成本贵25元．经核算，售出一双B款鞋子亏损4%【答案】售出这两款鞋子各一双共赚了15元【分析】设A款鞋子的成本为x元/双，则B款鞋子的成本为(x+25)元/双，根据售出一双B款鞋子亏损4%，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入求出B【详解】解：设A款鞋子的成本为x元/双，则B款鞋子的成本为(x+25)元/双．根据题意，得x+25−120=4解得x=100，则x+25=125，120−100+120−125故售出这两款鞋子各一双共赚了15元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式1-1】国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？【答案】他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设付款180元和456元的标价分别为x元、y元，然后分①付款180元购物不超过200元，②付款180元购物超过200元两种情况，根据优惠方法分别列出方程求解，再根据优惠方法求出合起来一次去购买同样的商品时的付款，再求解即可．【详解】解：设付款180元和456元的标价分别为x元、y元，①由题意得，0.9x=180，解得x=200，500×0.8+y−500解得y=580，合起来一次去购买同样的商品标价为200+580=780元，应付款：500×0.8+780−500节约的钱数=180+456−596=636−596=40元；②0.8x=180，解得x=225，合起来一次去购买同样的商品标价为225+580=805元，应付款：500×0.8+805−500节约的钱数=180+456−613.5=636−613.5=22.5元；答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱．【变式1-2】因教学需要，学校准备订购50个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）：A方案：买一个排球送一根跳绳；B方案：排球和跳绳都按定价的90%假设订购跳绳x根（x>50）．(1)若按A方案购买，一共需付款元；若按B方案购买，一共需付款元；(用含x的式子表示)(2)购买多少根跳绳时，A、B两种方案所省的钱数一样多？【答案】(1)5000+20x，5400+18x；(2)购买200根跳绳时，A、B两种方案所省的钱数一样多．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）利用“总价=单价×数量”，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用；（2）根据选择A、B两种方案所省的钱数一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：按A方案购买，一共需付款120×50+20x−50按B方案购买，一共需付款120×50+20x×0.9=5400+18x故答案为：5000+20x，5400+18x；（2）解：由题意得(120×50+20x)×(1−90%)=50×20，解得：x=200，答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所省的钱数一样多．【变式1-3】服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用560米长的这种布料生产套装．(1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？(2)某商场以每套150元的价格购进了这批服装，定价为每套200元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计10套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是15%【答案】(1)400(2)九二折【分析】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）设用x米的布料做上衣，560−x米的布料做裤子，根据“一件上衣和一条裤子为一套”为等量关系列方程求解即可；（2）先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可．【详解】（1）解：设用x米的布料做上衣，560−x米的布料做裤子，x5解得x=400，560−x=560−400=160米，答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子；（2）解：560−4005成本：150×160=24000元，销售额：24000×1+15单价：27600÷160−10184200答：商场计划打九二折出售．【变式1-4】今年元旦期间，晓风家装修．爸爸去买新家具，看到家具店促销活动的规定：根据家具标价，①一次性购物不超过6000元，不享受优惠：②一次性购物超过6000元但不超过10000元一律九折：③一次性购物超过10000元，一律八折．晓风的爸爸根据装修需要，元旦期间先后两次到该家具店购买家具．(1)根据家具标价，晓风爸爸第一次购物超过6000元，实际付费5580元，则晓风的爸爸购买了标价是多少元的家具？(2)第二次购物晓风爸爸实际付费8640元，则晓风的爸爸本次购买了标价是多少元的家具？(3)如果晓风爸爸一次性购买这些家具，实际付费超过了13000元，将这些家具运回家中需要支付用车费和人工费．已知人工费是用车费的3倍多14【答案】(1)晓风的爸爸购买了标价是6200元的家具(2)晓风的爸爸本次购买了标价是9600元或10800元的家具(3)运输这批家具的人工费是2600元【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．（1）求出标价为10000元的家具打九折后的价格，将其与5580比较后可得出爸爸第一次购买家具的标价低于10000元，利用标价=实际支付费用÷90%（2）求出标价为10000元的家具打八折后的价格，由8000元<8640元<9000元，可得出爸爸第二次购买家具的标价可能低于10000元也可能高于10000元，利用标价=实际支付费用÷90%或标价=实际支付费用÷80（3）将前两次购买家具的标价相加，求出其打八折后的价格，结合晓风爸爸一次性购买这些家具实际付费超过13000元可得出爸爸两次购买家具的标价总和，设运输这批家具的用车费为4m元，则人工费用为13m元，根据晓风爸爸通过计算发现这次所有费用的支出（购买家具实际费用、人工费和用车费）恰好是这批家具的标价，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】（1）解：10000×90%＝9000（元），5580元5580÷90%＝答：晓风的爸爸购买了标价是6200元的家具．（2）解：10000×80%＝8000（元），8640元8640÷90%＝8640÷80%＝答：晓风的爸爸本次购买了标价是9600元或10800元的家具．（3）解：6200＋15800×80%＝12640（元），12640元6200＋17000×80%＝13600（元），13600元设车费为4m元，则人工费为13m元，根据题意列方程得：13600＋解得m＝200，则答：运输这批家具的人工费是2600元．【变式1-5】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为50%(1)甲种商品每件售价为元，每件乙种商品利润率为；(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过380元不优惠超过380元，但不超过500元售价打九折超过500元售价打八折按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？【答案】(1)60，60(2)购进甲商品40件，乙商品10件(3)13或14件【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品50−x件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；（3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得a、【详解】（1）解：40×1+50%所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为60%故答案为：60，60%（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品50−x件，由题意得，40x+5050−x解得：x=40，则答：购进甲商品40件，乙商品10件．（3）解：设第一天购买乙种商品a件，依题意得，80a⋅90%解得a=所以第一天购买乙种商品5件．设第二天购买甲种商品b件，依题意得，60b⋅90%解得b=所以第二天购买甲种商品8或9件，5+8=13（件）或答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键．【题型5：比赛积分问题】【例1】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．(1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是(用含有x的字母表示)(2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？【答案】(1)6x−60分(2)小明在竞赛中答对了24道题【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键．（1）小明共答对了x道题，则不答或答错了30−x道题，根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了30−x道题，根据题意：他的成绩为：4x−230−x故答案为：6x−60分；（2）根据题意：6x−60=84，解得：x=24，答：小明在竞赛中答对了24道题．【变式1-1】一份数学竞赛试卷有20道选择题，规定做对一题得5分，一题不做或做错■■■■（此处因印刷原因看不清楚）．文文做对了16道，但只得了74分，这是为什么？【答案】因为试卷规定做错或不做的题每题扣1.5分，文文做对16题本应得80分，但做错或不做4题被扣6分，所以实际得分是74分【分析】本题主要是考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．文文做对了16道，做对一题得5分，按说应该得80分，但只得了74分，说明一题不做或做错要扣分．设一题不做或做错扣x分，根据得分情况来列等量关系．得分−扣分=74，即74=5×对的题数−x×错的题数．【详解】解：设一题不做或做错扣x分，则16×5−20−16解得：x=1.5∴一题不做或做错扣1.5分，答：因为试卷规定做错或不做的题每题扣1.5分，文文做对16题本应得80分，但做错或不做4题被扣6分，所以实际得分是74分．【变式1-2】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以3:2逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．【答案】九（1）班获胜7场【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设九（1）班获胜x场，则平11−x场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平11−x场，根据题意得：3x+11−x解得：x=7．答：九（1）班获胜7场．【变式1-3】表是某次篮球联赛积分的一部分球队比赛现场胜场负场积分前进1410424光明149523远大147721卫星1441018备注：总积分=胜场积分+负场积分(1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）；(2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？(3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值．【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分(2)不能，理由见解析(3)n的值为2，5，12或26【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可．（1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解；（2）设该队胜了m场，则负了14−m场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论；（3）设该队胜了a场，则负了14−a场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论．【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分，则有10×2+4×1=24，同理其他球队也满足，胜场×2+负场×1=总积分，∴胜一场积2分，负一场积1分；（2）解：不能，理由如下：设该队胜了m场，则负了14−m场，若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍，∴2m=3×14−m解得m=42∵m为整数，∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍；（3）解：设该队胜了a场，则负了14−a场，根据题意可得，2a=14−a解得n=2a当a=0时，n=0，不合题意；当a=1时，n=2当a=2时，n=1当a=3时，n=6当a=4时，n=4当a=5时，n=10当a=6时，n=3当a=7时，n=2，符合题意；当a=8时，n=8当a=9时，n=18当a=10时，n=5，符合题意；当a=11时，n=22当a=12时，n=12，符合题意；当a=13时，n=26，符合题意；当a=14时，分母为零，此时不存在n的值；综上，n的值为2，5，12或26．【题型6：方案选择问题】【例1】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表：购票人数（人）1～5051～100101～150150以上参观门票价格（元/人）50454035去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元．(1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？(2)你能确定两班各有多少名学生吗？(3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？【答案】(1)有，可以节约740元钱(2)1班有58人，2班有45人(3)购买151张，总票价为5285元【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票．（1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱=4860−团体票价；（2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解；（3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解．【详解】（1）解：有．可以节约4860−103×40=740（元）．（2）解：设1班有x人，则2班有103−x人，根据题意，有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间，45x+103−x若1班人数是51～100，2班是1～50，45x+50103−x解得：x=58，则103−x=45，答：1班有58人，2班有45人；（3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价=148×40=5920元．若买151张票，总票价为151×35=5285元，∵5920>5285，∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元．【变式1-1】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受．优惠方式A可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张．优惠方式B除锅底不打折外，其余菜品全部打□折．小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元．(1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？(2)小麦如何付款最省钱？【答案】(1)优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折(2)小麦应买3张代金券最省钱【分析】本题考查了一元一次方程的应用．（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，根据锅底费用+菜品的费用=182列方程，解方程即可求解；（2）计算选用优惠方式A的费用，与优惠方式B比较即可求解．【详解】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，由题意得50+270−50解得x=6，答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折；（2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款50+270−100若买2张代金券，需要付款2×50+270−200若买3张代金券，需要付款3×50=150（元）；因为150<170<220，所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；优惠方式B：需付182元，故小麦应买3张代金券最省钱．【变式1-2】某市两超市分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样．(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实际付款分别是多少元？(2)某顾客在乙超市购物实际付款428元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由．【答案】(1)甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元(2)该顾客的选择不划算，理由见解析【分析】本题考查一元一次方程的实际应用.（1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可；（2）根据计算可得该顾客原购物金额不超过500元，甲超市八八折,乙超市九折比较即可．【详解】（1）解：由题意可知，一次性购物总额是400元时：甲超市实付款：400×0.88=352（元），乙超市实付款：400×0.9=360（元），答：甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元．（2）解：∵500×0.9=450（元），450>428，∴该顾客购物实际金额不多于500元，∵甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：超过了200元而不超过500元一律打九折；∴甲超市优惠，∴该顾客的选择不划算.【变式1-3】A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城运往C、D两地，运费分别为20元/吨与25元/吨；从B城运往C、D两地，运费分别为15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨．(1)设从A城运往C农村x吨，请用含x的式子表示调运总费用；(2)若某种调运方案的总费用是10200元，求：具体的调运方案是怎样的？【答案】(1)调运总费用2x+10060元．(2)A城运往C农村70吨，A城运往D农村130吨，B城运往C农村150吨，B城运往D农村150吨．【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用等知识点找到各城运往各村的化肥吨数是解题的关键．（1）设从A城运往C农村x吨，则运往D农村200−x吨，从B城运往C农村220−x，运往D农村280−200−x吨，然后再根据“总调度费用=A城运往C农村运费+A城运往D农村运费+B城运往C农村运费+B城运往D农村运费”列出含x（2）根据等量关系“总调度费用=A城运往C农村运费+A城运往D农村运费+B城运往C农村运费+B城运往D农村运费”列一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：设从A城运往C农村x吨，则运往D农村200−x吨，从B城运往C农村220−x，运往D农村280−200−x则调运总费用20x+25=20x+5000−25x+3300−15x+1760+22x=2x+10060答：调运总费用2x+10060元．（2）解：由题意可得：2x+10060=10200．解得：x=70．答：A城运往C农村70吨，A城运往D农村130吨，B城运往C农村150吨，B城运往D农村150吨．【变式1-4】某校六年级（1）班学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，已知45座客车租金220元，60座客车租金300元．问：(1)这个学校六年级（1）班学生多少人？（请用方程解）(2)如果你是班长，你认为应该怎样租车，最经济合算？【答案】(1)这个学校六年级（1）班有学生240人．(2)租用45座客车4辆，60座客车1辆，最经济合算【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，以及方案问题，解题的关键在于根据题意找出等量关系．（1）设这个学校六年级（1）班有学生x人，根据若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，建立方程求解，即可解题；（2）分别算出若全租用45座客车，需要车的辆数，若全租用60座客车，需要车的辆数，再结合45座客车租金220元，60座客车租金300元，讨论得到若两种类型的车都租用，应尽可能的多租用45座客车，费用才会较少，再结合人数分析列式求解，即可解题．【详解】（1）解：设这个学校六年级（1）班有学生x人，根据题意得：x−1545解得x=240，答：这个学校六年级（1）班有学生240人．（2）解：240÷45=5⋯15，即若全租用45座客车，需要6辆，费用为6×220=1320（元），240÷60=4，即若全租用60座客车，需要4辆，费用为4×300=1200（元），因为220<300，所以若两种类型的车都租用，应尽可能的多租用45座客车，费用才会较少，可考虑租用45座客车4辆，60座客车1辆，且刚好装完，费用为4×220+1×300=1180（元），因为1180<1200<1320，所以租用45座客车4辆，60座客车1辆，最经济合算．【变式1-5】下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）月基本费/元主叫通话/分钟上网流量MB接听主叫超时部分（元/分/钟）超出流量部分/（元/MB）方式一49200500免费0.200.3方式二69250600免费0.150.2(1)若某月小萱主叫通话时间为240分钟，上网流量为800MB，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需119元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________MB(2)若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t(3)若上网流量为540MB，直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间t【答案】(1)147，109，850；(2)t=240；(3)当t<240时方式一比较划算，当t>240方式二比较划算；【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答案，设上网流量为xMB，根据费用列方程求解即可得到答案；（2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答案；（3）由（2）及单价对比可直接得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，∵小萱主叫通话时间为240分钟，上网流量为800MB∴方式一收费为：49+(240−200)×0.2+(800−500)×0.3=147（元）；方式二收费为：69+(800−600)×0.2=109（元）；设上网流量为xMB，由题意可得，69+(x−600)×0.2=119，解得x=850，故答案为：147，109，850；（2）解：假设存在，∵49+(540−500)×0.3+(250−200)×0.2=71>69，∴200<t<250，∴49+(540−500)×0.3+(t−200)×0.2=69解得：t=240，∴假设成立，上网流量为540MB当t=240（3）解：∵上网流量为540MB当t=240时，方式一和方式二的计费相等为69①当t>240时，方式一费用为：69+0.20×(t−240)，方式二费用为：69+0.15×(t−240)，69+0.20×(t−240)>69+0.15×(t−240)，∴当t>240方式二比较划算．②当t<240时，方式一费用为：49+(540−500)×0.3+(t−200)×0.2=0.2t+21，方式二费用为：69，当t<240时，0.2t+21<69，∴当t<240时方式一比较划算，当t>240方式二比较划算．【点睛】本题考查利用一元一次方程解决阶梯收费问题，解题的关键是读懂收费方式找到等量关系式．【题型7：数字问题】【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的15【答案】这个两位数是45【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程．首先设十位数字为x，则个位数字为x+1，根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为x+x+1，这个两位数是10x+x+1，再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的15，可得方程x+【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为x+1，由题意得：x+x+1解得x=4，故十位数字为4，个位数字为5，这个两位数字是45，答：这个两位数是45．【变式1-1】观察下面三行数：−24−16−3264…①−42−1014−3462②3−39−1533−63…③(1)第①行第7个数是_____，第①行第n个数是_____；(2)第②行第n个数是_______，第③行第n个数是_______．(3)取每一行的第n个数得到三个数，若这三个数的和为1023，求n的值．【答案】(1)−128；−2(2)−2n−2(3)n=10．【分析】本题主要考查代数式及一元一次方程的解法、乘方，熟练掌握代数式及一元一次方程的解法、乘方是解题的关键．（1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可；（2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解；（3）根据题意及（2）直接列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：第①行的第7个数是−128，由①行的前7个数可得规律为：第n个数是−2n故答案为：−128；−2n（2）解：由题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2，故第②行的第n个数是：−2n第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和，故第③行的第n个数是：−−2故答案为：−2n−2；（3）解：设第①行的第n个数为x，第②行的第n个数是：x−2，第③行的第n个数是：−x+1，由题意得：x+x−2−x+1=1023，解得：x=1024，∵−210∴n=10．【变式1-2】爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将一些数字分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将一些数填入了圆圈，求a−b的值．【答案】−2【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求代数式的值，正确理解题意是解题的关键．根据题意，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，可列方程，解方程得a，b的值，再代入a−b计算，即得答案．【详解】∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴a+8+(−1)+(−7)=−7+6+(−5)+8，b+6+(−3)+(−5)=−7+6+(−5)+8解得a=2，b=4∴a−b=−2．【变式1-3】有一个六位数，个位数字是1，它除以3后仍是六位数，只是个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，求这个六位数．【答案】428571【分析】设这个六位数为10x+1，根据这个六位数除以3后仍是六位数，个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，得到新六位数为，100000+本题主要考查了一元一次方程的应用——数字问题．熟练掌握列多位数表达式，列方程，是解决问题的关键．【详解】设这个六位数为10x+1，则10x+1=3100000+x解得x=42857．答：这个六位数是428571．【题型8：和差倍和比例问题】【例1】红星机床厂，今年生产机床2600台，比去年产量的215倍还多【答案】去年生产机床1000台．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设去年生产机床x台，由题意得115【详解】解：设去年生产机床x台，由题意得：11511x=2200÷x=2200×x=1000，答：去年生产机床1000台．【变式1-1】某学校有小学部和初中部，在对口援助边远山区学校活动中，原计划共赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中小学部比原计划多赠了20%，初中部比原计划多赠了30【答案】该校初中部原计划赠书1800册．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该校初中部原计划赠书x册，则小学部赠书3000−x部，依题意得30%【详解】解：设该校初中部原计划赠书x册，则小学部赠书3000−x册，依题意得：30%解得：x=1800，答：该校初中部原计划赠书1800册．【变式1-2】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少19【答案】105.6吨【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少19【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为12x吨；乙仓库存化肥的质量为11x吨；依题意得：12x=(11x+24)(1−1解得：x=9.6，乙仓库存化肥的质量为11x=11×9.6=105.6吨，答：乙仓库原来存化肥105.6吨【变式1-3】有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题：(1)现在父亲多少岁？(2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？【答案】(1)父亲现在的年龄为56岁(2)8年【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）设现在儿子x岁，根据父子年龄差始终不变列方程求解即可；（2）设再过y年父子两人可以称为“百岁父子”，根据父子两人年龄和为100岁列方程求解即可．【详解】（1）解：设现在儿子x岁，则父亲2x岁．根据题意，得2x−x=38−10，解得x=28，2x=2×28=56答：父亲现在的年龄为56岁．（2）解：设再过y年父子两人年龄和为100岁．则56+y解得y=8答：再求再过8年成为“百岁父子”．【题型9：电费与水费问题】【例1】为鼓励居民节约用电，某市实行阶段电价收费制，具体执行方案如表：阶段每户每月用电（度）执行电价（元/度）第一段小于等于2000.55第二段大于200小于4000.6第三段大于等于4000.85某户居民五六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份．问该户居民五、六月份用电多少度？【答案】五月份用电2453度，六月份用电1255【分析】本题考查了利用分类讨论的方法，列出一元一次方程来解决实际问题，总价=单价×数量是解决本题的关键．根据两个月份用电量共是500度，六月份用电量大于五月份用电量．分两种情况来讨论．①五月份用电量小于200度；②五月份用电量大于200度，分别列出方程求解即可．【详解】解：设五月份用电量为x，则六月份用电量为500−x，∴该用户六月份用电量大于五月份，∴x<250当五月份用电量x<200时，六月份用电量500−x一定大于200．当六月份电量小于400时，根据题意可列方程：0.55x+0.6解得x=−10，不符合题意．当六月份电量大于等于400时，根据题意可列方程：0.55x+0.85解得：x=六月份电量为：500−②当五月份用电量x>200,且六月份用电量为500−x>200．根据题意可列方程：0.55×200+0.6方程无解，不符合题意．答：五月份用电2453度，六月份用电1255【变式1-1】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：月用水量不超过12吨的部分超过12吨但不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准（元／吨）a22.5某用户12月份用水8吨，交水费12元．(1)求a的值；(2)小明家12月份交水费50元，求小明家12月份用水量．【答案】(1)1.5(2)26吨【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键；（1）根据题意列方程求解即可；（2）先判断12月份用水量在哪个阶段，再根据题意列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意，得8a=12，解得a=1.5．（2）解：如果一个月用水12吨，则需水费为12×1.5=18（元），18<50，如果一个月用水18吨，则需水费为12×1.5+18−12×2=30（元），所以12月份用水量超出了18吨，设小明家12月份用水量为x吨，由题意，得12×1.5+6×2+2.5(x−18)=50，解得x=26，答：小明家12月份用水量为26吨．【变式1-2】某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元．(1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费元；(2)若小张家一个月用电a度（a>0），那么这个月应缴电费多少元？（用含a的式子表示）(3)若小张家十月份缴电费135元，请求出他十月份用电多少度？【答案】(1)60(2)0.5a（0<a≤150）；0.8a−45（a>150）(3)225【分析】本题考查分段计费，熟练掌握阶梯电价，单价与单价和数量的关系，列代数式以及一元一次方程的应用，分类讨论缴费情况，代入求值，是解决问题的关键．（1）根据120<150，结合电费=单价×度数，列式求值即可，（2）根据“如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元”分别讨论0≤a≤150和a>150时，这个月应缴纳的电费，列出关于a的整式，（3）根据0.5×150=75<135可得十月份电费超过150度，据此列方程0.8x−45=135计算即可【详解】（1）解：∵120<150，∴用电收费标准为每度电0.5元，∴0.5×120=60（元）．故答案为：60．（2）解：当0<a≤150时，应缴电费0.5a（元）；当a>150时，应缴电费0.5×150+0.8a−150（3）解：设小张家十月份用电x度，∵0.5×150=75<135，∴小张家十月份用电超过150度，∴0.8x−45=135，解得x=225．答：小张家十月份用电225度．【变式1-3】为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表：每户每月用电数（度）阶段阶段电价（元/度）小于等于2000.55大于200小于等于300的部分0.65大于300的部分0.8例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费200×0.55+60×0.65=149（元）．(1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？(2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？【答案】(1)需缴电费183元；(2)小悦家四月份用电210度，五月份用电150度．【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）先根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可；（2）设小悦家四月份用电x度，则五月份用电360−x度，分180<x≤200，200<x≤300及x>300三种情况考虑，根据小悦家四、五月份共缴电费199元，可列出关于x的一元一次方程求解并取其符合题意的值即可．【详解】（1）解：根据题意得：0.55×200+0.65×300−200=0.55×200+0.65×100+0.8×10=110+65+8=183（元）．答：需缴电费183元．（2）解：设小悦家四月份用电x度，则五月份用电360−x度，当180<x≤200时，0.55x+0.55360−x当200<x≤300时，0.55×200+0.65x−200解得：x=210，∴360−x=360−210=150（度）；当x>300时，0.55×200+0.65×300−200解得：x=264（不符合题意，舍去）．答：小悦家四月份用电210度，五月份用电150度．【题型10：日历问题】【例1】如图，在日历上任意框出6个数．如果框出的6个数的和是75，框出的6个数分别是多少？【答案】8，9，10，15，16，17【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含x的代数式表示其他5个数．从图中框出的6个数发现：12是这6个数中最小的数，其它5个数分别与12的关系分别是：12+1=13，12+2=14，12+7=19，12+8=20，12+9=21；据此设框出的6个数中最小的数是x，那么其它5个数分别是x+1，x+2，x+7，x+8，x+9，它们的和等于75，列出方程并求解．【详解】解：设这6个数中最小的数是x，则其它5个数分别是x+1，x+2，x+7，x+8，x+9，x+6x+27=756x+27−27=75−276x=486x÷6=48÷6x=8，其它5个数是：8+1=9，8+2=10，8+7=15，8+8=16，8+9=17，答：框出的6个数分别是8，9，10，15，16，17．【变式1-1】观察某月日历，回答下列问题：(1)观察图中的阴影部分的9个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论；(2)小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家几号外出的？(3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是180吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数．【答案】(1)上下相差7，左右相差1(2)小强一家是13号外出(3)能，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出数字排列规律．（1）通过观察发现：①上下相差7；②左右相差1；（2）由已知直接表示出这5个数和等于75，即可求出；（3）分别表示出这9个数，根据这9个数的和是180，得出方程，解出x的值后判断即可．【详解】（1）解：由图形可得：上下相差7，左右相差1；（2）解：设小强一家x号外出，由题意得：x+x+1+x+2+x+3+x+4=75，解得：x=13，答：小强一家是13号外出；（3）解：设最中间的一个数为x，则这九个数可表示为：x−8，x−7，x−6，x−1，x，x+1，x+6，x+7，x+8，由题意得，x−8+x−7+x−6+x−1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=180，解得：x=20，∴这9个数的和可能是180，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28．【变式1-2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…-排成如图所示的数表．(1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？(2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，若设中间数为x，请用含x的代数式表示十字框中五个数之和，写出解答过程；(3)十字框框住的五个数之和能为205吗？若能，分别写出框住的这五个数；若不能，请说明理由．【答案】(1)十字框中的五个数之和是中间数15的5倍(2)5x(3)十字框框住的五个数之和不能为205，理由见解析【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的加减计算，一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握整式的加减，一元一次方程的运用是解题的关键．（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）运用代数式表示数或数量关系，运用整式的加减运算即可求解；（3）根据题意，运用一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：5+13+15+17+25=75，75÷15=5，∴十字框中的五个数之和是中间数15的5倍；（2）解：设中间数为x，∴中间上面的数为x−10，中间下面的数为x+10，中间左边的数为x−2，中间右边的数为x+2，∴x−10+x+（3）解：十字框框住的五个数之和不能为205，理由如下：根据题意，5x=205，解得，x=41，∵41在第一列，不可能是中间的数，∴十字框框住的五个数之和不能为205.【变式1-3】如图为2025年1月的日历，其中有一个“H”形框，希望我们在新的一年“Happy”（开心学习，热爱生活）．“H”形框内包含7个数．2025年1月一二三四五六日12345678910111213141516171819202122232425262728293031(1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，用含a的式子表示“H”形框内的7个数字的和为_____；(2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数；(3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为m，n(m>n)，且m+n=189，直接写出m−n的最大值．【答案】(1)7a(2)8(3)63【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键．（1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可；（2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案；（3）设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数分别为x，y，由m+n=189可得x+y=27，结合日历可得x=18时，y=9；x=17时，y=10；x=16时，y=11，分别求出m−n的值即可得解．【详解】（1）解：设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，则其余6个数依次为a−8、a−6、a−1、a+1、a+6、a+8，则这7个数的和为：a−8+故答案为：7a；（2）解：由（1）得，7a=112，解得a=16，此时最小的数为a−8=8；（3）解：设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数分别为x，y，∴m+n=7x+7y=189，∴x+y=27，∴当x=18时，y=9，此时m−n=7×18−9当x=17时，y=10，此时m−n=7×17−10当x=16时，y=11，此时m−n=7×16−11∴m−n的最大值为63.【题型11：古代问题】【例1】中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？【答案】有15辆车，39个人．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设有x辆车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐，则总人数可表示为3x−2；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，则总人数可表示为2x+9，可列方程：3【详解】解：设有x辆车，根据题意可得：3x−2解得：x=15，人数为：2x+9=2×15+9=39(人)，答：共有15辆车，39个人．【变式1-1】《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”设大和尚有x人，依题意列方程得（）A．x3+3100−xC．3x−100−x3=100【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大和尚有x人，则小和尚有100−x人，根据“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个”列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有100−x人，由题意可得：3x+100−x故选：D．【变式1-2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．请计算此人第二天走的路程．(注：里，古代长度单位)【答案】96里【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分数乘法的应用，根据题意每天行走的路程为前一天的12，所以可以设第一天走的路程为x，那么第二天走的路程为12x，第三天走的路程为12x【详解】解：1÷2=12，12×12设此人第一天走了x里路，则第二天走了12则x+1323263x=378÷x=378×x=192192×1答：此人第二天走了96里．【变式1-3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5文钱，则相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱，求买羊的人数和这头羊的价格．【答案】买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设有x人买羊，根据羊的价格不变，即可列出方程求解．【详解】解：设有x人买羊，则这头羊的价格是(7x+3)文，根据题意得：5x+45=7x+3，解得：x=21