江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试卷（含答案）

江苏省苏州市2025届高三第一学期学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={-1,0,1,2}，B={x||x-1|≤1-x}，则A∩B=(

)A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}2.设i是虚数单位，若复数z满足z(1+i)=i，则|z|=(

)A.12 B.22 C.13.已知平面向量a，b，则a=λb(λ∈R)是a，b共线的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.sin(2α+π6A.cosα2 B.12cosα 5.设等比数列an的前n项和为Sn，且S22=A.122024 B.2 C.2025 6.已知函数f(x)=ex-a(x-1)有两个零点，则实数a的取值范围是A.(1,+∞) B.(e,+∞) C.(2e,+∞) D.(7.现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为(

)A.215 B.15 C.4158.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，两渐近线分别为l1，l2，过F作l1的平行线与l2A.4 B.22 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π3A.f(x)的图象关于直线x=π6对称

B.f(x)的图象关于点(π3,0)对称

C.若f(x1)-f(x2)=2，则10.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀.整理数据如下表：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校331043乙校38745合计711788附：χ2=n(ad-bc参考数据：P(0.1000.0500.0100.005x2.7063.8416.6357.879则下列说法正确的有(

)A.甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高

B.甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高

C.甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多

D.对于小概率值α=0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异11.已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上一动点，M，N分别是线段B1C和CC1的中点，点Q满足MQA.Ω为平行四边形

B.存在λ，使得Ω的面积为22

C.存在λ，使得Ω和底面ABCD的夹角为π3

D.点B和三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为4，M到x轴的距离为3p，则p的值为13.已知x8=a0+a114.已知函数f(x)=x-2x，g(x)=x，h(x)=-3x+m，若h(x)的图象与f(x)和g(x)的图象从左到右依次交于A(x1,y1)，B(x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=a(cosC+3sinC)，D为边(1)求A;(2)若AD平分∠BAC，求a．16.(本小题15分)已知函数f(x)=a(1)若a=1，求f(x)的极小值;(2)若f(x)的图象与直线y=kx-1切于点(a2,f(a17.(本小题15分)

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60∘，PC=PD，M，N分别为线段DC和线段PA的中点．(1)求证：平面PBM⊥平面PDC;(2)若PB⊥BM，PB=1，求直线DN与平面PBC所成角的正弦值．18.(本小题17分)

如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.当高尔顿板共有n+1(n∈N*)行小木钉时，第i行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，⋯，i-1(2≤i≤n+1,i∈N)，底部格子从左到右分别编号为0，1，2，⋯，n，用X(1)若n=10，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率;(2)记X的数学期望为En(X)，记an ①设数列{bn}的前n项和为 ②设与bn最接近的整数为cn，求数列cn的前n项和19.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答：当△ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AQB=∠BQC=∠CQA=120∘的点Q即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，直线l交C于A(1)求C的方程;(2)当M为C的右顶点时，若MA⊥MB，求l与x轴的交点的坐标;(3)当l过点(x07,-y07)时，记△MAB的费马点为P，△PMA，△PMB，△PAB的面积分别为S1，1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】BC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】28

14.【答案】-315.【答案】解：(1)因为b+c=a(cosC+3sinC)，

由正弦定理得sinB+sinC=sinA(cosC+3sinC)，

则sin(A+C)+sinC=sinA(cosC+3sinC)，即cosAsinC+sinC=3sinCsinA，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠016.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，

当a=1时，f(x)=x2-x-lnx，f'(x)=2x2-x-1x，

令f'(x)=0，得x=1，

当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减;

当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增；

综上所述，f(x)的极小值为f(1)=0；

(2)f'(x)=2ax+(a-2)-1x，

由题意得f'(a2)=a2+(a-2)-2a=kf(a17.【答案】解：(1)连结DB，因为四边形ABCD为菱形，所以BC=CD．

因为∠BCD=60∘，所以△BCD为正三角形．

因为M为DC中点，所以CD⊥BM．

因为PC=PD且M为DC中点，所以CD⊥PM．

又因为BM∩PM=M，BM，PM⊂平面PBM，

所以CD⊥平面PBM．

因为CD⊂平面PDC，

所以平面PBM⊥平面PDC．

(2)因为CD⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，

所以CD⊥PB，

又因为PB⊥BM，BM∩CD=M，BM，CD⊂平面ABCD，

所以PB⊥平面ABCD．

延长AD，BM交于点Q，连结PQ．

因为四边形ABCD为菱形，

所以AB/​/CD且AB=CD．

因为M为DC中点，

所以AB//DM且DM=12AB，

所以D为AQ中点．

因为N为PA中点，

所以DN//PQ，

所以直线DN与平面PBC所成角即为直线PQ与平面PBC所成角．

VP-BCQ=13⋅PB⋅SΔBCQ=13×1×(12×23×1)=33．

设Q到平面PBC的距离为h，VP-BCQ=VQ-PBC=13⋅h⋅S18.【答案】解：(1)设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，设向右下落次数为Y．

因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，

所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，

所以P(B|A)=P(Y=3)=C83(12)8=732．

即小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为732．

(2) ①证明：X∽B(n,12)，则En(X)=n2．

所以an=2n，an+1=2n+1，

所以bn=2an+an+1=22n+2n+1=n(n+1)2n+1．

因为bn-n2=n(n+1)2n+1-n2=n2(2n+1)>0，19.【答案】解：(1)因为M(0,3)在C上，所以b=3．

又因为△MF1F2的费马点的坐标为(0,33)，

所以tan30∘=33c=33，所以c=1，

所以a2=b2+c2=4，

所以C的方程为x24+y23=1．

(2)当M为右顶点时，M(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

若l的斜率不存在时，不妨设MB的直线方