河南省顶级名校联盟2026届高三上学期11月强基诊断性测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省顶级名校联盟2026届高三上学期11月强基诊断性测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则.故选：C.2.已知全集，集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由及，可得：，又因为，所以.故选：B.3.命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则，即“”可推出命题“”；当时，，但是不成立，即由命题“”推不出“”；故命题“”是命题“”的充分不必要条件.故选：A.4.3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（）种．A.36 B.108 C.120 D.144【答案】D【解析】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．故选：D．5.已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】当时，得，由函数是定义域为R的奇函数，得，即当时，，等号成立时，，则当时，的最小值为1，故选：A.6.已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（）A.2 B.4 C.6 D.10【答案】D【解析】因为，所以力对该物体做的功为.故选：D.7.双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得⊥，取的中点，连接，因为为的中点，所以，且，故，即为坐标原点O到直线的距离，则，所以，由双曲线定义可得，所以，又，由勾股定理得，故，解得，故离心率为.故选：C.8.若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】当时，的取值是以12为周期的序列.在一个周期内的取值组成的集合为.根据的单调性、对称性及的周期性，不妨令，则的最大值在或中取得.可使的最大值取得最小值，需使.根据正弦函数的对称性，此时两角关于对称，即.此时，解得，.故选：B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（）A.直线AB B.直线BCC.直线CD D.直线DA【答案】CD【解析】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点，正方体中有且，四边形为平行四边形，有且，又，，所以且，所以为梯形，故直线与相交，A错误；正方体中，因为，所以，故B错误；因为平面平面，平面，平面，所以直线与直线无公共点，又，，所以直线与直线不平行，即直线与直线是异面直线，故C正确；因为平面，平面，，故直线与异面，D正确.故选：CD.10.已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（）A.的周长为4 B.为等边三角形C.的最小值为1 D.存在点N，使得【答案】BC【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点，对于A，的周长为，A错误；对于B，点，则，为等边三角形，B正确；对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确；对于D，假设存在点，令，由，得，则，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误.故选：BC.11.已知的内角所对的边分别为，，.则下列判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，，，，，，又，或，即或；当时，，此时，不合题意，，A正确；对于BCD，，，，，即，整理可得：，令，，，，即，令，则，在上单调递减，又，，，；由得：，，，又，，，，，B正确，C错误；，，即，，即，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则________.【答案】【解析】由题设，，根据换底公式，则.故答案为：.13.掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______．【答案】【解析】设，则，且，由，得，因为，当且仅当时，等号成立，，即，此时，，，合题意，所以的最小值为.故答案为：.14.一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为______．【答案】【解析】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示，圆锥轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为．由小球的半径1cm，，得，又都是等边三角形，则，圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长，因此圆台的侧面积为，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.为了研究生活习惯M与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示．无习惯M者有习惯M者合计没患疾病N者120160280患有疾病N者154560合计135205340（1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？（2）常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值．附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）零假设：患有疾病N与有生活习惯M无关，依据列联表中的数据，经计算得，根据小概率的独立性检验，推断零假设不成立，即认为患有疾病N与有生活习惯M有关．（2）.16.已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，．（1）证明：数列为等差数列；（2）数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值．（1）证明：因为当时，，，所以，可得当时，，因为，所以当时，等式两边同除可得，数列是公差为的等差数列．（2）解：因为，当时，，所以，故，因为数列是首项和公比均为的等比数列，则，所以，，所以当时，，当时，，即，所以数列的最小项为，所以对任意正整数，均有，．17.如图所示，四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点．（1）证明：平面PAB；（2）若，平面平面ABCD，求二面角的大小（用反三角函数表示）．（1）证明：设AD中点为Q，连接,因为M、N分别为BC、PD的中点，所以，，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，平面PAB，平面NQM，平面NQM，且，所以平面平面PAB，因为平面，所以平面．（2）解：设AB中点为O，CD中点为R，因为，所以，因为平面平面ABCD，且平面平面，平面，所以平面ABCD，进而，因为四边形ABCD是正方形，所以，以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，因为若，，所以，，，，，N为PD中点，所以，设平面AMN的法向量为，因为，，，，所以，，取，则，，，平面AMD的法向量为，设二面角的平面角为，则，所以．18.已知抛物线的焦点为F，点在上，且．（1）求抛物线的方程；（2）直线l经过点F，且与交于A、B两点．①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值；②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程．解：（1），所以，抛物线的方程为．（2）①.设，，，，为直线l与x轴正半轴的夹角，则直线l的方程为，将直线方程代入抛物线方程得，不妨设，则，，，所以，即，点P到直线l的距离（当时取等）所以（，时取等），所以的最小值为1．②设方程为，，，AB中点，直线的方程为，，，因为垂直平分，且四点共圆，所以关于对称，且MN是直径，将方程代入抛物线方程得，所以，，因为C既在AB上，又在MN上，所以，，得，将方程代入抛物线方程得，因为，所以，得，即，进而，又因为，所以，因为，所以，得，所以直线l的方程为或．19.已知．（1）当时，证明：对于任意，均有；（2）①若是R上的增函数，证明：；②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且．证明：（1）当时，，定义域为.所以.当时，；当时，，所以在上递减，在上递增.所以在处取得最小值，最小值为.进而对任意，均有．（2）①由，得.因为是R上的增函数，所以在R上恒成立.设，则.若，则恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增.因为，所以当时，；当时，.所以在上递减，在上递增.不合题意.若.令，则.当时，.设，则，所以在上递减，存在，与是R上增函数矛盾；当时，则，设，则.所以在上递增，，与是R上增函数矛盾；当时，由（1）知，所以满足要求，综上所述，．②由，得.设，由①知：当时，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以在恒成立，即方程在上无解.由（1）知恒