2026高考数学一轮复习-10.4随机事件、频率与概率【课件】

第4节随机事件、频率与概率[课程标准要求]1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.样本空间和随机事件随机现象样本点和有限样本空间随机试验我们把对

的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示有限样本空间我们把随机试验E的每个可能的

称为样本点,全体样本点的

称为试验E的样本空间.一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为

基本结果集合有限样本空间随机事件定义我们将样本空间Ω的

称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为

表示大写字母A,B,C,…随机事件的极端情形必然事件、不可能事件子集基本事件2.事件之间的关系与运算项目定义表示法图示包含关系一般地,若事件A发生,则事件B

,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

(或A⊆B)一定发生B⊇A并事件(或和事件)一般地,事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

(或A+B)交事件(或积事件)一般地,事件A与事件B同时发生,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

(或AB)A∪BA∩B互斥(或互不相容)一般地,如果事件A与事件B

,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B=

互为对立一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中

,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为

A∩B=

,且A∪B=

不能同时发生有且仅有一个发生Ω(1)互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.(2)从集合的角度理解互斥事件和对立事件①几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.②事件A的对立事件

所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.3.频率与概率频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐

事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)稳定于概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的变化而变化,而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(

)(3)事件A与B的和事件包含的样本点个数一定大于事件A包含的样本点个数.(

)(4)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.(

)×√××2.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②买一张电影票,座位号是奇数;③任取两个正整数,其和大于1;④长分别为3cm,5cm,9cm的三条线段能围成一个三角形.其中随机事件的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4√解析:①②为随机事件;③是必然事件;④为不可能事件.故选B.3.(多选题)(必修第二册P235练习T1改编)某人在打靶中,连续射击3次,至多有一次中靶的互斥不对立事件是(

)A.至少有一次中靶 B.三次都中靶C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶√解析:射击3次中靶的次数可能是0,1,2,3,至多一次中靶,即中靶次数为0或1,它的互斥事件为:三次都中靶,恰有两次中靶,至少两次中靶,它的对立事件为:至少两次中靶.故选BC.√4.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次,其中有48次正面朝上,52次反面朝上,则掷一次硬币正面朝上的概率为

.0.5解析:掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一随机事件与样本空间[例1]在某场足球赛上,a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛,在第一轮的两场比赛中,a对b,c对d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛,这两场比赛的负者比赛,决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b,c胜d,然后a胜c,b胜d).(1)写出比赛所有可能的结果构成的样本空间;解:(1)第一轮的两场比赛中,当a,c胜出时,比赛最终可能结果为:acbd,acdb,cabd,cadb;第一轮的两场比赛中,当a,d胜出时,比赛最终可能结果为:adbc,adcb,dabc,dacb;第一轮的两场比赛中,当b,c胜出时,比赛最终可能结果为:bcad,bcda,cbad,cbda;第一轮的两场比赛中,当b,d胜出时,比赛最终可能结果为:bdac,bdca,dbac,dbca.则比赛所有可能的结果构成的样本空间为Ω={acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb,bcad,bcda,cbad,cbda,bdac,bdca,dbac,dbca}.(2)设事件A表示“a队获得冠军”,写出A包含的所有可能结果;解:(2)A包含的所有可能结果为:acbd,acdb,adbc,adcb.(3)设事件B表示“a队进入冠亚军决赛”,写出B包含的所有可能结果.解:(3)B包含的所有可能结果为:acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb.确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.[针对训练]甲、乙两人进行猜拳游戏,分别出“锤”“剪”“布”三种手势,其中锤赢剪、剪赢布、布赢锤.(1)写出猜拳游戏的样本空间;解:(1)甲出手势x,乙出手势y,记为(x,y),则样本空间Ω={(锤,锤),(锤,剪),(锤,布),(剪,锤),(剪,剪),(剪,布),(布,锤),(布,剪),(布,布)}.(2)用集合表示猜拳游戏中“甲赢”这个事件;解:(2)“甲赢”这个事件表示为{(锤,剪),(剪,布),(布,锤)}.(3)用集合表示猜拳游戏中“平局”这个事件.解:(3)“平局”这个事件表示为{(锤,锤),(剪,剪),(布,布)}.考点二事件的关系及运算[例2]一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;解:(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.解:(3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.(1)互斥事件、对立事件的判定方法:①利用基本概念;②利用集合的观点.(2)互斥事件、对立事件两者的区别及联系:两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:①若事件A发生,则事件B就不发生;②若事件B发生,则事件A就不发生;③事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.[针对训练](1)(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,定义以下事件:D1=“点数大于2”,D2=“点数不大于2”,D3=“点数大于3”,D4=“点数为4”,则下列结论正确的是(

)A.D3⊆D1 B.D4⊆D3C.D1∪D3=D3 D.D1∩D2=√解析:(1)D1={3,4,5,6},D2={1,2},D3={4,5,6},D4={4},根据集合运算,显然A,B,D正确.故选ABD.√√(2)(多选题)(2024·福建泉州模拟)从5名女生和4名男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有1名女生”,B=“至少有1名男生”,C=“恰有1名男生”,D=“两个人都是女生”,E=“恰有1名女生”,下列结论正确的是(

)A.C=E B.A=BC.D∩E≠ D.B与D互为对立事件√√解析:(2)对于A选项,事件C,E均表示“选出的两个人是1名男生和1名女生”,则C=E,A选项正确;对于B选项,事件A表示“选出的两个人是1名男生和1名女生或者2名女生”,事件B表示“选出的两个人是1名男生和1名女生或者2名男生”,则A≠B,B选项错误;考点三随机事件的频率与概率[例3]某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如表所示:投篮次数8101520304050进球次数681217253239进球频率(1)计算表中进球的频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?解:(2)由于进球频率都在0.8左右摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.8.(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗?解:(3)不一定,一名运动员投篮进球的概率是0.8,表示每次投篮成功的可能性,即当投篮次数很多时,他平均每10次投篮可能会投中8次.(1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐稳定于某一个常数,这个常数就是概率.[针对训练](多选题)(2024·广东深圳模拟)某超市随机选取1000名顾客,记录了他