概率论与数理统计期末试卷及答案(一)

概率论与数理统计期末试卷

一、填空(每小题2分.共10分)

1.设口是三个随机事室则□至少发生两个可表示为0

2.掷一颗骰子，口表示“出现奇数点”，口表示“点数不大于3”，则□表示o

3.已知互斥的两个事件口满足口,则口。

4.设口为两个随机事仁口.口.则口o

5.设口是三个随机事仁口.□.□、□,则□至少发生一个的概率为o

二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案.请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分.共

20分)

I.从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记口”取到2只白球”，则口()。

(I)取到2只红球的取到I只白球

(0没有取到白球(//)至少取到I只红球

2.对掷一枚硬币的试验，“出现正面”称为()。

(.4)随机事件的必然事件

(。不可能事件⑺样本空间

工设A.B为随机事件.则口()o

(<)A(H)if

(0IB{II)力

L设口和□是任意两个概率不为零的互斥事件,则卜列结论中肯定正确的是()o

(I)彳与否互斥的7与否不互斥

P(A}UP(B)/(A-8)=P®

5.设□为两随机事件,且则下列式子正确的是()。

U)=/(期=尸(3)

/(8|4)=F⑻/伊叫=?⑻-?⑷

6.设□相互独立□.则口()。

2J

(1)3的9

191

(027(//)27

7.设口是三个随机事件.且有口.则口()o

(I)0.1的(1.6

(Q0.8(//)0.7

8.进行一系列独立的试验.每次试验成功的概率为p.则在成功2次之前已经失败3次的概率为()。

(I)问一，))(协JP(I-PP

(。5P?(l-p)3曲炉(1一州

9.设A.R为两随机事件,且口,则下列式子正确的是()。

(9户(3号)=尸伊)期尸(3-4)=2(3)-尸(⑷

10.设事件A与B同时发生时.事件(:一定发生，则()。

0)/*(.1的一P©俨)P⑸十P的一P(0WI

(0P(4)+P0)-P2I(II)P(A)+P幽)WP©

三、计算与应用题(每小题8分.共61分)

1.袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。

求取到的两个球颜色不同的概率。

2.1(1把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。

求能打开门的概率。

3.一间宿舍住有6位同学.

求他们中有I个人的生日在同一个月份概率。

以个产品中有16个合格品与I个次品.从中一次抽取3个，

求至少取到一个次品的概率。

5.加工某种零件.需经过三道工序.假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2.并且任何一道工序是否

出次品与其它各道工序无关。

求该种零件的次品率。

6.已知某品的合格率为0.95.而合格品中的一级品率为(加。

求该产品的一级品率。

7.一箱产品共皿》件.其中次品个数从。到2是等可能的。开箱检验时;从中随机抽取I。件.如果发现有次品.则认

为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收,

求其中确实没有次品的概率。

8.某厂的产品.□按甲工艺加工.□按乙工艺加工.两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该

厂的产品中有放回地取5件来检验，

求其中最多有一件次品的概率。

四、证明题（共6分）

设口.□□<,证明

3之1（川8）2驾二1

D0

试卷一

参考答案

一、填空

1.□或口

2.出现的点数恰为5

3.口

74与5互斥

•尸(dU6)=尸(⑷+尸(6)则尸(6)=F(/U6)-尸传)=一P

1.0.6

・・・P(A-B)=P(A)-P(AB)

=06-0.2

=0.4

故P(AB)>P(AB)

=1-0.4

=0.6

5.口

至少发生一个，即为

又由ABCaAB^F(A£C)^()

故P(/U5UC)=P(4)+P(B)+P(O-P(,AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

31

=一—一

46

7

=正

二、单项选择

!.□

2.A

3.A

利用集合的运算性质可得.

1.□

74与5互斥

:.P(AB)=0

故尸(/-8)=尸⑷-尸(幽门⑷

5.□

vBe.A

AB-B

故尸(四)=尸(6)

6.0

743,C相互独立

二F(一U£UC)=I-F(4UEUC)

=1-P0P(5)P©

*图

19

=—

27

7.D

vAz)B.ADC

OSC且P(fUQ=F(5C)

=0.8

则心-80=尸⑼-RBC)

=09-0.2

=0.7

«.□

9.B

KI.B

vABuC

..F\AB)=+P⑷+P(ff)-P(AuB)£P(C)

故P(A)+岫_p(°WI

三、计算与应用题

I解

设口表示“取到的两球颜色不同”,则口

而样本点总数〃=C；

尸⑷=，=警喘

故”5

2.解：

设口表示“能把门锁打开"，则口，而口

C衿+Cf8

（A）

/=7=is

3解

设口表示“有I个人的生日在同一月份”，则口

而样本点总数为丹二12，

=玄==0.0073

故n12°

4解

设□表示“至少取到•个次品”,因其较复杂,考虑逆事件口二“没有取到次品”

则N包含的样本点数为"彳=c%。而样本点总数为彩=c*

P{A)=1-尸(力=1-%=0.2255

故Go

5.解：

设4=”任取一个零件为次品”

由题意要求口.但较复杂，考虑逆事件口”任取一个零件为正品”.□表示通过三道工序都合格.

则P(A)=(l-02)(l-01)(1-01)=0.648

于是F(i4)=l-P(4l=l-0648=0352

6.解:

设口表示“产品是一极品”.□表示“产品是合格品”

显然□.则口

于是/，)=PW=尸(8)尸(川功=o95x。65=0.6175

即该产品的•级品率为06175

工解:

设口“箱中有□件次品”，由题设.有口，

又设口”该箱产品通过验收”，由全概率公式，有

氏3)=£尸(4)尸(叫4)

ix2.71

尸(4|3)=

于是

r1

$2.71

=271

=037

M解

依题意.该厂产品的合格率为.口

于是,次品率为口

设口表示“有放回取；件.最多取到一件次品”

贝U尸(<)=C?p%S+C%d

=(0.82)5+5x018x(0.82)*=：0.78

四、证明题

证明

由概率的性质知ABaA则

P(AB)<P[A)^a

乂...P(AB)^P(A}+P{B)-P(AUB)

|L0<P(A<J5)<1

故b

试卷二

一、填空（每小题2分.共10分）

I.若随机变量□的概率分布为口.□.则口________。

2.设随机变量□,且□.则口________。

3.设随机变量□.则□。

I

.设

随机

变量

□,

则

□_

0贯

.若

随机

变量

口的

概率

2

分布

为

0.2050.3

则D3x)=

二、单项选择（每题的四个选项中只有一个是正确答案.请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分.共

20分)

I.设口与口分别是两个随机变量的分布函数，为使口是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数

值中应取（）。

I3

“2,二a=一,

(0的2

16=

-91

(02

2.设随机变量□的概率密度为□，则口（

(|)2的1

(0%⑺°

3.下列函数为随机变量分布密度的是（

smx>0ex<yanx，0<x<

Z>W-p(x)一

0其它0其它

(I)(If)

sanx.0<x<<snx»0<x<2r

z>W-

0其它0其它

(0

I.下列函数为随机变量分布密度的是（

(0g

।《川

（0"标h

(H)2v<

.5.设随机变量口的概率密度为口.口.则□的概率密度为（)o

（产（〉）

产⑵

6.设口服从二项分布口.则()o

同RQX-»=2np"(JAM)-)+1

(°E(2¥+1)=4叨+l的£)(2Y7)=4巩-p)

7.设□.则口()。

(*)2的4

(00⑺1

8.设随机变量口的分布密度为□.则口(

(1)2的1

(01/2Mi

9.对随机变量口来说.如果口,则可断定口不服从

(»)二项分布脚指数分布

(0正态分布(0)泊松分布

io.设口为服从正态分方□的随机变量.则口(

(09的6

(0I的-3

三、计算与应用题(每小题8分.共61分)

L盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。

求抽取次数X的概率分布。

2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在I小时内有12分钟需用小吊车。

求(I)在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？

(2)若车间中仅有2台小吊车,则因小吊车不够向耽误工作的概率是多少？

工某种电子元件的寿命口是随机变量.其概率密度为

C

x>100

P（x）=7

0x<100

求(I)常数C；

(2)若将3个这种元件串联在一条线路上,试计算该线路使用I刘小时后仍能正常工作的概率。

L某种电池的寿命(单位:小时)是一个随机变量口,且口。

求(I)这样的电池寿命在浏小时以上的概率；

(2)口.使电池寿命在口内的概率不小于0.9。

5.设随机变量口。

求Y=户概率密度外（丁）。

6.若随机变量口服从泊松分布，即口.且知口。

求兄4叱

7.设随机变量口的概率密度为口。

求和

8.一汽车沿一街道行使.需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口.每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或

绿相互独立.求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以口表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。

求（I）X的概率分布；

⑵"岛1

四、证明题（共6分）

设随机变量X服从参数为2的指数分布。

证明:□在区间口上.服从均匀分布。

试卷二

参考答案

一、填空

1.6

£*丫=月=1

由概率分布的性质有U1

即口，

得C=6。

2.口

，则

尸{XN1)=1-尸{X=O}=l-(l-p)‘

3.0.5

v4)

:.P{X+1<O}=P{X<-1}

叫下一卜中⑼=0.5

vX~“2)

EX=LDX=L

24

贝U/=£)%+(因2

I1

=一4一

44

=1

2

5.0.25

由题设.可设口

P{Y=0}=?{smZ=0}=P{AT=0}+{sinX=^}=0.2+0.3=0.5

尸{y=i)=尸{M》=I)=2，x=g>=0.5

Y01

P0.50.5

则s（y）=op{y=o}+ip{y=i}=o,5

F（ra）=o3尸（y=o}+P,p{y=i}=o.5

D（r）=5（r3）-（s（r））2=05-05:025

二、单项选择

i.（口）

由分布函数的性质.知口

则口，经验证只有□满足.□选口

2.（□）

由概率密度的性质，有口□

工（口）

由概率密度的性质.有口□

1.(□)

由密度函数的性质.有口

5.(口

是单减函数，其反函数为，求导数得

由公式，的密度为

6.(口)

由已知口服从二项分布口.则口

又由方差的性质知,WX-1)=49Q-P)

7.(口)

・・・4)

：,EX=O,DX=A

于是E[X(X-2)]=-2£T=DX^(EXf-2EX=4

8.(A)由正态分布密度的定义，有口

由*x),Kr8丁9<]<+8)=—,,

2〃2a-4■2

90)

・・・烤服从泊松分布，则£X・DX•入

.・.如果EXhDX时,只能选择泊松分布.

10.(0)

•・•、为服从正态分布.V(-l.2).EX=.1

A£(2V-l)=-3

三、计算与应用题

I解

设X为抽取的次数

只有个旧球，所以的可能取值为：

由古典概型，有

93

•；网…它，

^=2}=lxl=±

P(X=3}=-x—x—=—

iJ121110220

八32191

尸L*=4}=-x-x——x-=——

i;1211109220

则

X।23

3991

rP

444220220

2.解:

设口表示同一•时刻需用小吊车的人数.则口是一随机变量,由题意有口.

,于是

(1)口的最可能值为口.即概率口达到最大的口

(2)尸国ST作}=9{X>2)=1-9{XW2)

=1NP{X川

—跳广

=00989

工解：

r*®

p(x)dx=lnI-Cx-tfxsl

⑴由Ji3可得C=100

(2)串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的.因

此,若用口表示“线路正常工作”，则

F(J4)=[F(X>15O)J

而"兀*|

I.解:

〃=300.。=35

250-300]

产｛工>250)=1-产｛¥«250｝=1-0

(I)35)

=1-6(幻)

网X>250)=1-(1-6(1428))

=6(1428)(查正态分布表)

=09236

zi„“A、」3g+a-300113OO-a-3OO1

产(300-」<300+d｝二6------------一①--------------

由题意I<X；I35JI35J

=09

1+0.9…

6—z—=0195

即查表得a=57.75o

3.解:

对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，

l<x<2

Px⑶=，

其它

乂由题设知0,

故由公式知：口

6.解:

，则

而EX=DX=a

由题设知EX2=2

即女+(甘)2=；1+7=2

可得N=1

31

尸(XN4)=1-F(£〈4)=1-Z」“

故

查泊松分布表得.口

=1-0,981

=0019

工解:

由数学期望的定义知*!>(梃臼二

x"以=0

而EX”=［二dr(1)h=；［二2岑制dx=『八-"=

2

故以=/_(时=2

8.解:

(i)X的可能取值为°，L2,3且由题意,可得

尸{x=o}=T

产{X=1]=；X；=；

P(X=2]=^X2X1=1

''2228

p{X=3)=ixlxl=I

,'2228

X0i23

1J

p2

2A88

（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有

£|—|=—xP{Ar=O)+—XP{^=1}+—XP{AF=2)+—xP(Jf=3)

十人/l+U-1

1111111

=一+-X—♦-x-+—x-

2243848

67

=---

96

四、证明题

证明：

由已知X服从才跳分布「（2）则

,、［2产x>0

以"，［&x<0

又由口得口连续,单调.存在反函数

…产且%1-y）

当口时.口则口

故々（H・Ar［g（y）］D|gbX

［^^x—L—,

20<y<1

*j2（»y）

其它

10<y<l

"to,其它

即y服从（Q.1削均匀分布U（Q1）

试卷三

一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分.共10分）

1.设二

维随机变01%

量口的联

合分布律

为，

\

Y

X

0a

彳2

1J

1b

32

.设

随

机

变

量

□

和

□

相

互

独

立

-11-11

其

概

率

分

布

分

别

为

I1工J

222

则尸依小

3.若随机变量□与□相互独立.且

则x+y服从分布.

.已

知

□

与

□

相

互

独

立

同

9

则w）=.

5.设随机变量口的数学期里为口、方差□.则由切比雪天不等式有

P[\X-u\^.2a}

二、单项选择（在每题的四个选项中只有一个是正确答案.请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分.共

2。分）

I.若二维随机变量□的我合概率密度为口口，则系数□（）.

24

（I）n的储

_2

（01的兀

2.设两个相互独立的随机变量□和□分别服从正态分布口和□，则下列结论正确的是（）.

F{x+yso}=1

(I)的

的九＞。）产{—}=；

的

3.设随机向量（\八）的联合分布密度为□.则（

（I）（XJ）服从指数分布（明[与}不独立

（0.，与）相互独立❿砌X,1）#0

1.设随机变量口相互独立且都服从区间|0』|上的均匀分他则下列随机变量中服从均匀分布的有（）.

的X+Y

价因丫）

5.设随机变量口与随机变量口相互独立且同分布.且口

2.则下列各式中成立的是（）.

P(X=K)=1v\1尸(x+y=o)=LP(^T=1)=-

曲尸

(I)2(X=y)=Lo4的4

6.设随机变量□的期望与方差都存在.则下列各式中成立的是().

㈤E(X+Y)=+曲E(XY)^EXEY

，八D(X+y)=DX+DYllhD(XY)=DX-DY

(I)W)

7.若随机变量□是口的线性函数.口且随机变量口存在数学期望与方差，则口与口的相关系数口().

(1)。的/(0°(//)1

X.设口是一维随机变量，则随机变量口与口不相关的充要条件是().

^EX^EY

，li}EX^(EX^EY^(EY^

(f)叱+上,:用旧时

W)EX2=EY2

。.设口是□个相互独立同分布的随机变量.口,□

则对于口.有口().

<±<1

U)海的9

>].±>2

(0汕的9

10.设口.为独立同分布随机变量序列.且\i(i=12…)服从参数为X的指数分布,正态分布N(0.l)的密度函数为口.

则().

4VM〃£匹-〃

口产——Sx-4>(x)(8)limP<—Sx，-4>(x)

,

之X「A江7

口l---Mx,-4*(x)(D)hm」〜三!-----<x，・e(x)

……nX

三、计算与应用题(每小题8分.共61分)

1.将2个球随机地放入:5个盒子，设口表示第一个盒子内放入的球数,口表示有球的盒子个数.

求二维随机变量(X'')的联合概率分布.

2.设二维随机变量口的联合概率密度为

/、[启x>ay>o

心力0,其它

(I)确定力的值;

⑵求产{0MXM1，0WYW2}

3.设口的联合密度为

15小,0<x<y<1

P(X,y)

o.其它

（I）求边缘密度Px。）和PYG'）；

（2）判断x与y是否相互独立.

I.设口的联合密度为

/\229XN1,JN1

p（x，力=<

0,其它

z=£

求Y的概率密度.

5.设口,□,且□与□相互独立.

求（I）（”丫）的联合概率密度；

（,）仪2*+4。

（3）仪3）

6.设□的联合概率密度为

p[^y）=W（x+"0<x<2,0<^<2

o.其它

求cov（X,丫）及加

7.对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是I标准差是1.5.

求1（10次炮击中有涮至磔课炮弹命中目标的概率.

8抽样检杳产品质量时,如果发现次品数多于10个,则认为这批产品不能接受.

问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.

四、证明题（共6分）

设随机变量口的数学期望存在.证明随机变量口与任一常数□的协方差是零.

试卷三

参考解答

一、填空

I.D

由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得

1

11-

4-

1

6-

2.口

产{x=y}=p{x=-i,r=-i}+p{z=i,r=i)

11111

——X-4-X-=-

22222

3.口

•・•相互独立的正态变量之和仍服从正态分布必4％,Y+6)

且口.

.^+7027(3,25)

1.□

.；nXY)=RXXRY=(EX)2

=(0x01+1x09)2

=081

5.D

•・.-122小刍

a2

=才

=1

4

二、单项选择

则

由口取一爪1n叱品

2.册

由题设可知.口

故将y标准化得「｛犬+y"D

飞)

=例0)

=1

2

，选择（冰

3.(0

1六1，

・・,由p(x>)=7rg知,尸0,则CO«Ky)=0

2^r

故x.y相互独立.

•••选择◎

他

•••随机变量x与丫相互独立且都服从区间WI上的均匀分布.则

1,OWxjWl

其它

P(xj)=px(x)prCy)=%

・•・选择O

5.(A)

vKX=Y)=P{X=DF(y=1)+P(X=-l)P(r=-1)

11111

=—X--X-=一

22222

工选择(4

6.(A)

•・•由期望的性质知

£(x+y)=£¥+ay

工选择俳

翻)

EXY-EX0EY,八

Pxi"ylDXDyfby(”,)

EX(aX^b)-EXUE(aX^b)

-百口轲aX+b)

aUDX

=丽

a

=同

=1

••・选择以

8邛)

u=x+y与不相关的充要条件是〃)=。

即鲤(x+y”-y)]-E(x+y)a(x-y)=o

则君=@)2=”2-(即2

，选择例

9.(()

DZ=-

Vn_

,叩-竿

=1-—

9n

，选择。

IO.(A)

Xi(i=12…)服从参数为入的指数分布，则

・•・选择他

三、计算与应用题

I.解

显然x的可能取值为°，1'2：y的可能取值为1,2

注意到将2个球随机的放入3个盒子共有3^种放法.则有

2

巴=OY=-

9

2

==--Y==O

Y=9

□G4

2=-

Y=9

^21

7=J=

*Y=l彳=工P(Z=2.Y=2)=0

即（乂丫）的联合分布律为

(i)由概率密度的性质有

匚匚

川工小”

=4*%-"dxx力

=A

12

=1

可得4=12

(2)设口.则

p{o<jf<i,o<r<2}=p((xr)eD)

=J[p(x，y)d^fy

D

=(1-尸)(]_/)

3.解

⑴P*(x)=J二P(x,y\fy(0<x<l)

=J：15x，M=(1-x3)

《2

/、0<X<1

0.其它

&3=匚。3"（o<^<i）

即口.

（2）当0<X<l,0<尸<1时

网（戏蚪（田=白，（1■刁口5八p（K.刃

故随机变量x与丫不相互独立.

4.解

先求口的分布函数□显然.随机变量□的取值不会为负因此

当口时

当口时.口