概率论与数理统计复习资料要点总结7

《概率论与数理统计》复习提要

第一章随机事件与概率

1.事件的关系Au8AuBABA-BAAB=(/)

2.运算规则(I)A\JB=B\JAAB=BA

(2)(AU3)DC=AU(8DC)(AB)C=A(BC)

(3)(AD8)C=(A058O(AB)UC=(AUC)(BUC)

(4)A'UB=ABAB=B

3.概率P(A)满足的三条公理及性质:

(I)0<P(A)<1(2)P(Q)=1

(3)对互不相容的事件…,A〃，有P(UA.=£P(A”)(〃可以取oo)

k=\t=l

(4)尸3)=0(5)P(A)=1-P(A)

(6)P(A-B)=P(A)-2(43),若Au3,则P(B-A)=P(B)一5(4),P(A)<P(B)

(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

(8)uBoC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(AB。

4.古典概型：基本事件有限且等可能

5.几何概率

6.条件概率

(1)定义：若尸(3)>0,则P(A|B)=曳"

尸(3)

(2)乘法公式：P[AB)=P(B)P(A\B)

若5,冬，…旦为完备事件组,P(瓦)>0•则有

(3)全概率公式：P(A)=tp(g)P(A|8j)

r=l

(4)Bayes公式：「皿⑷二普31

nP(B"P(A\BJ

4=1

7.事件的独立性：48独立o0(4b)=P(A)P(H)(注意独立性的应用)

第二章随机变量与概率分布

1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(x=七)=P,满足(1)PiNO,(2)W>i=l

I

(3)对任意OuH,P(XeD)=£pi

i-.x^D

2.连续随机变量：具有概率密度函数/*),满足(1)/(x)>0,f(x)dx=1；

rb

(2)P(a<X<b)=[f(x)dx；(3)对任意awR,P(X=a)=0

3.几个常用随机变量

名称与记号分布列或密度数学期望方差

两点分布P(X=1)=p,P(X=0)=q=i—pppq

二项式分布8(〃,〃)P(X=k)=C：p、"i,k=0,12…明npnpq

乃

Poisson分布P(2)P(X=Q=e〃下火=0,1,2,…22

J_q

几何分布G(p)p(X=k)=q"'p,k=l,2,…,>

Pp~

a+b

均匀分布U(a,〃)=a<x<b,

b-a212

11

指数分布EW/(x)=Q弋x>0

T不

i一(a―

正态分布N(4，M)a2

4.分布函数F(x)=P(X<x),具有以下性质

(1)尸(-oo)=0,F(+»)=l；(2)单调非降；(3)右连续；

(4)P(a<X<b)=F(b)-F(a),特别P(X>a)=1-尸(a)；

(5)对离散随机变量，"X)=ZP，；

i:Xj<x

(6)对连续随机变量，/(工)=[]/(/)力为连续函数，且在/(x)连续点上，F(x)=f(x)

5.正态分布的概率计算以①(x)记标准正态分布N(0,l)的分布函数，则有

(1)0(0)=0.5；(2)0(-x)=l-<D(x)；(3)若乂~N3b2),则/⑶二①(二W)；

a

(4)以分记标准正态分布N(O,1)的上侧a分位数，则尸(X>%)=a=l-①(%)

6.随机变量的函数y=g(x)

(1)离散时，求y的值，将相同的概率相加；

(2)X连续，g(x)在x的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则

/y(y)=/x(gT(),))l(gT(y)))，若不单调，先求分布函数，再求导。

第四章随机变量的数字特征

i.期望

(1)离散时£(X)=ZX〃j,E(g(X))=ZgQj)Pj；

ii

⑵连续时七(*)=「'4。)心，E(g(X))=「g(x)f(x)dx；

J-ac

⑶二维时E(g(X,y))=Zg(xL,E(g(X,y))=「rg(x9y)f(xty)dxdy

i.j

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(X+y)=E(X)+E(Y)；

(7)X,y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

2.方差

(1)方差O(X)=E(X—E(X))2=£(X2)—(EX)2,标准差b(X)="XX)；

(2)D(C)=0,D(X+C)=D(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)X,y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

3.协方差

(1)Cbv(X,Y)=E[(X-E(X))(y-E(y))]=E(XY)-E(X)E(Y)：

(2)Q?v(X,y)=G?v(r,X),Cov(aX.bY)=ahCov(X,Y)；

(3)Cov{X}+X2,K)=Cov(X.,Y)+Cov(X2,Y)；

(4)c。贝x,y)=o时，称x,y不相关，独立=不相关，反之不成立，但正态时等价；

(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

:

4.相关系数pXY=-.....一；有|0xy区1，|0XY1=1OP(y=aX+〃)=1

(T(X)o-(r)

5.k阶原点矩/=E(X&),k阶中心矩〃4.二E(X—E(X))人

第五章大数定律与中心极限定理

1.Chebyshev不等式P{|X-E(X)|>^}<-^^或片|X—E(X)|<021一驾)

「£~

2.大数定律

3.中心极限定理

(1)设随机变量第，乂2,…，X”独立同分布凤X,)=〃，O(XJ=b2,则

〃

”2XXj-叫

Yxi~或2之Xj~N(〃,三)或-------N(0,l),

£‘近似'"〃勺近似〃诟7近似

(2)设〃？是〃次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=p,则对任意X,有

1亩］片牛丝(幻=中(方或理解为若*~氏〃,〃)，则*~N(np,〃pq)

〃+od〃pq近似

第六章样本及抽样分布

1.总体、样本

(1)简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);

(2)样本数字特征：

—1«———ZT2

样本均值X=-YXi(E(X)=/z,D(X)=—)；

n

样本方差S2(E(S2)=O-2)样本标准差

〃一

样本A阶原点矩匕=-y,样本攵阶中心矩=-y(x,-x)k

〃/=1

2.统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)

(1)分布=X：+X；+…+X：~%2(〃)，其中x「X2,…，X〃独立同分布于标

准正态分布N(O,1),若万〜彳2(取)且独立，则X+Y〜,2(%+%)；

V

（2），分布，二^^〜，（〃），其中X~N（O,1）,y~/2（〃）且独立；

（3）口分布F=N~"S，）,其中X~%2（/）,y~力2（公）且独立，有下面的

Y/n2

性质产%（々，〃2）二不一~~；

4.正态总体的抽样分布

（1）X~N（4，b2/〃）；⑵二£区一〃1〜/（〃）；

（3）"L?S〜/（〃—］）且与官独立;（4）［=上苔〜f（〃一1）：

bS/J〃

⑸,=（5/）-（〃「/）尸〜2）,s］=5T）S；+（〃「闾

S6V々+〃2~々+%-2

第七章参数估计

1.矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2.极大似然估计：

（I）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然困数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏

导数为0,解出极大似然伍计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min{xj或max{£}）

3.估计量的评选原则

（I）无偏性：若E®=