年中考数学二轮复习题型突破课件阅读与思考

阅读与思考

近年来，山西中考对阅读与思考型试题的考查，主要关注学生数学阅读素养以及学习迁移能力，综合性较强.该类试题内容丰富、构思新颖、覆盖面广，常以“背景材料+问题任务”的形式呈现.“背景材料”会与丰富的数学文化素材结合，针对数学研究对象的研究思路或研究内容、研究方法等设问，在阅读的基础上将已有的知识经验迁移应用到相关任务中.专题解读类型1

代数阅读与思考典例精讲例1（2024秋太原期中）阅读与思考解密“智慧优数”概念理解：如果一个正整数m能表示为另外两个不相邻的正整数a，b的平方差，即m=a2-b2，其中a>b，那么称这个正整数m是一个“智慧优数”，例如16=52-32，16就是一个“智慧优数”.我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即m=a2-b2=（a+b）（a-b）.特例构造：根据定义，可从不相邻的两个正整数a，b（a>b），不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下：当b=1时，a的值可依次取3，4，5，6，…，分别计算（a+b）（a-b）的值，即可求得一组“智慧优数”；当b=2时，a的值可依次取4，5，6，7，…，分别计算（a+b）（a-b）的值，即可求得一组“智慧优数”；当b=3，4，5，…时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”.规律剖析：在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数a，b（a>b）构造出的“智慧优数”m与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下：情况一：当a与b的差是偶数时，由a与b构造出的“智慧优数”m能被4整除.理由如下：设a-b=2n（n为正整数），则a=b+2n.∴“智慧优数”m=（b+2n）2-b2……情况二：当a与b的差是奇数时，在由a与b构造“智慧优数”m的过程中，可得出下列结论：A.m一定是奇数

B.a与b均为奇数

C.m一定是a与b差的奇数倍……任务：（1）根据“特例构造”中的思路，请直接写出一个小于16的“智慧优数”.（2）请将“规律剖析”中情况一的过程补充完整.解：（1）8或12或15.（2）∴“智慧优数”m=（b+2n）2-b2=（b+2n+b）（b+2n-b）=（2n+2b）

·

2n

=4n（n+b）.∴当a与b的差是偶数时，由a与b构造出的“智慧优数”m能被4整除.（3）“规律剖析”情况二中所得结论正确的为

.（填序号即可）（4）按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为

.AC20例2（2025江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1，则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.

③解：当k≠

1，且k≠

0时，b为任意实数；当k=1时，b=0.探究2：（3）对二次函数y=ax2+bx+c（a≠

0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答：若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式.解：∵y=x2-2bx+c=（x-b）2+c-b2，∴该抛物线的顶点坐标为（b，c-b2）.根据题意，得b=c-b2.探究3：（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12-x）件，获得总利润y元.请写出y关于x的函数关系式，并判断该函数是否是“不动点函数”？若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义；若该函数不是“不动点函数”，请说明理由.解：根据题意，得y关于x的函数关系式为y=（x-6）（12-x）=-x2+18x-72.把y=x代入，得-x2+18x-72=x.解得x1=8，x2=9.∴该函数是“不动点函数”.实际意义：在这段时间内，当该商品以每件8元或每件9元出售时，获得的总利润与每件出售的价格相等.（1）结合文字与符号，抓住阅读材料中的关键词，紧扣新概念、新运算、新方法等理解其本质.（2）对于给出的方法（或推理）过程，理解范例中的思路，读懂每一步运算或变形的依据，模仿步骤、迁移方法，注意活学活用.策略指导

解答代数阅读与思考的通性通法训练·反思1.（2024秋临汾期末）阅读与思考

认真阅读上面材料，解决下列问题：（1）请仿照上述材料中①的方法判断点（6，-5）是否为“理想点”.

2.（2024太原二模）阅读与思考数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务.奇妙的“条件等式”我们知道，等式是表示两个数(量)相等关系的式子.在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式.如2x=6，只有当x=3时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式.可见，我们学习过的方程大都是条件等式.下面我们再研究一个特殊的等式：a2+b

=

a+b2，其中a≠b.那么该等式成立的条件是什么呢?

=（a+b-1）（a-b）a+b=1

类型2

几何阅读与思考例3（2025山西）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，那么称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.例如，图1，图2，图3各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段.【问题解决】问题1：如图4，在矩形ABCD中，AB<AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB=

°.

问题2：如图5，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，CA边的延长线上，且AE=CD，连接AD，BE.求证：线段AD是线段BE的双关联线段.证明：延长DA交BE于点F.∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°.∵∠BAC+∠BAE=180°，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠BAE=∠ACD（依据）.

又∵AE=CD，∴△ABE≌

△CAD（SAS）.∴BE=AD，∠E=∠D.……任务：（1）问题1中的∠ACB=

°，问题2中的依据是

.（2）补全问题2的证明过程.30等角的补角相等解：∵∠AFB是△AEF的外角，∴∠AFB=∠EAF+∠E.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB=∠CAD+∠D.又∵∠EAF=∠CAD，∠E=∠D，∴∠AFB=∠ACB=60°.∴线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.又∵AD=BE，∴线段AD是线段BE的双关联线段.（3）如图6，点C在线段AB上，请作线段AB的双关联线段CD.（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）解：答案不唯一，如解图，线段CD即为所求.例4（2025太原二模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆.概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，⊙O经过点B，且与直线l相切于点A，则⊙O为点B和直线l关于点A的等距圆.对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接OA，OB，AB，得到图2.

∵O为点B和直线l关于点A的等距圆，∴⊙O与直线l相切于点A.∴①

.∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上.∵⊙O与直线l相切于点A，且经过点B，∴OA=OB.∴点O在线段AB的垂直平分线上.（依据：②

）任务：（1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①

；②

.

OA⊥直线l到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（2）问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆⊙O.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）解：如解图1，⊙O即为所求.

（3）联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，EF⊥

直线l于点F，EF=d.①求作：⊙P和直线l上一点M，使⊙P是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且⊙P的半径为d；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）解：如解图2或解图3，⊙P及点M即为所求（方法不唯一）.②若⊙Q是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点F右侧，且⊙Q的半径为3d，则M，N两点之间的距离为

.（用含d的式子表示）

例5（2023山西）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形.我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁（Varingnon，Pierre

1654—1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形；②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系；

任务:（1）填空:材料中的依据1是指

.

.依据2是指:

.

.

三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）

平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）解：答案不唯一，符合题意即可.如解图即为所求.（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使四边形EFGH为矩形.（要求同时画出四边形ABCD的对角线）（3）在图1中，连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论.

结合图形、文字、符号三种语言，理解几何定义中的关键词，应用定义的双重作用（性质+判定）进行判断、推理，对于给出的操作，要能将步骤转化为推理的条件.对于给出的推理过程，要明确每步推理的依据，理解论证的思路，灵活应用给出的方法解决问题.策略指导

解答几何阅读与思考的通性通法训练·反思3.（2024秋太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形.小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下：已知：如图1，在▱ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，连接DE，CE.求证：AD=AE，BC=BE，∠DEC=90°.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC.（依据：

①

）∵E为边AB的中点，∴AB=2AE=2BE.又∵AB=2AD，∴AD=AE，BC=BE.

任务：（1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①

；②

.平行四边形的对边相等AD∥BC（2）问题解决：①将图1中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形，请写出该三角形变换的过程，并在图2中画出变换后的图形；

解：如解图1，将△ADE绕点E旋转180°得到△BFE，则△CDF即为所求的等腰三角形（或如解图2，将△BCE绕点E旋转