2025-2026学年山西省晋中市部分学校高三（上）质检数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省晋中市部分学校高三（上）12月质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−i)(1+z)=2，则|z|=(

)A.1 B.2 C.3 2.若集合A={x∈N|log2x≤2}，B={x|x2A.{3} B.{4} C.{2,3} D.{3,4}3.如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为4正方形，E为BC上的点，F为PC的中点，PD⊥底面ABCD，PD=2，CE=1，则点A到平面DEF的距离为(

)A.42929B.1621214.已知将函数f(x)=sin(3x+φ)(−π2<φ<0)的图象向左平移π9个单位，所得的图象经过点A.−π6 B.−π4 C.5.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，P为线段BC的中点，E，F分别为线段AA.233

B.3646.如图，已知四棱锥P−ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，△ABD是边长为4的等边三角形，PA=PD=6，则二面角A−PD−B的余弦值为(

)A.6527B.27035

7.已知函数f(x)=lnx(x−2)e+e2−x+x−eA.1 B.2 C.4 D.68.如图，三棱锥P−ABC的体积为V，该三棱锥的内切球半径为r，且平面PAC⊥平面ABC，BA⊥BC，PA=PC，BA=BC=2，D为AC的中点，则2V−rVr的最小值为(

)A.23

B.42

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m⊂α，n⊂α，且m//β，n//β，则α//β

B.若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ

C.若m⊥α，n//α，则m⊥n

D.若m//n，m//α，且n⊄α，则n//α10.下列各式化简结果为−3的有(

)A.3cos275°−sin275°−1 B.1−11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱DA.直线PQ与BD所成的角为π3 B.BQ//CP

C.二面角P−AC−D的余弦值为63 D.点D到平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，延长AB至点P，使AB=2BP13.已知一球O与一圆台的上、下底面及其侧面都相切，圆台的上、下底面的半径分别为r1=1，r2=3，则球O的体积为

14.平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知F是圆E内的定点，PQ为经过点E，F的直径，且AC∩BD=F,AC⋅BD=0，若FP=3−3,FQ=3+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=nan+λn(1−n)(λ∈R,n∈N+)，a2=a1+2．

(1)求实数λ的值；

(2)若16.(本小题15分)

某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧A，B两地相距50米，河对岸有C，D两地，测得AC=70米，∠DBA=∠DBC，cos∠DBA=105．

(1)求sin∠ACB的值；

(2)若测量后发现DB=DC，求A17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，AC=4，PC=2，∠ACB=π3，D为BP上靠近点B的三等分点．

(1)证明：AB⊥CD；

(2)求平面ABP与平面ADC夹角的余弦值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax+ex(a∈R)．

(1)求函数f(x)的极值．

(2)若a<0，函数f(x)有两个零点x1，x2，且x2>x1>0．

19.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，E，F分别为棱AB，AC的中点，PA=PC，∠PAC=π4，BC=2，∠ABC=π3，BC⊥AC．

(1)若平面PAC⊥平面ABC，求证：EF⊥PF；

(2)在(1)的条件下，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；

(3)若PA=PB，D为线段PF

参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.C

6.B

7.B

8.D

9.BCD

10.ACD

11.ACD

12.DA+13.414.12

15.解：(1)因为Sn=nan+λn(1−n)(λ∈R,n∈N+)，a2=a1+2．

令n=2，S2=a1+a2=2a2+2λ(1−2)，

得a1+a1+2=2(a1+2)+2λ(1−2)，

化简得a1+1=(a1+2)−λ，解得λ=1．

(2)由(1)得Sn=nan+n(1−n)，

当n≥2时，所以Sn−1=(n−1)an−1+(n−1)(2−n)，

两式相减得Sn−Sn−1=an=nan+n(1−n)−(n−1)an−1−(n−1)(2−n)，

化简得an=an−1+2，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

所以an=1+(n−1)×2=2n−1．

(3)数列{an}的项为1，3，5，7，9⋯，数列{n2−1}的项为0，3，8，15，24，35⋯

公共项需满足2k−1=m2−1，即m2=2k，

设m=2t，t∈N+，则公共项为bt=(2t)2−1=(2t−1)(2t+1)．

所以24i=1 1bi=1b1+1b2+⋯+1b24=11×3+13×5+⋯+147×49

=12(1−13+13−15+⋯+147−149)=2449．

16.解：(1)因为∠DBA=∠DBC,cos∠DBA=105，

所以cos∠ABC=cos2∠DBA=2cos2∠DBA−1=2×25−1=−15，

所以π2<∠DBA<π，所以sin∠ABC=1−cos2∠ABC=2425=265，

在△ABC中，根据正弦定理，ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，即50sin∠ACB=70265，

解得sin∠ACB=50×26570=267；

(2)在△ABC中，根据余弦定理，AC2=A18.(1)解：函数f(x)的定义域为R，且f′(x)=a+ex．

当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值；

当a<0时，令f′(x)=0，解得x=ln(−a)．

当x∈(−∞,ln(−a))时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln(−a))上单调递减；

当x∈(ln(−a),+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(ln(−a),+∞)上单调递增．

∴函数f(x)有极小值f(ln(−a))=aln(−a)+eln(−a)=aln(−a)−a，

∴当a<0时，函数f(x)的极小值为aln(−a)−a，无极大值．

综上，当a≥0时，函数f(x)无极值；

当a<0时，函数f(x)的极小值为aln(−a)−a，无极大值．

(2)①解：∵函数f(x)有两个正零点x1，x2，∴方程ax+ex=0有两个不同的正实根x1，x2，

又∵a<0，∴−ax1=ex1，−ax2=ex2，

两边同时取自然对数，得x1=ln(−a)+lnx1，x2=ln19.解：(1)证明：因为PA=PC，F为AC的中点，所以PF⊥AC，

又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以PF⊥平面ABC，

又因为EF⊂平面ABC，所以EF⊥PF．

(2)因为BC⊥AC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

所以BC⊥平面PAC，∠BPC是直线PB与平面PAC所成的角，

在Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=π3，所以AC=2tanπ3=23，AB=2BC=4，

又∠PAC=π4，PA=PC，由余弦定理得PC2=PA2+AC2−2PA·ACcosπ4，

即PC2=PC2+12−2PC×23×22，解得PC=6，

又BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，则BC⊥PC，

所以PB=PC2+B