四川省仁寿县铧强中学2026届高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析

四川省仁寿县铧强中学2026届高二数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是A. B.C. D.2．曲线与曲线的（）A.实轴长相等 B.虚轴长相等C.焦距相等 D.渐进线相同3．一条直线过原点和点，则这条直线的倾斜角是（）A. B.C. D.4．直线，若的倾斜角为60°，则的斜率为（）A. B.C. D.5．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.6．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A. B.C. D.8．若，则与的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定9．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，410．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）A.的焦距为 B.的渐近线方程为C.的离心率为 D.的虚轴长为11．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），问立夏日影长为（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸12．曲线在点处的切线方程是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且，则c的最小值为__________.14．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.15．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点.若(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为___________.16．（建三江）函数在处取得极小值，则=___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，（1）证明：平面ABCD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值18．（12分）已知函数的图像在处的切线斜率为，且时，有极值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.19．（12分）等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若满足数列为递增数列，求数列前项和20．（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）定义：记，求数列的前20项和21．（12分）已知抛物线与直线相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C交于A,B两点，使得为定值.如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.22．（10分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，（1）求证：；（2）求直线与所成角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：当为钝角时，在中，设，有，，即，，所以；当时，所在直线方程，所以，，，根据图象可得要使，点向右上方移动，此时，综上所述：的取值范围是.故选：C【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.2、D【解析】将曲线化为标准方程后即可求解.【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐近线方程同为.故选：3、C【解析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【详解】设这条件直线的倾斜角为，则，，因此，.故选：C.4、D【解析】直线,斜率乘积为，斜线斜率等于倾斜角的正切值.【详解】,，所以.故选：D.5、B【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B6、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A7、A【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，∴点P到直线和直线的距离之和，∴当B，P，F三点共线时，最小，∵，∴，∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为故选：A8、B【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.详解】解：，所以，即.故选：B9、C【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.故选：C.10、D【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】方程表示双曲线，则，成等比数列，则，所以双曲线方程为，所以，故双曲线的焦距为，A选项错误.渐近线方程为，B选项错误.离心率，C选项错误.虚轴长，D选项正确.故选：D11、D【解析】结合等差数列知识求得正确答案.【详解】设冬至日影长，公差为，则，所以立夏日影长丈，即四尺五寸.故选：D12、D【解析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】，选D.点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先利用正弦定理边化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根据与的关系，求得，即可求得c的最小值.【详解】，即，又，当最大时，即，最小，且为由正弦定理得：，当时，c的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.14、①.②.【解析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.【详解】因为，，所以，所以..故答案为：；15、【解析】过F作，利用点到直线距离可求出，再根据勾股定理可得，，由可得，即可建立关系求解.【详解】如图，过F作，则E是AB中点，设渐近线为，则，则在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，则，即，即，则，即，.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是分别表示出，，由建立关系.16、【解析】由，令，解得或，且时，；时，；时，，所以当时，函数取得极小值考点：导数在函数中的应用；极值的条件三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可小问1详解】证明：如图，连接，在中，由，可得，因为，，所以，，因为，，，则，故，因为，，，平面，则平面；【小问2详解】解：由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，所以，则，，，又，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，，故，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为18、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）由题得①，②，解方程组即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小问1详解】解：求导得，因为在出的切线斜率为，则，即①因为时，有极值，则.即②由①②联立得，所以.【小问2详解】解：由（1），令解得或，列表如下：极大值极小值所以，在［－3，2］上的最大值为，最小值为.19、（1）或（2）【解析】（1）利用等差数列通项公式，可构造方程组求得，由此可得通项公式；（2）由（1）可得，利用分组求和法，结合等差等比求和公式可得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得：或，当时，；当时，.综上，或【小问2详解】由（1）当数列为递增数列，则，设，.20、（1）；（2）【解析】（1）利用求得递推关系得等比数列，从而得通项公式，再由等差数列的基本时法求得通项公式；（2）根据定义求得，然后分组求和法求得和【小问1详解】由题意，当时，两式相减，得，即是首项为3，公比为3的等比数列设数列的公差为，小问2详解】由21、(1)；(2).【解析】（1）直线与抛物线相切，所以有，可解得，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有，把目标式坐标化可得与无关，可得.试题解析：(1)联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.(2)假设存在满足条件的点，直