专题3一元函数的导数及其应用

第三章一元函数的导数及其应用（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若limΔx→0f2+ΔA．32 B．3 C．6 D．【答案】C【详解】依题意，f′故选：C2．已知函数fx=x3−x+1，则fA．4x+y−5=0 B．4x−y−3=0C．2x+y−3=0 D．2x−y−1=0【答案】D【详解】对f(x)=x3−x+1将x=1代入f′(x)中，可得切线的斜率已知切线过点(1,1)，斜率为2，根据点斜式方程，可得切线方程为y−1=2(x−1).将其化简为一般式：2x−y−1=0，f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程是2x−y−1=0.故选：D.3．函数fx=xA． B．C． D．【答案】A【详解】令fx=x2−2xf′当x>2或x<−2时，f′x>0故fx在−∞,−故选：A4．已知函数fx=alnx+1A．0,+∞ B．0,+∞ C．9,+∞【答案】D【详解】fx=aln所以f′x=所以a≥−x2+6x在0,+所以当x=3时y=−x所以a≥9，即a的取值范围是9,+∞故选：D.5．记x，y为实数，设甲：y>x>0；乙：x−cosy<y−cosA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】令函数fx=x+cosx，求导得f′由y>x>0，得fy>fx由x−cosy<y−cosx，得x+cos综上可知，甲是乙的充分不必要条件.故选：A.6．已知函数f(x)=13ax3−x2+A．−2 B．−1 C．0 D．−2或1【答案】A【详解】函数f(x)=13a依题意，f′(1)=0，即a2+a−2=0，解得当a=−2时，f′当x∈(−2,1)时，f′(x)>0，函数fx当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数此时fx在x=1时取得极大值，满足题意，因此a=−2当a=1时，f′(x)=x2−2x+1=所以a=−2.故选：A7．已知定义在R上的奇函数fx满足f−3=0，当x>0时，xf′A．−∞,−3∪3,+∞B．−∞,−3【答案】B【详解】设g(x)=f(x)x，(x>0)，则其导数而当x>0时xf′x−fx<0，所以又由f−3=0，fx为定义在R则g(3)=f(3)所以g(x)=f(x)x区间0,3上，g(x)>0，在区间(3,则在区间0,3上，fx>0，在区间(3,又由fx是定义在R上的奇函数，则f(0)=0且在区间(−∞,−3)上，fx>0，在区间综合可得：不等式fx>0的解集为故选：B.8．我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数fx的图象有对称中心，那么其导函数f′x的图象会有对称轴；如果函数fx的图象有对称轴，那么其导函数f′xA．fx有对称中心−12,3C．fx有对称轴x=−12 D．【答案】B【详解】因为函数fx=ln所以f'导函数关于x=12对称，所以fx关于1故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列各式中不正确的是（

）A．3x′=C．3x′=【答案】BCD【详解】因为3x′=3x故A正确，BCD错误.故选：A10．定义在R上的函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)A．f(−2)是f(x)的极小值，f(1)是f(x)的极大值B．f(−1)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值C．f(x)在(−∞D．f(x)在(−1,1)上单调递减【答案】BCD【详解】由图知f′当x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<1时，f′(x)<0；当所以f(x)在−∞,−1，1,+∞所以f(x)的极大值为f(−1)，极小值为f(1)．故选：BCD.11．已知函数fx=4x+ax2，若曲线y=fx过点PA．−4 B．−3 C．−2 D．1【答案】BC【详解】设切点为t,4t+at2，因为fx则切线的斜率为f′t=2at+4将点P1,1的坐标代入切线方程得1−4t+at因为曲线y=fx过点P1,1的切线有两条，则关于t的方程所以a≠0Δ=4a2+12a>0故选：BC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数fx=e【答案】e【详解】由fx=e令x=1可得f′1=故答案为：e213．若f(x)=6x2−x3在区间(2m,m+1)【答案】−【详解】因为fx=6x由f′x<0⇒x<0所以函数fx的单调减区间为−∞,0又函数fx在(2m,m+1)所以2m<m+1m+1≤0或2m<m+1解得：m≤−1.故答案为：−14．已知函数fx=x+1x−bx−c满足fx+f2−x=4，【答案】2【详解】由题意有f1=2,f0+f2所以fx=x+1令f′x=0，得x=0或x=2，由f′x>0有x>2或所以fx单调减区间为0,2，曾区间为−所以fx的极大值点为m=0，极小值点为n=2，所以n−m=2故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知函数fx=x3+ax(1)求实数a，b的值；(2)求函数fx在区间−4,1【答案】(1)a=3,b=0(2)最大值为4，最小值为−16【详解】（1）由题可知f'(x)=3x2+2ax，解得a=3,b=0．（3分）此时f(x)=x3+3x当x∈(−∞,−2)时，f'(x)>0，所以当x∈(−2,0)时，f'(x)<0，所以当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+所以f(x)在x=−2时取得极大值．所以a=3,b=0．（6分）（2）由（1）可知，f(x)在[−4,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在(0,1]又因为f(−4)=−16，f(−2)=4，f(0)=0，f(1)=4，（12分）所以函数f(x)在区间[−4,1]上的最大值为4，最小值为−16．（13分）16．（15分）已知函数fx=x3+m(1)求实数m和n的值；(2)方程fx=t在x∈−1【答案】(1)m=1(2)0,12【详解】（1）f′x=3x由函数fx=x可得3+2m+n=51+m+n=2，（3解得m=1n=0.（2）方程fx=t在x∈−1,2有解，等价于求y=fx在区间−1,2由第一问知f′当x∈−1,2时，解不等式f′x>0，可得−1<x<−23或0<x<2解不等式f′x<0，可得−23<x<0因此fx在−1,−23上递增，在−23,0由于f′−23=f′0x=0是函数的极小值点，极小值为f0=0，（又因为f−1=0,f2=12即函数fx的值域为0,12，（14所以实数t的取值范围为0,12.（15分）17．（15分）已知函数fx=x+alnx2x+bx(1)求a，b；(2)求fx【答案】(1)a=2，b=(2)两个【详解】（1）由题得f1=b−1=12解得b=32，（又f′x=x+a−aln解得a=2，（4分）故a=2，b=32（（2）由（1）可知f′x=x−2令gx=x−2lnx−1，则当0<x<2时，g′x<0，gx当x>2时，g′x>0，gx又g1=0，g2<g1=0∃x0∈2,e2故f′1=fx所以当0<x<1时，f′x>0，函数f当1<x<x0时，f′x<0当x>x0时，f′x>0，函数fx则fx在0,1内单调递增，在1,x0所以fx有两个极值点．（1518．（17分）已知函数fx=ax−ln(1)当a≤0时，讨论fx(2)当a=1时，证明：fx在区间3,4(3)若对于任意的x∈1,+∞，都有xln【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)3【详解】（1）由f′x=a−1当a=0时，由f′x=a−1x=−1x解fx=−lnx−2=0得x=∴当a=0时，fx在0,+当a<0时，f′x<0，∴fx在0,+∵a<0，ea−2<e又∵f1∴fx在ea−2,1内有一个零点．又∵fx在0,+∴当a<0时，fx在0,+综上，当a≤0时，fx只有一个零点．（6（2）证明：当a=1时，fx=x−lnx−2，∴当x∈3,4时，f∴fx在3,4上单调递增，（8∵f3=3−ln3−2=1−ln3<0∴fx在区间3,4内存在唯一的零点．（10（3）∵xlnx+x>kx−1，且x∈1,+∞，令gx=xlnx+xx−1，则g由（2）知，fx=x−lnx−2在设该零点为x0∈3,4，则fx故当x∈1,x0时，fx<0，即g′x<0当x∈x0,+∞时，fx>0，即g′x∴g(x)min=gx∴k<g(x)故整数k的最大值为3．（17分）19．（17分）若存在一个实数m，使得对于函数fx定义域内的任意x，都有fx≥m，则称fx有下界，且m是(1)求函数fx=e(2)若1是函数fx=aln(3)若m是函数fx=e【答案】(1)m≤1(2)1(3)证明见解析【详解】（1）由函数fx=ex+x令ℎx=ex+2x−1，得所以ℎx又ℎ0=0，（所以当x>0时，f′x>0，当x<0所以fxmin=f0=1，故（2）函数fx=alnx+1x若a≤0，则f′x<0，函数f因为f1=1，所以当x∈1,+∞时，fx若a>0，令f′x=0故当x>1a时，f′x>0所以函数fx在0,1a所以fxmin=f1由题知−aln令ta=aln故当a>1时，t'a>0，当0<a<1所