2026高考数学一轮复习-2.8函数的图象

第一章第8节函数的图象[课程标准要求]1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先,确定函数的定义域,化简函数解析式,讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.2.图象变换(1)平移变换(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.(2)对称变换①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.(3)翻折变换①y=f(x)y=|f(x)|;②y=f(x)y=f(|x|).(4)伸缩变换①y=f(x)y=

.②y=f(x)y=

.f(ax)af(x)1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)=-f(a-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.3.两个函数图象的对称性(相互对称)(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线(a+x)-(b-x)=0(即)对称;(2)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)函数y=|f(x)|为偶函数.(

)(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.(

)(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(

)(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(

)××××2.下列图象是函数y=的图象的是(

)解析:其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成,故C符合题意.故选C.√3.函数y=的图象大致是(

)√解析:y=>0,排除B,C;当x=0时,y=,当x=2时,y=3,A不满足,排除.故选D.4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=

.

解析:因为f(x)=e-x,所以g(x)=e-(x-1)=e-x+1.e-x+102提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一函数图象的作法[例1]作出下列函数的图象:(2)y=|log2(x+1)|;解:(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.(3)y=x2-2|x|-1.解析:(3)因为y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,如图③.作函数图象的一般方法直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象转化法含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响[针对训练]作出下列函数的图象:(2)y=|x+1|(x-3).解:(2)令f(x)=|x+1|(x-3),则f(x)=图象如图所示.考点二函数图象的识别[例2](1)(2024·天津模拟)函数f(x)=的图象大致是(

)√(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(

)√函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象.[针对训练](1)(2024·陕西咸阳模拟)函数f(x)=的大致图象为(

)√解析:(1)依题意可得f(x)=又e>1,则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合.故选B.(2)(2024·广西柳州模拟)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则下列可能是f(x)的解析式的是(

)A.f(x)=x+cosx B.f(x)=x-cosx√解析:(2)f(0)=1>0,故A选项错误;因为f(0)=-1<0,且f′(x)=1+sinx≥0,则f(x)在R上单调递增,故B选项正确;考点三函数图象的应用角度一利用函数的图象研究函数的性质[例3](多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称B.函数f(x)在(-∞,1)上单调递减C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称√√利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.角度二确定零点个数、解不等式[例4](1)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(

)A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)√解析:(1)函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集,即2x>x+1的解集,在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=x+1的图象(如图所示),结合图象易得2x>x+1的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.(2)已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是

.

解析:(2)方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.5(1)利用函数的图象研究方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.(2)利用函数的图象研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.角度三求参数的取值范围[例5](2024·江苏扬州模拟)已知f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个零点,则实数k的取值范围是

.

(-2,0)∪{2}解析:g(x)=f(x)-k有两个零点,即f(x)=k有两个根,即函数y=f(x)与y=k的图象有两个交点,如图所示,显然,当k=2或-2<k<0时,函数y=f(x)与y=k有两个交点,符合题意.利用函数图象求参数问题,一般先准确地作出函数图象,利用函数图象的直观性,结合其性质,求解参数问题.[针对训练](1)(角度一)(多选题)某同学在研究函数f(x)=(x∈R)时,给出下面几个结论,其中,正确的是(

)A.f(x)的图象关于点(-1,1)对称B.f(x)是单调函数C.f(x)的值域为(-1,1)D.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点√√√解析:(1)作出y=f(x)的图象,如图所示.对于A,f(x)的图象关于(0,0)对称,不关于点(-1,1)对称,故A错误;对于B,f(x)是R上的增函数,故B正确;对于C,由图象知,f(x)的值域为(-1,1),故C正确;对于D,令g(x)=f(x)-x=0,得

=0,即x·=0,解得x=0,从而函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点,故D正确.故选BCD.(2)(角度二)(2024·海南海口模拟)函数f(x)=ln(x+3)的图象与函数g(x)=|x2-2|的图象的交点个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.0√如图,由图象可知它们有4个交点.故选C.(3)(角度三)(2024·北京统考模拟)设c∈R,函数f(x)=若f