上海市2024-2025学年高三下学期四区统考数学调研试卷【含答案详解】

上海市2024学年高三年级第二学期“阳光指标”调研数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，则________.【答案】【解析】【分析】解不等式求出集合A，即可求集合的交集.【详解】解集合A中的不等式，得，就是求既属于A又属于的元素，所以.故答案为：2.函数的值域是________.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可.【详解】，其中，则其值域为故答案为：.3.的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是___________.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.【详解】根据二项式展开式的通项公式则展开式中项为又，则该项为，已知项的系数是20，则，即，解得.故答案为：4.已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域.【详解】设幂函数，代入点可得，即，可得，因为，可得，所以该幂函数的值域是.故答案为：.5.如下是一个列联表，则__________.y1y2总计x1a3545x27bn总计m73s【答案】90【解析】【分析】完善列联表即可求解.【详解】由表格有，故答案为：.6.已知，则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解.【详解】，所以，则.故答案为：7.7.已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的_______________条件．【答案】充要【解析】【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则，由、、成等比数列，得，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，因此正三角形；若是正三角形，则，，因此、、成等差数列且、、成等比数列，所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件.故答案为：充要.8.抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为______________．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解.【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为，又由圆与准线相切，可知：，将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：，故答案为：9.通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示:价格（百元）444.655.25.666.6710需求量（千克）3.532.72.42.521.51.21.21那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式【答案】【解析】【分析】利用相关系数公式计算即可.【详解】由题意可得，，所以，,所以.故答案为：.10.已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：）【答案】【解析】【分析】根据正态分布的范围求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：11.某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）．【答案】【解析】【分析】由题设可得球的半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长.【详解】若球的半径为，则，可得，又，对于正四棱锥，设底面边长为，高为，则，所以，即，又，则，故，即，纪念碑体积，令，对于，则在上单调递减，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以，故，此时米.故答案为：12.在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可.【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，，∴，∴，；，；，；，.故.故答案为：.二､选择题（本题共有4题，满分18分，13､14每题4分，15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“函数y=sin(x＋φ)为偶函数”是“φ＝”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：时，为偶函数；若为偶函数，则；选B.考点：1三角函数的性质；2充分必要条件．14.在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据回归模型性质判断即可.【详解】若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为.故选：A.15.函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D.【详解】对于选项A：因为函数导函数为，所以，故选项A错误；对于选项B：因为函数的导函数为，所以，而，所以，，故选项B错误；对于选项C：因为函数的导函数为，所以.令，解得：，，即存在实数，使得成立，所以函数具有性质，故选项C正确；对于选项D：因为函数的导函数为，所以.令，显然，化简得：.下面证明方程（*）无解.当时，，方程（*）无解当时，，而：令，，则，所以单调递减.又因为，所以，即，所以.综上，方程(*)无解.所以不存实数，使得成立，故选项D错误.故选：C.16.设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（）A.数列和数列均不是周期数列B.数列是周期数列，数列不是周期数列C.数列不是周期数列，数列是周期数列D.数列和数列均为周期数列【答案】B【解析】【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性.【详解】令，则数列的一个周期为6，又，则，令，则数列的一个周期为8，又，则，所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24，又，，所以，故，所以不是周期数列.故选：B.三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：平面BDS；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案；（2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案.【小问1详解】设AC与BD相交于点，因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点.又因为，所以平面BDS，所以平面BDS.【小问2详解】因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则.在中，，满足，根据勾股定理逆定理可知，即.由（1）知平面BDS，所以，则.18.已知函数，其中.（1）解关于的不等式；（2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由在单调递增，得即可求解；（2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解.【小问1详解】由函数在单调递增，所以【小问2详解】原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围.即在上恰有一个实数解.等价于在上恰有一个实数解.在上恰有一个实数解.令，则在上恰有一个实数解.画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点；.19.为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：

数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数14

不是每天都整理数学错题人数

1520合计

40（1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；（2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？附：；0.100.010.0012.7066.63510.828（3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望.【答案】（1）列联表见解析，0.35；（2）有；（3）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）完善列联表，求出经验概率.（2）求出的观测值，与临界值比对得解.（3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】完善列联表，如下：数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数14620不是每天都整理数学错题人数51520合计192140每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为.【小问2详解】由（1）得，所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.【小问3详解】不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，的所有可能值为0，1，2，3，，，所以的分布列为：0123期望20.如图1，曲线是与组合的．（1）过点，求的渐近线方程；（2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小；（3）若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）答案见解析，理由见解析【解析】【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可；（2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题；（3）设直线和直线的方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简即可.【小问1详解】将点代入，得，得，所以，渐近线方程：.【小问2详解】因，则，，①当时，取到最小值时，点一定在上，设点，则，则，当时，则或时，取最小值，此时或，当时，当时，取最小值，此时；②当时，取到最小值时，点一定在上，设点，则，则，因，则，故当时，取最小值，此时.综上可知，曲线上存在点，使得达到最小.【小问3详解】设，，设由，得，则，由，得，则，由，得，则，由，得，则，则，同理可得，，若存在非零实数使得成立，则，即，即，则或，若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意，故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立21.已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点．（1）当时，判断点是否为平衡点；（2）当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点；（3）求所有实数a和b，使得点是平衡点．【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可；（2）根据平衡点定