山东省临沂市莒南县2025-2026学年高二上学期期中学业质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省临沂市莒南县2025-2026学年高二上学期期中学业质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间四边形中，（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，.故选：B.2.如果直线与直线平行，那么a等于（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由于直线与直线平行，故可得且，解得，故选：A.3.已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（）A. B. C.9 D.12【答案】D【解析】由题意可知，如图：，即的周长为12，故选：D.4.在四面体中，点G是的重心，设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图所示：取AC的中点H，则，又，所以，故选：C.5已知圆与圆，则两圆（）A.内含 B.相切 C.相交 D.外离【答案】D【解析】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径；圆心距，两圆外离.故选：D.6.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】由于，可得：，即，解得：.故选：B.7.双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】的渐近线方程为，，结合条件两条渐近线的夹角为，则，解得，又，，，.故选：C.8.在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（）A.若，则 B.向量是的一个单位向量C.若为钝角，则 D.若在上的投影向量为，则【答案】D【解析】由，，可得，故A错误；由的单位向量是，故B错误；由为钝角，则，又当，所以为钝角，则且，故C错误；由在上的投影向量为，故D正确；故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】是空间的一个基底，故不共面，对于A选项，假设共面，则存在唯一实数使得，则，所以为共面向量，故不能构成空间的一个基底，故A正确；对于B选项，假设共面，则存在唯一实数使得，所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误；对于C选项，假设共面，则存在唯一实数使得，所以，解得，故共面，故故不能构成空间的一个基底，故C正确；对于D选项，假设共面，则存在唯一实数使得，所以，解得，故共面，故故不能构成空间的一个基底，故D正确.故选：ACD.10.对于直线，下列说法中正确的是（）A.的倾斜角可以为 B.时，不经过第二象限C.的一个方向向量为时， D.直线恒过定点【答案】BD【解析】对于：直线：，斜率，所以斜率肯定存在，所以倾斜角不可能是，故选项错误；对于：可化简为：，所以直线恒过定点，时，斜率，所以直线经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项正确；对于：l的一个方向向量为时，斜率，又，所以，故选项错误；对于：可化简为：，所以直线恒过定点，故选项正确；故选：.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（

）A.的方程为B.C.的面积随周长变大而变大D.直线和的斜率乘积为定值【答案】ABD【解析】由题易知，解得，故椭圆方程为，故A正确；连接，由椭圆对称性知为平行四边形，，，当且仅当，时等号成立，故正确；对C：由B知：，设，则，的面积为，由对称性，不妨设在第一象限及正半轴上，故随的增大而减小，的面积为随的增大而增大，即的面积随周长变大而变小，C错误；对D：设，则，又，所以，点在椭圆上，结合C，，所以，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是________．【答案】或【解析】由直线，可得：，所以平行直线与直线的距离.故答案为：.13.在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________．【答案】【解析】由题意可得，又平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为，故答案为：.14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____．【答案】【解析】阴影部分在第一象限内的边界曲线方程为，若直线与在轴上方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点，则，解得，若直线与在轴下方的阴影部分的边界曲线有两个不同的交点，则即，当时，直线，此时与阴影部分的边界有两个不同的交点，两个交点为符合；综上，，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程；（2）求直线：关于直线：对称的直线的方程；（3）求过三点，，的圆的一般式方程．解：（1）若直线过坐标原点，则，直线的方程为，即，此时横纵截距都等于0，满足题意；若直线不过坐标原点，设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为.综上，此直线的方程为或.（2）设直线关于直线对称的直线为，由，解得，所以直线经过点，在上取一点关于对称的点设为，则有解得，所以直线经过点，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.（3）设所求圆的方程为，其中，因为圆过三点，，，所以，解得，故所求圆的方程为．16.如图，在平行六面体中，且.（1）求长度；（2）求证：平面.（1）解：设，由于，即，所以，同理可得，由题意可得，所以；（2）证明：因为，所以，所以，同理可证，又因为平面．所以平面.17.已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）求的最小值及的最大值；（3）证明直线过定点．（1）解：圆的圆心，半径，连接，点到直线的距离，直线与圆相离，（2）解：点在圆上，则，由切线长定理知，，而，又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，当且仅当时取等号，因此的最大值为.（3）证明：设，则以为直径的圆的方程为，即，与已知圆的方程相减可得直线的方程为，即，由，解得，即直线过定点.18.如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点.（1）若，请证明：平面；（2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，取上的中点，连接，.，分别是和的中点，且.又，且，四边形是平行四边形，.平面，平面.平面.（2）解：由题意得平面且，因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由题易知，平面，所以为平面的法向量.设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系，可知，，，有，.令，则，，即平面的法向量为.设平面与平面的夹角为，则有.19.定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（对应图1，对应图2）.（1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”?若是，求出相似比；若不是，请说明理由；（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；（3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）.（1）解:这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下：椭圆中，椭圆中，，则所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（2）证明：必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等.如图，若，则，，所以，又因为，所以.充分性：若离