（人教A版）必修第二册高一数学下学期第八章 立体几何初步 （基础巩固卷）（解析版）

立体几何初步（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题1．下列说法正确的是A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形 D．共点的三条直线确定一个平面【答案】C【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可【详解】对于A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；对于B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确；对于C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C正确；对于D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确.故选C.2．下列命题正确的是（

）A．如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的任何一个平面B．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D．如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行【答案】C【分析】根据线面的位置关系，线面平行的判定定理逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A：如果直线m平行于直线n，m平行于经过n的平面或m在经过n的平面内，故选项A不正确；对于选项B：如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行或相交，故选项B不正确；对于选项C：过直线外一点，作直线的平行线l，由线面平行的判定定理可知：凡是经过l且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，所以过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故选项C正确；对于选项D：如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的直线平行或异面，故选项D不正确；故选：C.3．圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为90°，则圆锥的表面积是底面积的（

）倍.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为90°,可得l=4r,然后,可计算侧面积,底面积,得表面积,可求得比值为5.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为r,依题意可得:2πrl=π所以圆锥的侧面积为12l⋅2πr=πrl=4πr2,圆锥的底面积为4．）如图，一个水平放置的面积是2+2的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中A'DA．12+22 B．1+22【答案】A【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图的面积：SA【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图：上底为A′D′，下底为BS=1则SA5．若球的体积为43π，平面α截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面α的距离为A．1 B．2C．3 D．6【答案】B【分析】求出球的半径后可求球心到平面的距离.【详解】依题意，设该球的半径为R，则有4π3R因此球心O到平面α的距离d=R6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为92π，则该圆锥的体积为（A．62π B．42π C．【答案】D【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.【详解】设直角圆角的底面半径为r，母线为l，高为h，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以有(2r)2=l所以有92π=πrl⇒9所以该直角圆锥的体积为137．已知三棱锥A−BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（

）A．136 B．36 C．336【答案】B【解析】取AC中点F，连接EF,DF，证明∠FED是异面直线AB与DE所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得．【详解】取AC中点F，连接EF,DF，∵E是BC中点，∴EF//AB，EF=1则∠FED是异面直线AB与DE所成角（或其补角），设AB=1，则EF=12，∴在等腰三角形DEF中，cos∠FED=12EFDE=18．如图，在三棱锥P­-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，则下列结论中错误的是（）A．AP⊥ACB．AP⊥ABC．AP⊥平面ABCD．AP与BC所成的角为45°【答案】D【分析】在△ABC中，任取一点E，作EF⊥AC，EG⊥AB，根据平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，易证EF⊥平面PAB，EF⊥平面PAC，则PA⊥平面ABC，再逐项判断.【详解】如图所示：在△ABC中，任取一点E，作EF⊥AC，EG⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，平面PAC∩平面ABC=AC，所以EF⊥平面PAB，EF⊥平面PAC，由PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，所以EF⊥PA,EG⊥PA，又EF∩EG=E，所以PA⊥平面ABC，又AB,AC,BC⊂平面PAB，所以AP⊥AC，AP⊥AB，PA⊥BC，故ABC正确D错误，故选：D二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．已知平面a和直线l，则平面a内至少有一条直线与直线l垂直B．已知不同的平面α,β，不同的直线m,n，若m//α,m//β,n//α,n//β，则α//βC．已知直线a,b相交，直线a,c相交，则直线b,c可能异面D．若直线l在平面α外，则直线l与平面α无交点【答案】AC【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，判断选项.【详解】因为平面α内有无数条直线与直线l垂直，所以A项正确；平面α与β也可以相交，此时只需直线m,n同时平行他们的交线，所以B项不正确；显然C项正确；直线l在平面α外包括l//α和l与α相交，所以交点个数为0或1，所以10．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1A．MN//平面APC B．B1C．A，P，M三点共线 D．平面MNQ//平面【答案】AB【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平面的性质以及平面与平面相交的性质进行判断即可.【详解】平面APC即为平面ACC1A1，MN//A1因此有MN//平面ACC1A1，所以A正确.由平面BCC1B1//平面ADD1A1，又B1Q⊂平面BCC1B1，故B1Q//平面AD11．正方体ABCD−A1B1C1DA．BB．平面AEF∩平面AC．A1HD．B1G与【答案】BC【分析】根据线线垂直、面面相交、线面平行、异面直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】连接ADA选项，由于B1C1//BC，所以∠G设正方体的边长为2，则B1所以B1G2=GCB选项，根据正方体的性质可知:EF//BC所以平面AEF∩平面AAC选项，根据正方体的性质可知A1所以四边形A1HE由于A1H⊄平面AEF，D1E⊂平面AEF，所以D选项，由于B1G与平面AEF相交，EF⊂平面AEF其不过B1所以B1G与三、填空题（12．如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为___________.【答案】3【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为b，根据对角线长和面对角线长列式，求出a2和b【详解】设正四棱柱的底面边长为a，高为b，则a2+b所以a2=3.52−2.52=6，b213．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为4的正方形，PA垂直于底面ABCD，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积和外接球的体积数值相等，四棱锥P-ABCD的体积为________.【答案】32【分析】棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，由外接球的表面积和体积相等,可求R,设PA=a，由外接球的直径为长方体的体对角线，可得a值，再利用棱锥体积公式可得结果.【详解】四棱锥P-ABCD的底面为边长为4的正方形且PA垂直于底面，则棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，设PA=a,外接球的半径为R,则16+16+a2=4R2,由外接球的表面积和体积相等，即则四棱锥的体积V=13×4×4×2=14．半径为2的球面上有三点A,B,C，满足AB=23,BC=2,AC=22，若P【答案】2【详解】试题分析：∵AB=23,BC=2,AC=22，∴B所以△ABC是直角三角形，设斜边AB的中点为O',要求三棱锥P−ABC体积最大，由于三角形ABC的面积为定值,所以当三棱锥的高最大时体积最大，连结OO',并延长交球面于点P,此时三棱锥P−ABC体积最大，如图，在直角三角形AOO'∴三棱锥P−ABC体积的最大值为13四、解答题15.正四棱台两底面边长分别为3和9.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45∘（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.【答案】（1）723；（2）9【分析】（1）设O1、O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【详解】（1）如图，设O1、O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C由题意知∠C1CO=又EF=CE⋅sin45∘=3∴S侧=（2）由题意知，S上底+S下底∴h斜=90×212×4=16．如图所示正四棱锥S−ABCD，SA=SB=SC=SD=2，AB=2，P为侧棱SD(1)求证：AC⊥SD；(2)若S△SAP=3S【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）连接BD，设AC交BD于O，连接SO，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由已知得SP=3【详解】（1）证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，得AC⊥SD；（2）解：∵S△SAP=3S△APD，∴VS−APC17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AB=22，E、F分别为AB、PC（1）证明：直线EF//平面PAD；（2）求三棱锥B−EFC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）22【分析】（1）取PD的中点G，连接FG,AG，由三角形中位线定理，再结合已知条件可得四边形AEFG为平行四边形，从而得EF∥AG，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由PD⊥底面ABCD，F为PC的中点，可得点F到平面BCE的距离为d=1【详解】解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG,AG，∵F为PC的中点

∴FG∥CD，且FG=又AE∥CD，AE=12CD，∴四边形AEFG为平行四边形，∴EF∵EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）∵PD⊥底面ABCD，F为PC的中点，∴点F到平面BCE的距离为d=而S∴即三棱锥B−EFC的体积为2218．已知在六面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，且PA=2ED，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°.（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AB=2，DE=1，且M为PB的中点，求三棱锥D−PAM的体积【答案】（1）证明见解析；（2）33【分析】（1）连接BD交AC于O，连接PD，易证BD⊥AC，PA⊥BD，从而得到BD⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定即可证明平面PAC⊥平面PBD.（2）首先根据题意易证CD//平面PAM，从而得到D到平面PAM的距离，即为C到平面PAM的距离，再根据V【详解】（1）连接BD交AC于O，连接PD，如图所示：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.（2）取AB的中点F，连接CF，如图所示：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面ABCD.因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形，所以CF⊥AB.又因为平面PAM∩平面ABCD=AB，所以CF⊥平面PAM.因为DC//AB，DC⊄平面PAM，AB⊂平面PAM，所以CD//即：D到平面PAM的距离，即为C到平面PAM的距离.因为AB=2，DE=1，PA=2ED，所以CF=22−S△PAM=119．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，(1)AC1//(2)A1【分析