（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练专题03 活用正余弦定理玩转三角形（解析版）

专题03活用正余弦定理玩转三角形【考点预测】1、正弦定理（其中为外接圆的半径）．常用变形：（1）；（2）；（3）；（4），，．2、余弦定理，，，，，3、三角形中的常见结论（1）．（2）在三角形中大边对大角，大角对大边：．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）的面积公式①（表示边上的高）；②；③（为内切圆半径）；④，其中．4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．5、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（4）坡度＝，即坡角的正切值．【典型例题】例1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【解析】（1）由题意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周长为.例2．记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.【解析】（1）由，得，即，所以由正弦定理及余弦定理，得，化简得.（2）由余弦定理，得，所以，即①.又由①知②联立①②，得，所以，即的面积为.例3.设内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面积．【解析】（1）因为，由正弦定理可得，即，则，又，所以．（2）因为，，，由，得，即，又，所以，则，所以，所以．例4．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解析】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则在中，由正弦定理得：则所以，在中，由正弦定理得：则，故（舍）故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.例5．已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.(1)求；(2)若，的面积为，且，求线段的长.【解析】（1）因为，所以.

由正弦定理，得，即，

由余弦定理，得.因为，所以.（2），解得.因为，所以为的三等分点，，则，所以，.例6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的大小；(2)若，，求c的长．【解析】（1）因为中，，所以，又，∴，又，所以；（2）由余弦定理，所以，∴．例7．在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．已知中，内角所对的边分别为，且________．(1)求的值;(2)若，求的周长与面积．【解析】（1）若选①:由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，则，则，故．若选②:由，化简得，代入中，整理得，即，因为，所以，所以，则，故．若选③:因为，所以，即，则．因为，所以，则，故．（2）因为，且，所以．由（1）得，则，由正弦定理得，则．故的周长为，的面积为．例8．在中，内角所对的边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求.【解析】（1）证明：因为，所以，又，∴，即，又且为三角形内角，，则，即.（2）由（1）知，，由正弦定理可得，.根据余弦定理可知，，，联立可得，.又，则，所以，则，则，又，则.例9．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，则，所以，即，故，又，所以，故.（2）由题意设，，，由（1）得，在中由余弦定理可得，①，因为，所以，即②，联立①②，解得（负值舍去），则，，是等边三角形，所以，即的面积是．【过关测试】一、单选题1．中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【解析】因为在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，故选：.2．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故选：D.3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，结合即可求得．由余弦定理可得.又∵，∴．故选：D4．的内角所对的边分别为，且，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】由得，又，所以，从而，所以.故选：B5．在中，已知，，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】在中，因为，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故选：C6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则c的值为（

）A． B．7 C．37 D．6【答案】A【解析】由得，即，解得或(舍去)．由及正弦定理，得，结合，得.由余弦定理，知，

所以.故选：A7．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．8．在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】，利用正弦定理，可得，，，，，，①时，有等式成立，此时；②时，有，因为，所以，.故为等腰或直角三角形.故选：D二、多选题9．在中，若，下列结论中正确的有（

）A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆的半径为【答案】ACD【解析】根据正弦定理由，因此选项A正确；设，所以为最大角，，所以为锐角，因此是锐角三角形，因此选项B不正确；，显然为锐角，，因此有，因此选项C正确；由，外接圆的半径为：，因此选项D正确，故选：ACD10．在中，角A，，所对的边分别为，，，下列叙述正确的是(

)A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则为等腰三角形【答案】AC【解析】对于A，若，则根据正弦定理得：，∵sinA+sinB≠0，∴sinA=sinB，则a=b，即△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若，则根据正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0，2π)且2A+2B∈(0，2π)，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若，则根据正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴A=B，即△ABC为等腰三角形，故C正确；对于D，若，则根据正弦定理得：，则由B选项可知，此时△ABC为等腰或直角三角形，故D错误．故选：AC．11．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（

）A．1 B．1.5 C．1.8 D．2【答案】BC【解析】在中，由正弦定理得，，因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即，于是得，解得，显然x可取1.5，1.8.故选：BC12．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则A． B． C． D．【答案】AD【解析】.整理可得:可得为三角形内角,故A正确，B错误.解得,由余弦定理得解得,故C错误，D正确.故选:AD.三、填空题13．已知的内角所对的边分别为，，则角______.【答案】【解析】将等式两边同时乘以得，由正弦定理得，又在中，得，.故答案为：.14．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.【答案】【解析】在中，，所以，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得：所以(米).故答案为：.15．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______．【答案】【解析】由余弦定理得：，则，解得：，∴.故答案为：.16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．【答案】【解析】因为，所以．由正弦定理，得，即，化简得．又，，所以，故．又由余弦定理．解得或．当时，．又，则，与矛盾，所以不符合题意，舍去；当时，．故答案为：17．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.【答案】【解析】由于，所以，故，即，因为，，故.由余弦定理得，整理得，所以.故答案为：四、解答题18．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记为，为，求的值.【解析】（1）因为，且角为钝角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为.∵，，，四点共圆，∴角与角互补，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，所以，又因为，，所以.19．在中，角A，，所对的边分别是，，，且，(1)若，求，(2)若，且，求的面积.【解析】（1），由正弦定理可得，故.由余弦定理得.（2），则，故.20．已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.(1)求；(2)若的面积为，求的值.【解析】（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.21．在中，角所对的边分别为．已知且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【解析】（1）由边化角可得，又因为,所以，又因为得，将代入，整理得，或（舍），所以.（2）由（1）得得，，且，则，所以.（3）由余弦定理，得，因为,所以，又因为，所以，所以,所以.22．在中，角所对边分别为，，，且，，.(1)求边及的值；(2)求的值.【解析】（1）因为，，所以，因为，所以，又，即，所以，即，解得（负值舍去），则，所以，则，因为，即，所以.（2）在中，，由（1）可得，则，所以，，则，，所以.23．在中，角所对的边分别为，现有下列四个条件：①；②；③；④．(1)条件①和条件②可以同时成立吗？请说明理由；(2)请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得存在且唯一，并求的面积．【解析】（1）对于①：因为，所以，.对于②：，由可得，因为，所以，与矛盾故①②两个条件不可以同时成立.（2）因为①②两个条件不可以同时成立，所以只能选①③④或②③④选①③④时，因为，，所以由可得，解得（舍）故所以若选①③④时，存在且唯一，此时面积为.选②③④时，因为，，所以由可得故，所以若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.24．在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．【解析】（1）因为，由正弦定理得，因