第十五章 轴对称（复习讲义）（解析版）数学人教版2024八年级上册-A4

第十五章轴对称(复习讲义)1.了解轴对称、轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形等相关概念的意义，体会它们之间的整体联系。2.能用坐标表示轴对称，会画轴对称图形。3.理解并利用线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形及等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质解决问题，能运用轴对称知识解决最短路问题。线段垂直平分线2.线段垂直平分线的判定轴轴对称 (1)定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.(2)判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形.【注意】(1)对称轴是一条直线，而不是射线或线段.(2)一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条.(3)轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性(轴对称性)的某一类图形.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.轴对称和轴对称图形的区别与联系名称关系区别意义不同两个图形之间的特殊位置关系一个形状特殊的图形图形个数一个图形对称轴的位置不同可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)一定经过这个图形对称轴的只有一条联系(1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称(1)两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(3)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等.(4)成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形.4.轴对称变换一个图形与其关于直线1对称后的图形之间的关系(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点.(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【注意】(2)一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的.几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点);(2)画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；(3)连——依次连接各对称点.6.用坐标表示轴对称(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).已知两个点的坐标分别为Pi(x1,y₁),P2(x₂,y2),若xi=x2,yi+y₂=0,则点Pi,P2关于x轴对称；若xi+x₂=0,yi=y2,则点P1,P₂关于y轴对称.反之也成立.(1)计算——计算对称点的坐标；(2)描点——根据对称点的坐标描点；(3)连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形.【知识点02】线段垂直平分线1.线段垂直平分线的定义及其性质(1)线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB.(3)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.书写格式：如图所示，若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上.【知识点03】等腰三角形1.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等.(2)等腰三角形两底角的平分线相等.(3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°.2.等腰三角形的判定(1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边).【注意】(1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”.由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.3.等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°【注意】(1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.4.等边三角形的判定(1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.5.含30°角的直角三角形的性质一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【注意】(1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用.(2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系.(3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切.(4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题. (1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.(2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.【例1】下列图形中为轴对称图形的是()A.B.D.【知识点】轴对称图形的识别【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果【变式1-1】下列图案中，不是轴对称图形的是()A.B.D.一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形.故选B.富有水墨意味的东方审美.下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是()A.B.D.【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键；把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图【变式1-3】王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是()A.B.D.【答案【答案】C【知识点】轴对称图形的识别【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形.”是解题的关键.【详解】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；B、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；C、符合轴对称图形定义，故此项符合题意；D、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；故选：C.【例2】如图，VABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点(P不与AA'共线),下列结论中错误的是()A.A.△AA'P是等腰三角形B.MN垂直平分AA'C.VABC与A'B'C的面积相等D.直线AB,A'B'的交点不一定在MN上【答案】D【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质.根据轴对称的性质解答即可；【详解】解：∵VABC与△A'B'C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA'P是等腰三角形，MN垂直平分AA',CC′,这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；直线AB,A'B'关于直线MN对称，因此交点一定在MN上.D错误；【变式2-1】如图，VABC与。A'BC'关于直线l对称，连接AA',BB′,CC',其中BB′分别交AC,A'C'点不一定在直线l上.其中正确的是()【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键.根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可.∴直线l垂直平分AA',故③正确；【变式2-2】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线OF是其对称轴.下列结论不正确的是()A.BC=B'C'【答案】【答案】D【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上.据此分析即可.【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线OF是∴OF垂直平分BB',故此选项符合题意.【变式2-3】如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB,AC的对称点分别是点P,点P₂,连结PP2分别与AB,AC交于点M,点N,连结PM,PN,下列结论：【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形的边对等角【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键.由题意得∠P₁AP=2∠PAB,∠P₂AP=2∠PAC,从而得出∠PAP₂=2∠PAB+2∠PAC=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC,可判断②,由∠PAP₂=2∠BAC且∠BAC的大小没有确定，可得出∠PAP₂的大小没有确定，可判断①,由对称性可得AB为线段PP的垂直平分线，AC为线段PP₂的垂直平分线，从而得出MP=MP,NP=NP₂,从而得出PMN的周长=PM+PN+MN=MP₁+MP₂+MN=PP₂,可判断③,由题意得∠AEP=∠AFP=90°,可得∠MPP₁=∠MPP,∠NPP₂=∠NP₂P,再求解即可判断④.【详解】解：∵P关于AB,AC的对称点分别是点P,点P₂,∴∠P₁AP₂的大小没有确定，∴PP₂A不一定是等边三角形，∵P关于AB,AC的对称点分别是点P₁,点P2,∴AB为线段PP的垂直平分线，AC为线段PP₂的垂直平分线，∴△PMN的周长=PM+PN+MN=MP₁+MP₂+MN=PP₂,如图，设AB与PP交于点E,AC与PP₂交于点F,EBNC【例3】点P(-3,6)关于y轴对称点的坐标是()A.(3,6)B.(-2,-6)C.(2,-6)【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.利用平面直角坐标系内两点关于y轴对称时：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解.【详解】解：点P(-3,6)关于y轴对称点的坐标是(3,6),【变式3-1】在平面直角坐标系中，点A(a,-6)与点B(2,b)关于y轴对称，则ab=【知识点】坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标规律，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.【详解】解：∵点A(a,-6)与点B(2,b)关于y轴对称，故答案为：12.【变式3-2】若点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴对称，则代数式a+b的值为【知识点】坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a,b的值，进而求出代数式的值即可.【详解】解：∵点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴对称，【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，VABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4).(1)画出VABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁;(2)直接写出点A关于x轴的对称点A₂的坐标为;(3)在x轴上找到一点P,使PB+PC的和最小(标出点P即可，不用求点P的坐标)【知识点】坐标与图形变化——轴对称、最短路径问题【分析】本题考查了图形的轴对称变换等知识，得出变换后对应点坐标位置及是解题关键.(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点得出各对应点坐标，顺次连接即可；(2)根据关于x轴对称的点的坐标特点求解即可；(3)根据关于x轴对称的点的坐标特点得出点B关于x轴对称的点B',连接CB′,交x轴于点P,即可得答案.【详解】(1)解：如图，△A₁B₁C₁即为所求，Bx(2)解：点A(2,4)关于x轴的对称点A₂坐标为(2,-4),(3)解：如图，点P即为所求，B题型四利用垂直平分线的性质求解【例4】如图，在VABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D.连接DE.(1)若VABC的周长为19,DEC的周长为7,求AB的长；【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键.(1)先证明AB=BE,AD=DE,结合VABC的周长为19,DEC的周长为7,可得AB+BE=19-7=12,【详解】(1)解：QBD是线段AE的垂直平分线，,(1)若AB=AC=8,ADB的周长是18,求DC的长；(2)若BDC的周长为18,BC=8,AB=AC,求AE的长.(1)首先根据垂直平分线的性质得到AD=BD,然后结合题意得到AB+AD+B(2)根据。BDC的周长为18,BC=8得到而求解即可.【详解】(1)∵MN垂直平分AB【变式4-2】如图，在VABC中，DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F.【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用线段两端点的距离相等是解题的关键.(1)根据线段垂直平分线的性质得到AM=CM,BN=CN,根据三角形的周长公式计算，得到答案；(2)根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF,进而求出∠A+∠B,结合图形计算即可.【详解】(1)解：DM、EN分别垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN,∴CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3(cm),故CMN的周长为3cm;∵AM=CM,BN=CN,【变式4-3】如图，在VABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,交CD于点F,点G是线段AD上一点，且满足∠A+∠AEG=90°,连接CG交BE于点0.【知识点】全等的性质和HL综合(HL)、线段垂直平分线的性质、同位角相等两直线平行、三角形内角【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，线质，三角形面积的计算，角平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键.(1)根据三角形的内角和定理∠AGE=180°-(∠A+∠AEG)=90°,得到EG⊥AB,根据平行线的判定定理(2)根据角平分线的性质得到CE=EG,根据全等三角形的判定定理得到BC=BG;式即可得到结论.∴CD//EG;(3)解：由(2)知，CE=GE,BG=BC,即EB的长为10.【例5】在Rt△ABC中∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线.【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质.(1)由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得∠B=∠BAD=∠DAC,再由(2)由角平分线的性质定理得DE=DC,在Rt△BDE中，由含30°角直角三角形的性质即可证明.【详解】(1)解：∵∠C=90°,(2)证明：在RtBDE中，∠B=30°,【变式5-1】已知：如图，∠BAC角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DFIAC,垂足分别为E、F.(2)若AB=8,AC=6,求BE的长.【分析】(1)连接CD,先由垂直平分线的性质得出BD=CD,再由角平分线的性质得出DE=DF,然后由HL证得Rt△BDE≌Rt△CD(2)由HL证得Rt△ADE≌RtADF,得出AE=AF,则AB-BE=AC+CF,推出BE+CF=AB-AC=2,即可得出结果.【详解】(1)证明：连接CD,AD在Rt△BDE和Rt△CDF中，(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长.【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合(HL)(1)连接BP、CP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=EP,然后利用“HL”证明RtBDP和RtCEP全等，根据全等三角形对应的长度表示出AD、CE,然后解方程即可.【详解】(1)证明：连接BP、CP,∵点P在BC的垂直平分线上，,DP=EP,(2)解：在RtADP和Rt△AEP中，解得AD=2cm.(3)作图：在线段AD上求作一点P,使得PO+PE最小(保留作图痕迹).【答案】(1)125;【答案】(1)125;(2)△AEC的面积10;(3)见解析图.【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAO和∠ABO,进而利用三角形内角和定理解答即可；(2)根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可；此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用.【详解】(1)∵∠BAC=80°,∠C=70°,故答案为：125;(3)如图，连接OC,交AD于点P,连接EP,F题型六利用等腰(等边)三角形的性质求解【答案】33【答案】33..,,【变式6-1】如图，在VABC中，∠B=2∠C,点E为边AC的中点，DEIAC,交BC于点D,若AB=5,【答案【答案】8【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质根据DE垂直平分AC,得出AD=CD,根据等腰三角形的性质得出∠DAC=∠C,证明∠B=∠ADB,得出AB=AD=5,即可得到结论.AE∵点E为边AC的中点，DE⊥AC,,【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，?B90?,DE//AB交BC于点E,交AC于点F,和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练运用相关知识是解题关键.首先根据平行线的性质可得∠CED=∠B=90°,再证明△ABC≌△CED,由全等三角形的性质可得AC=DC,即ACD为等腰三角形，然后计算∠ADF的值即可.【变式6-3】如图，VABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD.(2)过点D作DF垂直于BE,垂足为F,若CF=3,求VABC的周长.【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形【分析】(1)等边三角形三线合一，得到∠DBC=30°,等边对等角结合三角形的外角，推出(2)易得△FDC是含30度角的直角三角形，进而得到CD=2CF,中线得到AD=CD,求出AC的长，即可.【详解】(1)证明：∵VABC是等边三角形，BD是中线，(2)解：∵DF⊥BE,【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形.熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题形.熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键.题型七含30°的直角三角形性质的应用【例7】如图，在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E、连接BD、若CD=2,则AD的长为【答案】4【答案】4【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到AD=BD,进而得到∠CBD=30°,再根据直角三角形的性质可得BD=2CD,从推出AD的长.【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,∵DE是AB的垂直平分线，故答案为：4.【变式7-1】如图，在VABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=6cm,则AC的值为cm.【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得求出AC的值【详解】解：∵DE垂直平分AB,故答案为3【答案【答案】2【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.,故答案为：故答案为：2.【答案】6【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题(最短路线问题),直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三的关键.作A关于BC的对称点A',连接A'B,A'P,A'D,由∠ACB根据轴对称的性质可得A'C=AC,BC是AA'的垂直平分线，进而可得A三角形，则AA'=A'B,由三线合一可得A'D⊥AB,进而利用三角形的面积公式可得A'D=BC=6,由垂直平分线的性质可得AP=A'P,于是可得AP+DP=A'P+DP,根据垂线段最短可知A'P+DP≥A'D=6,于是可得答案.【详解】解：如图，作A关于BC的对称点A',连接A'B,A'P,A'D,ADA',,D为AB的中点，∵垂线段最短，∴AP+DP的最小值是6,故答案为：6.【例8】如图，在四边形ABEC中，对角线AE与BC交于点D,已知∠ABC=∠AEC,∠ADC+∠ACE=180°,BD=CE.【答案】(1)见解析【答案】(1)见解析【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等腰三角形的性质和判定【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识.(2)由△ADB≌ACE得到AE=AB=10,AD=AC=6,即可得到答案；根据三角形外角性质得到∠则,即可得到∠BEC的度数.【详解】(1)证明：∵∠ADC+∠ACE=180°,∠ADC+∠ADB=180°,∴ACD是等腰三角形；【变式8-1】如图，在等腰VABC中，AB=AC=3,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说明理由；(3)在点D的运动过程中，VADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，VADE是等腰三角形.【答案】(1)35°;小(2)DC=3【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理；(1)由三角形内角和定理得∠BAD=180°-∠B-∠BDA,∠BDA=180°-40°-∠BAD,由点D从点B向点(2)当DC=3时，由AAS可判定△ABD≌△DCE,即可求解；(3)分类讨论：①当DA=DE时，②当AD=AE时，③当EA=ED时，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键.=110°;【变式8-2】(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1,AD是VABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE.在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是_,另外他还得到了AC和BE的位置关系是_;(2)问题解决：如图2,AD是VABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求(3)问题拓展：如图3,VABC中，AB=AC,∠BAC=90°,点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD,∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系.图2图3图1【答案】(1)SAS;AC//BE;(2)见解析；(3)BE=2AF(2)延长AD至点E,使DE=AD,同(1)可得△ACD≌△EBD,AC//BE,证明∠ABE=∠ACQ,(3)延长AF至点H,使FH=AF,由(1)可得△ADF≌△HCF,AD//CH,证明△ABD≌△ACE(AAS),【详解】解：(1)∵AD是VABC的中线，(2)证明：如图所示，延长AD至点E,使DE=AD,图2同(1)可得△ACD≌△EBDABDECPB∠(2)如图②,若点P在线段BC上，点Q在线段AB上，AC=8,求BP+BQ的值.(2)由等边三角形的性质易得AD=CD=4,过点D作DE//BC交AB于点E,进而得到VADE是等边,,D是AC的中点，如图3,过点D作DE//BC交AB于点E.,,\BP+BQ=BC-PC+AB-AQ=AB+BC-(A(1)如图①,求证：AB=AC;(3)如图③,在(2)的条件下，连接CD交AE于点F,若AF=2,BE=3,求DE的长.【答案】(1)见解析【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题【分析】(1)已知条件结合三角形内角和定理证明∠B=∠C即可；(2)先说明VABC为等边三角形，即∠BAC=∠ABC=∠C=60°,设∠ABD=x,则∠然后根据四边形的内角和用x表示出∠CAD,进而表示出∠EAD,最后根据三角形内角和即可解答；(3)如图：作AM⊥BD,根据题意说明MD=MB,进而说明AE⊥CD,根据∠AED=60°,得到∠EDF=30°,∠EAM=30°,利用直角三角形30°的特征，设ME=y,则MD=y+3,然后根据线段的和差列方程解答即可.【详解】(1)证明：在VABC中有∠A+∠B+∠C=180°,∴VABC是等边三角形，在四边形ACBD中有：∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°,∵∠CAD的平分线交BD于点E,(3)如图，作AM⊥BD,由(2)得∠AED=60°,∴MD=MB=y+3,AE=2y,DE=2EF=MD+ME=2y+3,【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，【变式9-2】如图，在VABC中，AB=AC,D为直线BC上一动点(不与点B,C重合),在AD的右侧备用图(2)请判断点D在何处时，AC⊥DE,并说明理由.(2)当点D在BC中点时，AC⊥DE,理由见详解.【知识点】三角形的外角的定义及性质、全【分析】(1)根据SAS即可证明；(2)D运动到BC中点时，AC⊥DE;利用等腰三角形的三线合一即可证明；(3)分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.在△ABD和△ACE中，(2)解：若AC⊥DE,,,(3)解：由(1)可知△BAD≌△CAE,①如图1:D在线段BC上时，若∠BAD=25°,图1②如图2,点D在BC的延长线上，∠ADB=25°,③如图3,点D在CB的延长线上，此时∠BAD=25°,∠ADB=60°-25°=35°.④如图4,∠ADB=25°.E图4分层阶梯训练分层阶梯训练·提能力基础巩固通关测1.在平面直角坐标系中，点(-2,4)关于x轴对称点的坐标是()A.(-2,4)B.(2,-4)C.(-2,-4)2.下列图案为轴对称图形的是()A.B.D.3.如图，在VABC中，AD为角平分线，若∠B=∠C=60°,AB=4,则CD的长度为()A.1B.√3C.2D.4【答案】C【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的判定及三线合一，熟练掌握该知识点是关键.根据等边三角形的判定解答即可.∵AD为角平分线，AB=AC,4.如图，在VABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作A.5A.5B.11C.16D.17【答案】D【分析】本题考查尺规作垂线、线段垂直平分线的性质，根据作图痕迹可得MN垂直平分AC,进而求解三角形的周长即可.【详解】解：由作图得MN垂直平分AC,∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+5.如图，VABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点0,则下列结论不一定正确的是()A.AC=ACB.BO=B'OC.AA'⊥MND.AB//B'C'【答案】【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段.根据轴对称的性质逐项判断即可得.【详解】解：∵VABC与△A'BC′关于直线MN对称，BB'交MN于点O,A.AC=AC,则此项正确，不符合题意；6.已知，点P(3,-1)与点Q(a+b,1-b)关于y轴对称，则a的值为.【答案】25根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求出b=2,a=-5,再根据有理数的乘方运算法则计算即可.【详解】解：∵点P(3,-1)与点Q(a+故答案为：25.7.如图，在△ABE中，AD垂直平分BC,CF垂直平分AE,若AB=4,BD=2,则BE【答案】8【答案】8【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得CD=BD=2,AC=AB=4,CE=AC=4,由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键.【详解】解：∵AD垂直平分BC,CF垂直平分AE,AB=4,BD=2,故答案为：8.8.如图所示，在VABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN//BC,MN过点0,若AB=12,AC=18,则AMN的周长是_CC【答案】30【答案】30【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化.因为BO平分∠ABC,所以∠ABO=∠OBC;又因为MN//BC,所以∠MOB=∠OBC,从而可得=AM+MO+AN+NO=AM+MB+AN+NC=AB+AC,代入数值即可求解.【详解】解：∵BO平分∠ABC,【分析】本题考查了角平分线、含30°角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含30°角直角三角形的再根据含30°角直角三角形的性质计算，即【详解】如图，过点E作ED⊥OA,交OA于点DC0FBEAD【答案】67【答案】67.5°或72°,【分析】由OC=AC=BC结合折叠的性质可得∠COA=∠COA'=∠BAO,设∠COA=∠COA'=∠BAO=x°,然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出∠BCO=2x°,∠A'OB=90°-2x°,∠OBD=90°-x°,∠BDO=3x°,从而利用分类讨论思想解题.本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质并关键.解得：x°=18°,三、解答题延长线于点F.(3)若四边形ABCD的面积为32,AB=8,求点E到BC边的距离.【分析】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，三角形全等.(2)结合全等三角形的性质可知BE是线段AF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得AB=BF,(3)根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得S△ADE=S△FCE,AB=BF=8,SABE=SBEF,【详解】(1)证明：∵AD||BC,又∵点E为CD的中点，∵BE是线段AF的垂直平分线，即SBEF=16,设点E到BC边的距离为h,解得h=4,即点E到BC边的距离为4.12.已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，VABC三个顶点的坐标分别为A(-2,4)、B(-5,2)、C(-3,1).(1)画出(1)画出VABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁;若点G(m,n)是线段AB上的一点，则点G在线段A₁B₁上的对应点的坐标为_;(2)借助图中网格，请只用直尺(不含刻度)在y轴上找一点P,使得PAC的周长最短.【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性(1)先根据轴对称的性质找到对应点位置，再顺次连接，根据关于x轴对称的点的坐标特点可得其对称点(2)根据轴对称找最短路径，在网格中找到A点关于y轴的对称点Q,再连接CQ,与y轴交于P,此时AP+CP最小，则AP+CP+AC最小，即PAC的周长最小.【详解】(1)解：如图，△A₁B₁C₁即为所求作的三角形；∵点∵点G(m,n)是线段AB上的一点，∴点G在线段A₁B₁上的对应点的坐标为(m,-n).(2)解：如图，点P即为所求；4BB13.【问题背景】【问题探究】(1)试说明：AE=DF;①试判断VCDF的形状，并说明理由；②若∠B=30°,求∠DFB的度数.(2)①VCDF是等腰三角形，见解析；②105°【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和(1)求出BE=CF,证明△ABE≌△DCF(SAS)即可得出结论；(2)①等量代换求出CD=CF,可得VCDF是等腰三角形；②先求出∠C=∠B=30°,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CFD,然后根据平角的概念计算即可.【详解】(1)解：∵AB//CD,(2)①VCDF是等腰三角形.14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,D为BC的中点，DEIAB,垂足为E,过点B作BF//AC交DE的延长线于点F,连接CF,交AD于点G.(3)连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由.【分析】(1)先证明∠CBF=90°,∠ABC=45°,进一步证明∠BDE=∠BFD,再结合等腰三角形的性(3)先证明AD=AF,结合△ACD≌△CBF,可得AD=CF,可得AF=CF,从而可得结论.【详解】(1)证明：∵∠ACB=90°,BF//AC,(2)证明：由(1)可得∠CBF=90°,BD=BF.,,(3)解：△ACF为等腰三角形.理由：如图，连接AF,【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.15.如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD,连接CE,DE.图1图2(1)如图1,若E为AB的中点，求证：CE=DE.(2)如图2,若E不是AB的中点，过点E作EF//BC,交AC于点F.②判断CE与DE是否相等，并说明理由.【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系.(1)利用等边三角形ABC的性质，得到CA=CB,∠ABC=∠ACB=60°.由E为AB中点，结合等边三∠BDE=∠BED=30°.通过∠BDE=∠BCE,利用等角对等边证明CE=DE.(2)①依据EF//BC和VABC是等边三角形，根据平行线的性质，得出∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,再结合∠A=60°,根据等边三角形判定，证得△AEF是等边三角形.②先由VABC和△AEF是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出∠DBE=∠CFE=120°,BE=CF.结合AE=BD及△AEF是等边三角形得EF=BD.利用SAS证明△DBE≌△EFC,由全等三角形对应边相等，得出结论.【详解】(1)证明：∵ABC是等边三角形，,,,,能力提升进阶练A.半坡B.北客站龙首原D.延兴门【分析】【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键.【详解】解：选项A:原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意；选项C:原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意；选项D:原图是轴对称图形，故本选项符合题意.A.-1B.0C.1D.2024【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键.根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出a、b的值，再代入计算(a+b)²⁰24的值.【详解】解：∵点A(a,-3)与点B(-2,b)关于y轴对称，3.如图，在VABC中，∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,AD=6,则BC的长为()A.1B.2C.3【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到∠BDC=3最后由含30°角的直角三角形的性质即可求解.故选：C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.A.4B.3A.4B.3C.5D.√5【答案】B【分析】先根据三角形内角和及角平分线性质，求出相关角的度数，再推导角之间的关系，判断三角形的形状，进而得出PC的长度.本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键.【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=48,∠ACB=84,故选：B.为BC上一点且BE=EF,连接DF,HG垂直平分DE,下列四个结论：①△DHE是等腰A.1B.2C.3D.4∴△DEB≌DEF(ASA),综上可知正确的结论为①②③,共3个.6.如图，在VABC,∠C=90°,∠B=30°,DE垂直平分AB,分别交BC,AB于点D,E,【答案】3【答案】3【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明DA=DB=2,∠DAE=∠B=30°,求解∠CAD=30°,可得CD=1,从而可得答案.【详解】解：∵DE垂直平分AB,AD=2,故答案为：3.【答案】2【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键.先证明BCD≌ECD(ASA),得到BC=CE,由等角对等边判定AE=BE,则易求,即可解答.【详解】解：如图，故答案是：2.一角.如图②,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在0点相连并可绕0转动，点C∠EDB=∠AOB+∠DEC,从而可得x+2x=81°,最后进行计算即可解答.9.已知VABC是等腰三角形，AB=AC,点D在腰AC上，如果BD将VABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC