吉林省松原市扶余第一中学2026届高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

吉林省松原市扶余第一中学2026届高二数学第一学期期末监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，，，则的离心率为（）A. B.2C. D.2．直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A. B.2C.2 D.43．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日4．已知数列的通项公式是，则（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50525．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2 B.3C.6 D.96．经过点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.7．若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.8．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）A.3 B.4C.5 D.69．已知空间向量，，则（）A. B.19C.17 D.10．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论正确的是（）①这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形；②若，，则；③若，则；④若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④11．在空间直角坐标系下，点关于平面的对称点的坐标为（）A. B.C. D.12．已知函数（其中）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数，则_______14．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则________；这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有______辆.15．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.16．等比数列中，，，则数列的公比为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角的余弦值为.（1）求PD的长；（2）求异面直线BF与PA所成角的余弦值；（3）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.18．（12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）证明：AC∥平面BEF；（2）求点C到平面BEF的距离19．（12分）已知空间中三点，，，设，（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值20．（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，为侧棱包含端点上的动点.（1）当时，求证平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.22．（10分）已知数列满足（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得关系，即可求得离心率.【详解】根据题意，作图如下：不妨设，则，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；联立①②两式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；联立②③可得：，又，故可得：，则，则，故离心率为.故选：C.2、B【解析】如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)，圆半径|AM|=，圆心M(−1,0)到直线x+y−1=0的距离：|，∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长：.故选B.点睛:本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大.2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.3、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B4、D【解析】根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.【详解】∵∴∴.故选：D.5、C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.6、A【解析】根据点斜式求得正确答案.【详解】直线的斜率为，经过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：A7、C【解析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，再确定参数的正负即可求解.【详解】双曲线，令，则，显然，则一条渐近线方程为，绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，故渐近线方程的倾斜角为120°，即，该函数在区间上存在最小值，可知，所以，所以.故选：C8、B【解析】由已知结合等比数列的性质可求出、，然后结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：由题意得：是递增等比数列又，，故故选：B9、D【解析】先求出的坐标，再求出其模【详解】因为，，所以，故，故选：D.10、A【解析】对于①，由三角形大边对大角的性质分析，对于②，根据题意利用正弦定理分析，对于③，利用余弦定理分析，对于④，利用三角形的面积公式分析判断【详解】对于①，根据题意，图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，故，，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故①正确；对于②，由题知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因为，所以，故②正确；对于③，不妨设，所以在中，由余弦定理得，代入数据得，所以，所以，故③错误；对于④，若是的中点，则，所以，故④正确.故选：A第II卷（非选择题11、C【解析】根据空间坐标系中点的对称关系求解【详解】点关于平面的对称点的坐标为，故选：C12、B【解析】根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式.【详解】由图知：且，则，所以，则，即，又，可得，，则，，又，即有.综上，.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：14、①.②.【解析】根据个小矩形面积之和为1即可求出的值；根据频率分布直方图可以求出车速低于限速60km/h的频率，从而可求出汽车有多少辆【详解】由解得：这300辆汽车中车速低于限速60km/h的汽车有故答案为：；15、【解析】连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接∵四面体中，，分别在，上，且，∴∴∴.故答案为：16、【解析】根据等比数列的定义，结合已知条件，代值计算即可求得结果.【详解】因为是等比数列，设其公比为，又，，故可得，解得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）以为轴，为轴，轴与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设，，由空间向量法求二面角，从而求得，得长；（2）由空间向量法求异面直线所成的角；（3）由空间向量法求线面角【小问1详解】以为轴，为轴，轴与垂直，由于菱形中，轴是的中垂线，建立如图坐标系，则，，，设，，，，设平面一个法向量为，则，令，则，，即，平面的一个法向量是，因为二面角余弦值为.所以，（负值舍去）所以；【小问2详解】由（1），，，，所以异面直线BF与PA所成角的余弦值为【小问3详解】由（1）平面的一个法向量为，又，，所以直线AF与平面BCF所成角的正弦值为18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面BEF的法向量，然后证明线面平行；（2）算出在向量方向上的投影，进而求得答案.【小问1详解】因为DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因为ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，所以，，设平面BEF的法向量，因为，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，则＝(1，1，2)，又因为＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.【小问2详解】设点C到平面BEF的距离为d，而，所以，所以点C到平面BEF的距离为19、（1）；（2）或.【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夹角余弦值为.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.20、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.（2）将（1）中模型取对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.【小问1详解】根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.【小问2详解】对两边取对数，得，即，由表中数据得：，，，则，∴关于的回归方程为，当时，，∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.小问3详解】依题意，，则有，∴，则，∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于，连接，证得，从而证得平面；（2）过作于，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求面的法向量，由直线与平面所成角的正弦值为，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）连接交于，连接，由题意，∵，∴，∴，又面，面，∴面.（2）过作于，则在中，，，，以为原点，建立如图所