浙江省宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

鄞州中学学年第一学期期中考试高一年级数学学科试题选择题部分85分每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集运算求解即可.【详解】因为，所以．故选：A2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”全称量词命题，该命题的否定为“，”.故选：B.3.“”是“a>b>0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】应用指数函数单调性结合充分条件及必要条件定义判断即可.第1页/共19页“”即，不能推出“a>b>0”，“”可以推出“”；“”是“”的一个必要不充分条件.故选：B.4.不等式的解集是（）A.{且}B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由分式不等式作等价转化，进而求解即可.【详解】，所以不等式的解集为.故选：D.5.设，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合指数函数与幂函数的性质进行比较即得.【详解】由指数函数的单调性，可得，即，因为函数在上为增函数，且，则，即.故.第2页/共19页故选：D.6.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】探讨给定函数的奇偶性及在上的图象特征，进而判断得解.【详解】函数的定义域为，且，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB；当时，，其图象是开口向上的抛物线在轴右侧部分，排除D，C满足.故选：C7.已知函数，若对于任意的，，且，都有成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意将转化为，分离参数a，可求得的取值范围.第3页/共19页【详解】由题可知，，.代入，得.化简，得.因为，，且，所以.所以.因为恒成立，所以.所以的取值范围是.故选：C.8.已知关于的方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】讨论和时的情况，时，等价于或，分别解这两个方程，结合方程的根的个数，即可确定答案.【详解】当时，由于，则，此时无解；当时，等价于或，对于，可得，第4页/共19页令，即，解得，此时有两个解；对于，可得，令，即，即或，解得，当，，当，有两解，综合上述可知：时，有两个解，时，有一个解，时，有两个解，则时，有三个或四个解，不符题意；由于关于的方程恰有两个不同的解，故，所以实数的取值范围为，故选：A36分每小题列出的四个备选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分分，错选得0分）9.下列说法正确的是（）A.函数为奇函数第5页/共19页B.与表示同一函数C.已知函数，则的定义域为D.函数的值域为【答案】BCD【解析】ABC解函数值域判断D.【详解】对于A，函数定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，错误；对于B，函数与的定义域都为，且，即两个函数的对应法则相同，所以与表示同一函数，正确；对于C，对于函数，因为，所以，即的定义域为，对于函数，，所以，解得，所以的定义域为，正确；对于D，令，则，则函数为，故当时，取得最小值，最小值为，所以函数的值域为，正确.故选：BCD10.已知，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.的最小值为1C.若，则的最小值为8D.若则的最大值为4第6页/共19页【解析】【分析】利用基本不等式分析判断A,B,C，用换元法结合二次函数在给定区间上的值域，判断D.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时，等号成立.由，得,所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以选项A正确；对于B，，当且仅当，即，即时，等号成立.显然不成立，所以的最小值不为1，所以选项B不正确；对于C，因为，，，所以.当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为8，所以选项C正确；对于D，因为，，且，所以，且.所以.因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为4，所以选项D正确.故选：ACD.双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有第7页/共19页，则下列选项正确的是（）A.B.函数的最小值是0C.若对任意实数，不等式恒成立，则D.，则【答案】ABD【解析】【分析】直接验证A选项即可；求得，利用换元法求得的最小值判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，然后按照和分类讨论求解范围判断C化简得出，由此可判断D选项.【详解】对于A，，所以，正确；对于B，，令，当且仅当即时等号成立，则，因为在上单调递增，故时，有最小值为，即函数的最小值是0，正确；对于C，对任意的，，故函数的定义域为，第8页/共19页任取、，且，则，所以，即，故函数为上的增函数，且为奇函数，不等式在上恒成立，则，函数为上的增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，当时，即，不合题意；当时，由题意，解得，综上，错误；对于D，，当时，由整理可得，即，故，正确.故选：ABD.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，共分）12._____.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的运算求解即可.【详解】第9页/共19页，故答案为：.13.设，且满足，则______.【答案】2【解析】【分析】构造函数，分析判断其单调性与奇偶性，从而由题设条件得到，从而求得的值.【详解】依题意，设，其定义域为，因为，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，因为，所以，即，所以，因为在上单调递增，所以，即有.故答案为：14.已知集合.若存在正数的取值集合为______.【答案】【解析】【分析】先得到，，根据得到不等式组，求出，求出，得到答案.第10页/共19页【详解】，显然，故，因为，，则，又为正数，则，其中，结合题设可得为的子集，因为，则且，由得，由得，所以，解得，所以的取值集合为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共分）15.设集合，.（1）若，求的值及集合；（2）若为实数集，且，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得；第11页/共19页（2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得.【小问1详解】，.因为，所以，则，即，解得或.验证：当时，，则，满足题意；当时，，则，不满足题意.综上可知，若，则，此时.【小问2详解】若，则，又，①当时，则关于的方程没有实数根，则，解得，故当时，满足题意；②当，即时，若集合中只有一个元素，则，即当时，，，满足题意；若集合中有两个元素，则，即当时，要使，则，所以和是方程的两根，则由韦达定理得，解得，满足条件.综上所述，或.第12页/共19页16.已知幂函数偶函数，且在区间上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）设函数；（i）若，试讨论的最小值；（ii）若函数定义在区间上，试求的最小值.【答案】（1）（2i）ii）【解析】1）根据幂函数的定义和性质列关系式求即可；（2i）按照和，结合二次函数的图象与性质求的最小值即可；（ii，，在区间上的最小值即可.【小问1详解】因为幂函数在区间上单调递增，所以，故或1，当时，不满足偶函数，故舍去；当时，满足偶函数，故；【小问2详解】（i）因为，由（1）可得，当即时，，则，第13页/共19页所以的最小值即的最小值，且在时取到；当即或时，的最小值为负数，故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变，故此时的最小值为；综上，；（ii）函数的图象的对称轴为，当即时，函数在区间上单调递增，所以，当即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，当即时，函数在区间上单调递减，所以，综上所述：17.某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000100月生产量为（1）将每月投入的总成本表示为月产量的函数；（2）将每月利润表示为月产量的函数（利润=营业额（3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1），；第14页/共19页（3）当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元.【解析】1）根据题意列式求出与的函数关系.（2）根据给定的关系，结合（1）写出分段函数的解析式即可.（3）由（1）的解析式，结合二次函数及基本不等式分段求出最值，再比较大小即可得解.【小问1详解】依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：，.【小问2详解】由（1）及，得利润.【小问3详解】由（2）知，当时，，则当时，利润取得最大值5000元；当时，，当且仅当时，利润取得最大值50000元，而，所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元.18.已知函数.（1）求的定义域和值域；（2）判定函数的单调性，并用定义证明；第15页/共19页范围.【答案】（1）定义域；值域（2）函数在R上单调递增，证明见解析（3）【解析】1）根据指数函数的值域求解函数定义域，根据指数函数的值域及不等式的性质求解函数的值域；（2），利用函数的单调性的定义证明即可；（3）根据函数在R上单调递增，将不等式恒成立转化为不等式恒成立，则，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】对于函数，因为，所以恒成立，所以函数定义域；，因为，所以，所以，所以，即函数的值域；【小问2详解】函数在R上单调递增，证明如下：，任取，且，则，因为，所以，因为，所以，第16页/共19页所以函数在R上单调递增；【小问3详解】对，，且，不等式恒成立，即不等式恒成立，由（2）知函数在R上单调递增，因为即，所以，因为，所以，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为.19.对于定义在实数集上函数，给出如下的三个定义：①记，，，，，其中.②对任意的区间，记集合，并规定.例如：若，则；③若定义在上的函数满足对任意的区间称为区间上的“阶交汇函数”.（1）若函数，求；（2）若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；（3第17页/共19页【答案】（1）（2），是（3）证明见解析【解析】1）根据函数新定义求解即可；（2）利用一次函数的单调性求值域，按照“2阶交汇函数”定义判断即可；（3）先根据分段函数性质证明，然后分析得到对任意的，，，进而根据函数新定义证明即可.【小问1详解】因为，，所以；小问2详解】因为函数在上单调递增，所以当时，，所以，当时，，所以，因为，所以为上的“2阶交汇函数”.【小问3详解】对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的