同底数幂的除法课件湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第2章

分式2.4.1同底数幂的除法问题

幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

即

aman=am＋n（m，n都是正整数）an底数幂指数#2.4.1同底数幂的除法（初中数学八年级）##一、教学课件（幻灯片分页内容）###第1页：封面-标题：2.4.1同底数幂的除法-副标题：八年级数学（人教版）-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日###第2页：学习目标1.理解同底数幂除法的意义，掌握同底数幂除法法则的推导过程2.熟练运用同底数幂除法法则进行运算（含正整数指数幂、零指数幂）3.掌握零指数幂的定义及应用条件，能解决简单的同底数幂除法实际问题4.体会从特殊到一般、转化思想在数学中的应用，培养逻辑推理能力###第3页：复习回顾1.同底数幂的乘法法则：-公式：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数，$a≠0$）-举例：$2^3×2^2=2^{5}$，$a^4·a^2=a^6$，$(x+y)^2·(x+y)^3=(x+y)^5$2.幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数，$a≠0$）3.积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数，$a≠0$，$b≠0$）4.除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算5.提问：同底数幂相乘是“底数不变，指数相加”，那么同底数幂相除该如何运算？###第4页：探究新知——同底数幂除法法则推导（正整数指数幂）1.特殊实例探究：-计算下列各式（根据除法意义，转化为乘法逆运算）：

（1）$2^5÷2^2=\frac{2×2×2×2×2}{2×2}=2×2×2=2^3$（结果指数：$5-2=3$）

（2）$a^4÷a^2=\frac{a·a·a·a}{a·a}=a·a=a^2$（$a≠0$，结果指数：$4-2=2$）

（3）$(x+y)^3÷(x+y)=\frac{(x+y)(x+y)(x+y)}{x+y}=(x+y)^2$（$x+y≠0$，结果指数：$3-1=2$）2.规律总结：-观察以上算式，发现：同底数幂相除，底数不变，指数相减3.一般情况推导（$m$、$n$为正整数，且$m>n$，$a≠0$）：-$a^m÷a^n=\underbrace{\frac{a·a·…·a}{m个}}_{\underbrace{a·a·…·a}_{n个}}=\underbrace{a·a·…·a}_{(m-n)个}=a^{m-n}$4.法则归纳：-同底数幂相除，底数不变，指数相减-符号表示：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，且$m>n$）-强调：底数$a$不能为0（分母不能为0）###第5页：例题讲解1——基础同底数幂除法（正整数指数幂）例1：计算下列各题（1）$10^7÷10^4$解：$10^7÷10^4=10^{7-4}=10^3=1000$（底数为10，直接应用法则）（2）$a^6÷a^3$（$a≠0$）解：$a^6÷a^3=a^{6-3}=a^3$（底数为字母，指数相减）（3）$(2x)^5÷(2x)^2$（$x≠0$）解：$(2x)^5÷(2x)^2=(2x)^{5-2}=(2x)^3=8x^3$（底数为单项式，先应用法则，再用积的乘方）（4）$(m-n)^4÷(m-n)^2$（$m≠n$）解：$(m-n)^4÷(m-n)^2=(m-n)^{4-2}=(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$（底数为多项式，结果可展开）小结：应用法则时，需确保底数相同（可是数字、字母、单项式或多项式），指数相减后化简结果###第6页：探究新知——零指数幂的定义1.问题提出：当$m=n$时，同底数幂相除该如何计算？-例如：$2^3÷2^3$，$a^5÷a^5$（$a≠0$）2.两种思路计算：-思路1（除法意义）：$2^3÷2^3=\frac{2×2×2}{2×2×2}=1$；$a^5÷a^5=1$（$a≠0$）-思路2（类比法则）：若法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$仍成立，则$2^3÷2^3=2^{3-3}=2^0$；$a^5÷a^5=a^{5-5}=a^0$（$a≠0$）3.定义零指数幂：-为使法则在$m=n$时仍成立，规定：$a^0=1$（$a≠0$）-语言表述：任何不等于0的数的0次幂都等于1-强调：0的0次幂没有意义（$0^0$无意义）###第7页：例题讲解2——含零指数幂的运算例2：计算下列各题（1）$5^0$解：$5^0=1$（依据零指数幂定义，$5≠0$）（2）$(-3)^0$解：$(-3)^0=1$（$-3≠0$，负数的0次幂仍为1）（3）$(2a)^0$（$a≠0$）解：$∵a≠0∴2a≠0$，$∴(2a)^0=1$（底数不为0，零指数幂为1）（4）$a^3÷a^3$（$a≠0$）解：$a^3÷a^3=a^{3-3}=a^0=1$（结合同底数幂除法法则与零指数幂定义）（5）$(x^2+1)^0$解：$∵x^2≥0∴x^2+1≥1≠0$，$∴(x^2+1)^0=1$（无论$x$取何值，底数都不为0）易错警示：$0^0$无意义，如$(-0)^0$、$0^2÷0^2$均无意义###第8页：例题讲解3——同底数幂除法混合运算例3：计算下列各题（1）$a^7÷a^4·a^2$（$a≠0$）解：（先算除法，再算乘法，同级运算从左到右）$a^7÷a^4·a^2=a^{7-4}·a^2=a^3·a^2=a^{3+2}=a^5$（2）$(x^4)^3÷x^5$（$x≠0$）解：（先算幂的乘方，再算除法）$(x^4)^3÷x^5=x^{12}÷x^5=x^{12-5}=x^7$（3）$(ab)^6÷(ab)^3÷(ab)^0$（$a≠0$，$b≠0$）解：（底数均为$ab$，先应用法则，再处理零指数幂）$(ab)^6÷(ab)^3÷(ab)^0=(ab)^{6-3}÷1=(ab)^3=a^3b^3$###第9页：同底数幂除法的一般步骤1.判断底数：确保各项底数相同（若不同，需转化为相同底数，后续学习）2.确认条件：检查底数是否不为0（零指数幂需额外验证）3.应用法则：-正整数指数幂：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$m>n$）-零指数幂：$a^m÷a^m=a^0=1$（$a≠0$）4.混合运算：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右5.化简结果：根据幂的性质化简，确保结果为最简形式###第10页：课堂练习（分层）1.基础题（必做）：

（1）$2^6÷2^2$（2）$a^8÷a^5$（$a≠0$）

（3）$(3x)^4÷(3x)^1$（$x≠0$）

（4）$(-2)^0$（5）$(a^2)^5÷a^7$（$a≠0$）

（6）$m^5÷m^5$（$m≠0$）2.提高题（选做）：

（1）$(x-y)^7÷(x-y)^3·(x-y)^2$（$x≠y$）

（2）$(2a^3)^2÷a^4÷a^2$（$a≠0$）

（3）已知$3^m=9$，$3^n=3$，求$3^{m-n}$的值###第11页：练习答案与解析1.基础题答案：

（1）$2^{6-2}=2^4=16$（2）$a^{8-5}=a^3$（3）$(3x)^{4-1}=(3x)^3=27x^3$

（4）$1$（$-2≠0$）

（5）$a^{10}÷a^7=a^3$（6）$m^0=1$（$m≠0$）2.提高题答案：

（1）$(x-y)^{7-3+2}=(x-y)^6$（同级运算从左到右，指数相减后相加）

（2）$4a^6÷a^4÷a^2=4a^{6-4-2}=4a^0=4×1=4$（先算积的乘方，再依次除法）

（3）$3^{m-n}=3^m÷3^n=9÷3=3$（逆用法则，将指数差转化为除法）###第12页：易错点警示1.底数不同时误用法则：如$a^3÷b^2$不能直接用同底数幂除法法则2.忽略底数不为0的条件：如$0^0$、$a^0$（$a=0$时）无意义3.混合运算顺序错误：先算乘除再算乘方，或同级运算从右到左4.指数相减错误：如$a^5÷a^2=a^{5+2}=a^7$（混淆乘除法则）5.零指数幂应用错误：如$(2a)^0=2a^0=2×1=2$（错误拆分底数）###第13页：课堂小结1.核心法则：-同底数幂除法：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数）-零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$），$0^0$无意义2.关键要点：-底数相同是前提，底数不为0是条件-混合运算顺序：先乘方，再乘除，同级运算从左到右-法则可逆用：$a^{m-n}=a^m÷a^n$（$a≠0$，$m>n$）3.数学思想：从特殊到一般（通过实例推导法则）、转化思想（除法转化为乘法逆运算）###第14页：布置作业1.课本习题2.4第1题（1）（2）（3）（4）、第2题2.补充作业：

（1）$(-5)^3÷(-5)^2$（2）$(x^3)^2÷x^4$（$x≠0$）

（3）$(a-b)^0+2^0$（$a≠b$）3.拓展思考：当$m<n$时，$a^m÷a^n$（$a≠0$）的结果是什么？（预习负整数指数幂）###第15页：结束页-感谢聆听！-疑问解答##二、教学过程（详细课堂流程）###（一）导入新课（5分钟）1.复习旧知，激活经验：-提问1：“我们学过同底数幂的乘法法则，谁能回忆一下内容和公式？”（学生回答，教师板书公式$a^m·a^n=a^{m+n}$及示例）-提问2：“幂的乘方和积的乘方法则是什么？”（学生齐答，教师简要板书核心公式）-追问：“乘法和除法是互逆运算，既然同底数幂相乘有法则，那么同底数幂相除是否也有类似法则？”2.类比迁移，引出课题：-出示实例：计算$2^5÷2^2$，引导学生用除法意义（连乘形式）计算结果-引出课题：今天我们就来探究“2.4.1同底数幂的除法”（板书课题）###（二）探究新知（18分钟）1.推导同底数幂除法法则（正整数指数幂）：-出示3个特殊实例（$2^5÷2^2$、$a^4÷a^2$、$(x+y)^3÷(x+y)$），让学生独立计算-引导观察：“这三个算式有什么共同点？结果的底数和指数与原式有什么关系？”（学生回答：底数相同，结果底数不变，指数相减）-一般情况推导：-教师带领学生用字母表示一般形式：$a^m÷a^n$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，$m>n$）-依据除法意义，将幂转化为连乘形式，约分后得到$a^{m-n}$，验证猜想-归纳法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（板书法则及符号表示）-强调：底数$a$不能为0，因为除数不能为02.探究零指数幂的定义：-提出问题：“当$m=n$时，比如$2^3÷2^3$，该如何计算？”-引导学生用两种思路计算：①

除法意义（结果为1）；②

类比法则（结果为$2^0$）-引发思考：“为了让除法法则在$m=n$时仍然成立，我们该如何定义$a^0$？”-归纳定义：规定$a^0=1$（$a≠0$），强调“0的0次幂无意义”-举例验证：计算$(-3)^0$、$(2a)^0$（$a≠0$），巩固定义应用###（三）例题讲解（12分钟）1.基础例题（例1）：-针对正整数指数幂除法，覆盖不同底数类型（数字、字母、单项式、多项式）-例1（3）讲解：强调底数是“$2x$”这个整体，先应用同底数幂除法法则，再用积的乘方化简-例1（4）讲解：结果可根据需要展开（如$(m-n)^2$展开为$m^2-2mn+n^2$），也可保留多项式形式-让学生口述解题思路，强化“底数不变，指数相减”的核心逻辑2.零指数幂例题（例2）：-重点讲解（3）（5）题，强调“先判断底数是否为0”：如$(2a)^0$需满足$a≠0$，$(x^2+1)^0$因$x^2+1$恒大于0，故无论$x$取何值都有意义-出示易错示例：$0^0$、$a^0$（$a=0$），明确无意义的情况3.混合运算例题（例3）：-例3（1）强调：同级运算从左到右，先算除法再算乘法，避免先乘后除-例3（2）强调：先算乘方，再算除法，遵循“先高级后低级”的运算顺序-例3（3）结合零指数幂，讲解：$(ab)^0=1$（$a≠0$，$b≠0$），简化运算过程-让学生独立完成例题变式（如$(a^3)^2÷a^4$），教师巡视指导###（四）课堂练习（8分钟）1.分层练习，精准巩固：-基础题（必做）：全体学生独立完成，重点巩固法则应用和零指数幂定义，教师巡视，对学困生进行个别指导（重点关注底数判断和指数运算）-提高题（选做）：学有余力的学生尝试，强化混合运算和法则逆用，鼓励小组讨论2.反馈点评，解决问题：-展示学生的正确解答和典型错误（如底数不同误用法则、零指数幂忽略底数不为0、运算顺序错误）-集中讲解错误原因：例如第（5）题中，$(a^2)^5÷a^7$，部分学生先算除法再算乘方，导致结果错误-让学生订正错误，重新计算，同桌互查，确保掌握关键步骤###（五）课堂小结（2分钟）1.学生自主总结：“今天我们学习了同底数幂的除法，谁能说说核心法则、零指数幂的定义和注意事项？”（请3名学生回答，覆盖不同层次）2.教师梳理升华：-核心内容：两个法则（同底数幂除法、零指数幂），一个关键（底数不为0）-步骤口诀：底数相同先确认，指数相减记分明；零次幂要非零底，混合运算按序行-思想方法：从特殊到一般（实例推导法则）、转化思想（除法→乘法逆运算）-知识衔接：同底数幂除法是后续学习负整数指数幂、分式运算的基础，需熟练掌握###（六）布置作业（3分钟）1.明确作业分层：-必做题：课本习题+补充作业（1）（2），巩固基础运算，确保全体学生掌握核心知识-选做题：补充作业（3）+拓展思考，挑战思维，培养学生的灵活运用能力2.提出作业要求：-书写规范：每道题标注解题依据（如“依据同底数幂除法法则”“依据零指数幂定义”）-独立完成：严禁抄袭，不懂的地方做好标记，下次课提问-检查习惯：完成后自行检查底数是否相同、底数是否为0、运算顺序是否正确3.预习提示：思考“当$m<n$时，$a^m÷a^n$（$a≠0$）的结果该如何表示？”，为负整数指数幂学习做铺垫##三、教学说明1.本设计以“类比→探究→应用”为主线，通过同底数幂乘法法则迁移到除法法则，降低学生理解难度，突出数学思想的渗透；2.重点突破“底数相同的判断”“零指数幂的条件”“混合运算顺序”三个核心难点，通过分步讲解、例题示范、错题点评等环节强化掌握；3.练习和作业采用分层设计，兼顾学困生的基础巩固和优等生的思维拓展，满足不同层次学生的需求；4.注重学生的自主探究和互动，通过提问、独立练习、小组讨论、同桌互查等环节，提升学生的参与度和动手能力；5.强调法则的推导过程和应用条件，避免学生机械记忆，培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯。

一种液体每升含有1012个某种有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的此种有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？1012÷109(2)观察这个算式，它有何特点？

我们观察可以发现，1012

和109这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式.所以我们把1012÷109这种运算叫作同底数幂的除法.(1)怎样列式？同底数幂的除法1观察观察下列计算过程：

由此你能受到什么启发？

从上面的例子受到启发，设

m，n

都是正整数，且

m>n，则

因此，当

m>n

时，有

(m，n都是正整数).将

x

用任意一个非零实数

a

代入，得

(m，n都是正整数，且m>n).即同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数)，底数不变，指数相减.例1

计算：解：(n是正整数).例2

计算：解：（1）（2）

1.计算：

练一练解：(1)原式=x12－4

=x8.

(3)原式=(a+b)4－2

=(a+b)2.

2.已知：am=8，an=5.求：(1)am－n的值；(2)a3m－3n的值.解：(1)am－n=am÷an=8÷5=1.6.(2)a3m－3n=a3m

÷

a3n

=(am)3÷(an)3=83÷53

=512÷125=同底数幂的除法可以逆用：am－n=am÷an=这种思维叫作逆向思维(逆用运算性质).同底数幂的除法的实际应用2做一做：表示计算机存储容量的计量单位有字节(B)、千字节(KB)、兆字节(MB)、吉字节(GB)等.它们之间的换算关系如下：1KB=210B；1MB=210

KB；1GB=210MB=1024MB.

一张普通的CD光盘的存储容量约为

640MB，试问