山西省太原市部分学校2026届高三上学期10月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省太原市部分学校2026届高三上学期10月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，则，即，解得，即，由，则，即，故.故选：C.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：.故选：D.3.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则.故选：B.4.函数图象的对称中心的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，解得，故函数图象的对称中心的坐标为.故选：A.5.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，则.故选：A.6.已知，则“”成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对A：取，，有，故由不能得到，故“”不是“”成立的一个充分不必要条件，故A错误；对B：取，，有，故由不能得到，故“”不是“”成立的一个充分不必要条件，故B错误；对C：若，则，故“”是“”成立的一个充要条件，故C错误；对D：若，则，即，由“”是“”成立的一个充分不必要条件，故“”是“”成立的一个充分不必要条件，故D正确.故选：D.7.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，则，故，故选：B.8.已知函数的定义域为且为奇函数.若函数的图象与的图象的公共点为，则（）A.4052 B.4050 C.2026 D.2025【答案】C【解析】由是由函数向右平移得到，则关于点中心对称，由为奇函数，则，则关于点中心对称，故对函数与任一交点，总存在也是其交点，则，，则.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列说法错误的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由题意可知，，，则，故等差数列为递减数列，故，，，故A正确，BC错误；，故D错误.故选：BCD.10.已知函数，若，则（）A.的最小值为2 B.的最小值为C. D.的最大值为【答案】BCD【解析】由题意可得，又，则，即，即有，且，；对A：由，则，则，由在上单调递增，则，故A错误；对B：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故B正确；对C：，取，由A知，，则在上单调递增，故，故C正确；对D：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为，故D正确.故选：BCD.11.已知函数若则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则的取值范围为C.若，则的最小值为D.若，则的取值范围为【答案】ACD【解析】对A：由，则，化简得，由，则、，则恒有，即，故A正确；对B：若，需存在，使得，当时，，则有，解得，即的取值范围为，故B错误；对C：由，则，，且，则，且，故，当且仅当时，等号成立，故C正确；对D：若，则，则，，即有，，有，解得，即，若，则，又，解得；若，则，又，解得；又时，有，即，故时，符合要求；综上所述：的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数________．【答案】【解析】，则，又，则曲线在点处的切线方程为，化简得，则，故.故答案为：.13.如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________．【答案】【解析】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，设，则，所以，因为的长为，所以，即正方形的边长为，所以的面积，扇形的面积为，由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等，所以图中阴影部分的面积.故答案为：.14.已知数列的通项公式为，在项和之间插入个x，形成一个新数列，若的前2027项的和为9138，则________．【答案】4.5【解析】在数列中，后面插入个，后面插入个，，后面插入个，那么到为止，新数列的项数为.由等比数列前项和公式可得，所以到为止，新数列的项数为.当时，；当时，；因为，所以在新数列的前2027项中，不在.新数列的前2027项中，.在新数列的前2027项中的个数为个，而到为止插入的的个数为：个，所以的个数为2016个，那么的和为.所以，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别是，且．（1）求角C的大小；（2）若，求的周长的最大值．解：（1）由正弦定理可化为，即，则，因为，则；（2）因为，，则，则，得，等号成立时，则周长的最大值为.16.在数列中，．（1）证明：是等比数列；（2）若，求数列的前n项和．（1）证明：由，则，则，故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由数列是以为首项，为公比的等比数列，故，即，则，即，则.17.如图所示，在扇形中，，分别是的中点，点E为弧上一点，过E作与平行的直线交弧于另一点为线段的中点.设．（1）当为何值时，四边形为矩形？（2）记四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求S的最大值．解：（1）在扇形中，，且分别是的中点，可得，由且为线段的中点，在直角中，可得，所以，由于垂直于且经过二者的中点，故要使得四边形为矩形，则需满足，即，可得，即当时，四边形为矩形.（2）由（1）知，且，如图所示，设与交于点，则，因为，所以，所以四边形的面积为，其中令，因为，可得，所以，且，则，所以，其中，当时，，即四边形面积的最大值为.18.如图，函数的图象经过点和将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）求函数在上的值域；（3）若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值．解：（1）因为函数经过点，所以，所以，解得.所以，因为，所以.所以函数.根据函数图象的平移等变化，可得出.当时，单调递增，解得，所以的单调递增区间为.（2）因为，所以.所以.因为，所以，所以，所以，所以在上的值域为.（3），令，则.所以或，解得或.函数的每个周期内有2个零点，要使得函数在区间内恰有20个零点，则至少需要9个完整周期加1个零点，所以的最小值为.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点．（i）求的取值范围；（ii）证明：．（1）解：，当时，，则，故在上单调递增；当时，令，解得或（负值，舍去），故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）解：若，在上单调递增，不可能有两个不同零点；若，则在上单调递减，在上单调递增，则有，即，解得，即，又