湖南省湘一名校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（B卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省湘一名校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（B卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，则，因为，所以，故B正确.故选：B.2.已知直线过点（2，0），且与直线平行，则（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】D【解析】由直线过点，得，即，由直线与直线平行，得，即，所以．故选：.3.圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切 C.相交 D.相离【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径，圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径，由，且，可得，所以圆和外切.故选：A.4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得或，因为在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在上单调递增．故选：D.5.已知向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以．故选：C.6.已知是抛物线上的动点，点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（）A.2029 B.2030 C.2031 D.2032【答案】B【解析】由已知得的焦点为，准线为，设为点到的距离，设为点到的距离，则，即，由抛物线的定义得，故所求距离之和为，当三点共线时，取得最小值，最小值为，，，当点为线段与的交点时取等号．故选：.7.已知四棱柱的底面是正方形，以为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，若，，则四棱柱的体积为（）A. B.12 C.8 D.4【答案】C【解析】由得，所以该四棱柱的高为2，设，则，由，得，解得，所以底面是边长为2的正方形，所以该四棱柱的体积为．故选：C.8.已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由的离心率为，得，所以．所以双曲线的渐近线方程为.因为点在上，所以，，，所以，因为，所以故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知2017-2024年中国体育产业规模（单位：万亿元）数据如下表：年份20172018201920202021202220232024体育产业规模（万亿元）2.202.662.942.703.123.303.673.89则这8个数据的（）A.极差为1.69 B.中位数为2.91C.80%分位数是3.67 D.平均数大于3【答案】ACD【解析】极差为，故A正确；中位数为这8个数据按照从小到大的顺序排列后的第4个数2.94与第5个数3.12的平均数3.03，故B错误；分位数是这8个数据按照从小到大的顺序排列后的第7个数3.67，故C正确；平均数为，故D正确．故选：ACD．10.如图，在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，设，是棱上靠近的三等分点，为的中点，且，则（）A.B.C.D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A，因为是的中点，所以，因为是棱上靠近的三等分点，所以，所以，故A正确；对于B，由题，因为，所以，解得，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：ABD.11.过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（）A.的最小值为4 B.C.以为直径的圆过点 D.以为直径的圆过点【答案】BC【解析】对于，由题得，设直线的方程为，与联立，得，所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，抛物线C的准线方程为，设，由，得所以，即，故B正确；对于C，由上述分析知，同理有，所以，故C正确；对于D，因为，所以为钝角，点在以为直径的圆内，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算：___________．【答案】2【解析】．故答案为：2.13.函数在上零点个数为___________．【答案】4【解析】令，得，所以，由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4．故答案为：4.14.已知点在圆上，则当取最小值时，___________．【答案】1或.【解析】已知点在圆上，所以，即，所以，其几何意义是点到点，的距离之和，即，根据绝对值三角不等式：，当点在线段上时取等号；点即在圆上，也在线段上，所以此时点为线段与圆的交点；已知点，，利用两点式方程可得：直线的方程为；方程联立得：，解得或；即或；两组解均满足题意，所以或；故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线过两点，直线过点，且与垂直．（1）求的方程；（2）若圆过三点，求圆的方程．解：（1）因为过两点，所以的方程为，即．所以的斜率，因为，所以的斜率，又因为过点，所以的方程为，即．（2）因为点，所以，则，即，所以圆是以为直径的圆．圆心为，半径，所以圆的方程为．16.在中，内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若的面积为2，求的周长．解：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因，所以，则．由，可得．（2）解：由余弦定理得．因为，所以，所以．所以，可得．所以的周长为．17.已知椭圆经过点，且离心率．（1）求的方程；（2）记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称．（1）解：由经过点，得，由，得，所以，与联立，得，所以的方程为．（2）证明：由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0，设．由得，由，得．所以，则，把，代入，得，把代入，得，不满足，所以，则，所以直线关于直线对称．18.如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，平面平面，且与都是正三角形．（1）求证：；（2）若，点在棱上，且点到平面的距离为．（i）求；（ii）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：如图，取的中点，连接．因为与都是正三角形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为四边形是菱形，，所以，因为平面平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．（i）解：设，则．设平面的法向量为，则，即取，得，所以点到平面的距离为，解得．所以．（ii）解：，由（i）知，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即取，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．19.已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为．（i）求证：；（ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）解：设的半