2025年边角互化试题及答案

2025年边角互化试题及答案一、边角互化基础概念与三角恒等式1.已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，边a=6，求边b与边c的精确值（结果保留根号形式）。答案：由正弦定理得a/sinA=b/sinB⇒6/(√3/2)=b/(√2/2)⇒b=6·√2/√3=2√6；∠C=180°−60°−45°=75°，c=a·sinC/sinA=6·sin75°/(√3/2)=12·(√6+√2)/4/√3=3(√6+√2)/√3=√3(√6+√2)=3√2+√6。2.在△ABC中，已知a=7，b=8，∠C=120°，求边c与面积S。答案：c²=a²+b²−2abcosC=49+64−2·7·8·(−1/2)=113+56=169⇒c=13；S=1/2absinC=1/2·7·8·√3/2=14√3。3.设△ABC满足sinA:sinB:sinC=3:4:5，且周长为36，求三边长。答案：由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k，则3k+4k+5k=36⇒k=3，故a=9，b=12，c=15。4.已知△ABC中，a=5，b=6，c=7，求cosA与sinA。答案：cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7；sinA=√(1−cos²A)=√(1−25/49)=√(24/49)=2√6/7。5.在△ABC中，若sinA+sinB=2sinC，求证：a+b=2c。答案：由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知得2R(sinA+sinB)=2·2RsinC⇒sinA+sinB=2sinC，两边同乘2R即得a+b=2c。6.设△ABC满足a²+b²=3c²，求cosC。答案：由余弦定理c²=a²+b²−2abcosC⇒c²=3c²−2abcosC⇒2c²=2abcosC⇒cosC=c²/(ab)。7.在△ABC中，已知a=2，b=3，∠C=60°，求中线m_c的长度。答案：m_c²=(2a²+2b²−c²)/4，先求c：c²=4+9−2·2·3·1/2=13−6=7⇒c=√7；m_c²=(8+18−7)/4=19/4⇒m_c=√19/2。8.已知△ABC中，∠A=30°，∠B=105°，a=4，求外接圆半径R。答案：∠C=45°，由正弦定理a/sinA=2R⇒4/(1/2)=2R⇒R=4。9.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b−c)=3ab，求∠C。答案：左边=(a+b)²−c²=a²+b²+2ab−c²=3ab⇒a²+b²−c²=−ab⇒cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)=−1/2⇒∠C=120°。10.已知△ABC中，a=9，b=10，c=11，求内切圆半径r。答案：半周长s=(9+10+11)/2=15，面积S=√[s(s−a)(s−b)(s−c)]=√(15·6·5·4)=√1800=30√2；r=S/s=30√2/15=2√2。二、边角互化与代数方程综合1.设△ABC满足a+b=13，ab=40，且∠C=60°，求c。答案：c²=a²+b²−ab=(a+b)²−3ab=169−120=49⇒c=7。2.已知△ABC中，a,b为方程x²−14x+48=0的两根，∠C=90°，求c与面积。答案：a+b=14，ab=48，c²=a²+b²=(a+b)²−2ab=196−96=100⇒c=10；S=1/2ab=24。3.在△ABC中，若a,b为方程x²−2mx+m²−1=0的实根，且∠C=120°，求m范围使三角形存在。答案：判别式Δ=4m²−4(m²−1)=4>0恒成立；由三角形不等式|a−b|<c<a+b，而c²=a²+b²−2abcos120°=a²+b²+ab=(a+b)²−ab；a+b=2m，ab=m²−1，故c²=4m²−(m²−1)=3m²+1；需满足|a−b|<√(3m²+1)<2m，平方得(a−b)²<3m²+1<4m²；(a−b)²=(a+b)²−4ab=4m²−4(m²−1)=4，故4<3m²+1⇒3m²>3⇒|m|>1；3m²+1<4m²⇒m²>1⇒|m|>1；综上|m|>1。4.设△ABC中，a,b为方程x²−(k+2)x+k+5=0的两正根，且∠C=60°，求k使三角形存在。答案：需Δ=(k+2)²−4(k+5)≥0⇒k²+4k+4−4k−20≥0⇒k²−16≥0⇒|k|≥4；a+b=k+2>0，ab=k+5>0⇒k>−5；c²=(a+b)²−3ab=(k+2)²−3(k+5)=k²+4k+4−3k−15=k²+k−11；需|a−b|<√(k²+k−11)<a+b，|a−b|²=(a+b)²−4ab=(k+2)²−4(k+5)=k²−16；故k²−16<k²+k−11⇒−16<k−11⇒k>−5；k²+k−11<(k+2)²⇒k²+k−11<k²+4k+4⇒−11<3k+4⇒k>−5；综上k≥4。5.已知△ABC中，a,b为方程x²−10x+24=0的两根，∠C=θ，且cosθ=1/4，求c。答案：a+b=10，ab=24，c²=a²+b²−2abcosθ=100−48·1/4=100−12=88⇒c=2√22。6.设△ABC中，a,b为方程x²−(2t+1)x+t²+t=0的两根，∠C=90°，求t使内切圆半径r=2。答案：a+b=2t+1，ab=t²+t，c²=(a+b)²−2ab=4t²+4t+1−2t²−2t=2t²+2t+1；s=(a+b+c)/2，r=S/s=ab/(a+b+c)=2⇒ab=2(a+b+c)；t²+t=2(2t+1+√(2t²+2t+1))，令u=√(2t²+2t+1)，则t²+t=4t+2+2u⇒t²−3t−2=2u；平方得(t²−3t−2)²=4(2t²+2t+1)⇒t⁴−6t³+5t²+12t+4=8t²+8t+4⇒t⁴−6t³−3t²+4t=0⇒t(t³−6t²−3t+4)=0；t=0不满足ab>0，试根得t=−1使−1−6+3+4=0，故(t+1)为因式，分解得(t+1)(t²−7t+4)=0；t=−1时ab=0舍去，t=(7±√33)/2，验算t²−3t−2>0，取t=(7+√33)/2。7.在△ABC中，a,b为方程x²−12x+35=0的两根，∠C=60°，求外接圆半径R。答案：a+b=12，ab=35，c²=144−3·35=144−105=39⇒c=√39；由正弦定理c/sinC=2R⇒√39/(√3/2)=2R⇒R=√39/√3=√13。8.已知△ABC中，a,b为方程x²−(m+3)x+2m+2=0的两根，∠C=120°，求m使面积S=4√3。答案：a+b=m+3，ab=2m+2，S=1/2absin120°=1/2·(2m+2)·√3/2=(m+1)√3/2=4√3⇒m+1=8⇒m=7；验证c²=(m+3)²−3(2m+2)=64−3·16=16⇒c=4，|a−b|²=(m+3)²−4(2m+2)=64−64=0，等边成立。9.设△ABC中，a,b为方程x²−(p+q)x+pq=0的两根，∠C=θ，且cosθ=(p²+q²−pq)/(2pq)，求c。答案：a+b=p+q，ab=pq，c²=(p+q)²−2pq·cosθ=(p+q)²−2pq·(p²+q²−pq)/(2pq)=(p+q)²−(p²+q²−pq)=p²+2pq+q²−p²−q²+pq=3pq⇒c=√(3pq)。10.已知△ABC中，a,b为方程x²−8x+15=0的两根，∠C=45°，求高h_c。答案：a+b=8，ab=15，c²=64−2·15·√2/2=64−15√2⇒c=√(64−15√2)；S=1/2absin45°=15√2/4，h_c=2S/c=15√2/2/√(64−15√2)=15√2/√(256−60√2)。三、边角互化与几何轨迹1.已知定点A(0,0)，B(6,0)，动点C满足∠ACB=60°，求C的轨迹方程。答案：由余弦定理AB²=AC²+BC²−2AC·BCcos60°⇒36=x²+y²+(x−6)²+y²−2√(x²+y²)√[(x−6)²+y²]·1/2；化简得(x²+y²−6x)²=36(x²+y²−6x+9)，展开得(x²+y²−6x)²−36(x²+y²−6x)−324=0，令u=x²+y²−6x，则u²−36u−324=0⇒u=18±√(324+324)=18±18√2；取正得x²+y²−6x=18+18√2，即(x−3)²+y²=27+18√2，为圆。2.设A(−2,0)，B(2,0)，动点C满足a²+b²=2c²，求C的轨迹。答案：a=BC=√[(x−2)²+y²]，b=AC=√[(x+2)²+y²]，c=AB=4；条件⇒(x−2)²+y²+(x+2)²+y²=2·16⇒2x²+8+2y²=32⇒x²+y²=12，圆。3.已知A(0,0)，B(4,0)，C在直线x=2上，且∠ACB最大，求C坐标。答案：设C(2,t)，tan∠ACB=|(t/2−t/2)/(1+t²/4)|=0，改用余弦：cosθ=(AC²+BC²−AB²)/(2AC·BC)=(4+t²+4+t²−16)/(2√(4+t²)²)=(2t²−8)/(2(4+t²))=(t²−4)/(t²+4)；令f(t)=(t²−4)/(t²+4)，求导得f′=16t/(t²+4)²，t=0时f=−1最大，θ=180°舍去；实际最大角对应圆与直线相切，以AB为弦作圆与x=2切于(2,±2√3)，故C(2,±2√3)。4.设△ABC顶点A(0,0)，B(c,0)，C在圆x²+y²=a²上，且∠C=θ为定值，求c与θ关系。答案：由正弦定理c/sinθ=2R，而R=a，故c=2asinθ。5.已知A(1,1)，B(5,1)，动点C满足面积S=6，求C的轨迹。答案：底AB=4，高h=3，故C在直线y=1±3，即y=4或y=−2。6.设A(0,0)，B(6,0)，C在抛物线y²=4x上，且∠ACB=90°，求C坐标。答案：向量CA·CB=0⇒x(x−6)+y²=0⇒x²−6x+4x=0⇒x²−2x=0⇒x=0或2；x=0舍去，x=2⇒y²=8⇒y=±2√2，故C(2,±2√2)。7.已知A(0,0)，B(4,0)，C在椭圆x²/9+y²/4=1上，求∠ACB最大值。答案：参数化C(3cosθ,2sinθ)，cos∠ACB=(9cos²θ+4sin²θ−16)/(2√(9cos²θ+4sin²θ)√[(3cosθ−4)²+4sin²θ])；数值计算得θ=arccos(−1/3)时最大角≈109.47°。8.设A(0,0)，B(2,0)，C在圆(x−1)²+y²=1上，求a²+b²范围。答案：a²=(x−2)²+y²，b²=x²+y²，a²+b²=2x²−4x+4+2y²，又(x−1)²+y²=1⇒x²+y²=2x，代入得2(2x)−4x+4=4，恒为4。9.已知A(0,0)，B(6,0)，C在双曲线x²−y²=4上，且∠ACB=45°，求C坐标。答案：同第3题方法，解方程组得C(√6,±√2)。10.设A(−3,0)，B(3,0)，C在直线y=x+1上，且内切圆半径r=2，求C坐标。答案：设C(t,t+1)，s=(a+b+6)/2，S=1/2·6·|t+1|=3|t+1|，r=S/s=2⇒3|t+1|=2s，又s=(√[(t+3)²+(t+1)²]+√[(t−3)²+(t+1)²]+6)/2；数值解得t=±√7−1，故C(√7−1,√7)或(−√7−1,−√7)。四、边角互化与最值问题1.已知△ABC中，a+b=10，∠C=60°，求面积最大值。答案：S=1/2absin60°=√3/4ab，ab≤[(a+b)/2]²=25，当a=b=5时取等，S_max=25√3/4。2.在△ABC中，a²+b²=100，∠C=45°，求c最小值。答案：c²=100−2abcos45°=100−√2ab，ab≤50，c²≥100−50√2⇒c_min=√(100−50√2)。3.设△ABC中，c=5，∠C=120°，求a+b最大值。答案：由余弦定理25=a²+b²+ab=(a+b)²−ab，令t=a+b，则ab≤t²/4⇒25≥t²−t²/4=3t²/4⇒t²≤100/3⇒t≤10√3/3。4.已知△ABC中，a+b+c=12，求面积最大时各边长。答案：等边三角形面积最大，a=b=c=4，S=4√3。5.在△ABC中，a=6，∠A=60°，求b+c最大值。答案：由正弦定理b=2RsinB，c=2RsinC，R=a/(2sinA)=6/√3=2√3，b+c=2√3(sinB+sinC)，B+C=120°，sinB+sinC=2sin60°cos[(B−C)/2]≤2·√3/2·1=√3，故b