【初中 数学】角平分线第1课时课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学下册

第一章1.5角平分线初中数学北师大版（2024）八年级下册第1课时角平分线的性质与判定1.经历探究角平分线的性质定理和判定定理的过程.2.掌握角平分线的性质定理和判定定理，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点)学习目标如图，在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路.猜想：怎样修建道路最短？往哪条路走更近呢？情境引入01角平分线的性质问题1

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.提示

∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离

.2.几何语言：如图，∵OP平分∠AOB(一平分)，PD⊥OA，PE⊥OB(二垂直)，∴PD=PE(三相等).相等知识梳理例1

把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.解

过点M作MH⊥AB于点H，如图，∵∠BAD=30°，∠BAC=60°，∴∠CAM=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°，∴AM平分∠BAC，∵MC⊥AC，MH⊥AB，∴MH=MC.即MC的长度等于点M到AB的距离.跟踪训练1

(1)如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为5.点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为A.PN<5 B.PN>5 C.PN≥5 D.PN≤5√解析如图，过点P作PE⊥OA于点E，PM⊥OB于点M，则PM是点P到OB的最短距离，PE=5，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=5，∴PN≥5.(2)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=6

cm，∠CAD=28°，求CD的长度及∠B的度数.解

∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6

cm，∠BAD=∠CAD=28°，∴∠BAC=2∠CAD=56°，∴∠B=90°-∠CAB=34°.角平分线的判定2问题2

“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是真命题吗？你能证明自己结论的正确性吗？提示

是真命题.已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP平分∠AOB.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.1.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的

上.2.几何语言：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2).3.角平分线的判定所具备的条件：(1)位置关系：点在角的内部；(2)数量关系：点到角两边的距离相等.平分线知识梳理4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.注意点：由于到角两边距离相等的点不一定在角的平分线上，可能在角平分线的反向延长线上，或在角的邻补角的平分线上，所以存在条件“角的内部”.知识梳理例2

(课本P37例1)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

跟踪训练2

(1)如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是A.①②③④ B.①②③

C.④

D.②③解析∵点P到AE，AD，BC的距离相等，∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，∴正确的是①②③④.√(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.

课堂小结1.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(1)点：角平分线上的点；(2)距离：点到角两边的距离；(3)相等：两条垂线段相等.2.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3.辅助线添加方法：过角平分线上一点向角的两边作垂线段.1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD∶CD=3∶2，则点D到AB的距离为A.18 B.12 C.15 D.16课堂练习√解析如图，作DE⊥AB于E，∵BD∶CD=3∶2，BC=30，∴CD=12，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=12.即点D到AB的距离为12.课堂练习2.如图所示，小明将两把完全相同的长方形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2

cm，5

cm，则OC的长度是___cm.

随堂演练3课堂练习随堂演练解析如图，过P作PN⊥OB于点N，由题意得PM=PN，且PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP=∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO=∠NOP，∴∠COP=∠CPO，∴OC=PC，∵C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2

cm，5

cm，∴PC=5-2=3(cm)，∴OC的长度是3

cm.课堂练习3.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D，BC⊥OA于点E.求证：AC=BC.随堂演练

课堂练习4.如图，已知BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.随堂演练

课堂练习

作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点