《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第1课时）》课件

第二十二章

二次函数22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第1课时）3.能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、

顶点.1.会画二次函数y=ax2+k的图象.

2.理解抛物线y=ax²与抛物线y=ax²+k之间的联系.这个函数的图象是如何画出来呢？xy

在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象.二次函数y=ax2+k图象的画法知识点1

解：列表：x···－2－1.5－1－0.500.511.52···y=2x2······y=2x2+1······y=2x2-1······yx-3-2-1o12312345678910问题1：观察图象，比较三个函数图象有何异同？1.相同点：①

均为抛物线②开口向上，且大小相同③对称轴都是y轴；④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而减小

在对称轴右侧(x>0)y随x增大而增大2.不同点：顶点位置不同，函数最小值不同描点、连线，画出三个函数的图象.问题2：抛物线y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点是什么？观察图得：二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴向上(0,0)y轴yx-3-2-1o12312345678910我们发现二次函数解析式中的常数项就是顶点坐标的纵坐标y=2x2+0y=2x2-1y=2x2+1

问题3：观察图象，比较三个函数图象有何异同？1.相同点：①

均为抛物线②开口向下，且大小相同③对称轴都是y轴；④在对称轴左侧(x<0)y随x增大而增大

在对称轴右侧(x>0)y随x减小而减小2.不同点：顶点位置不同，函数最大值不同-4-2y-6O-22x4-4

观察图得：二次函数开口方向顶点坐标对称轴向下向下(0,-2)(0,2)y轴y轴向下(0,0)y轴我们发现二次函数解析式中的常数项也是顶点坐标的纵坐标-4-2y-6O-22x4-4y-2-2422-4x0在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是

;

(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是

_____________________;抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑_____;(6)函数的增减性都相同：____________________________________________________高大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小.y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.注意：k带前面的符号！二次函数y=ax2+k的性质知识点2例

已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.解析由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c二次函数y=ax2+k的性质的应用素养考点【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是

,对称轴是

，在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小.（0,3）

y轴对称轴左对称轴右解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标(x,)(x,

)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移知识点3函数对应值表x……y=2x2-1……y=2x2……y=2x2+1……4.53.55.5213-1.5-1x2x22x2-12x2+14O－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.

下y=2x2+1上从形的角度探究xy二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2

的图象平移得到：当k>0时,向上平移个单位长度得到.当k<0时,向下平移

个单位长度得到.上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析

二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．D1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.【想一想】2.抛物线y=ax2+k

中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

2.填表：y=2x2－4函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点基础巩固题3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.在=2>2<25.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x

时，

y随x的增大而减小；当x

时，函数y有最大值，最大值y是

，其图象与y轴的交点坐标是

，与x轴的交点坐标是

.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.

1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.2-28能力提升题将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是

．y=x2+2

1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.1.一般地,抛物线y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的形状

,把抛物线y=ax2向上或向下平移,可以得到抛物线y=ax2+k.抛物线y=ax2+k的顶点坐标是

,对称轴是

,当a>0时,抛物线开口向

,顶点是它的最

点,在对称轴左侧y随x的增大而

,在对称轴右侧y随x的增大而

;当a<0时,抛物线开口向

,顶点是它的最

点,在对称轴左侧y随x的增大而

,在对称轴右侧y随x的增大而

.

2.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,所得抛物线的解析式是(

)A.y=x2+3 B.y=x2-3C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)23.函数y=-x2+3的图象开口向

,顶点坐标为

,对称轴为

.

相同

(0,k)

y轴

上

低

减小

增大

下

高

增大

减小

A下

(0,3)

y轴

二次函数y=ax2+k的图象特征与性质【例】

若抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状、开口方向都相同,且顶点坐标是(0,3),则其解析式是什么?它是由抛物线y=-5x2怎样平移得到的?分析:根据两抛物线的形状相同、开口方向相同,可确定a的值;再根据顶点坐标是(0,3),可确定k的值,从而可判断平移方向.解:因为抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状相同、开口方向也相同,所以a=-5.又因为抛物线的顶点坐标为(0,3),所以k=3.所以其解析式为y=-5x2+3.它是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位长度得到的.点拨:(1)解这类题,必须根据二次函数y=ax2+k的图象与性质来解.a确定抛物线的形状及开口方向,k确定顶点的位置.(2)抛物线y=ax2上下平移多少个单位长度,主要看两个顶点间的距离,从而确定平移的方向与距离(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点间的距离,从而确定平移的方向与距离).612345答案答案关闭C1.抛物线y=x2+1的图象大致是(

)6123452.若二次函数y=x2+与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是(

)A.这两个函数图象有相同的对称轴B.这两个函数图象的开口方向相反C.二次函数y=-x2+k的最大值为D.