2024-2025学年江西省九江市某中学九年级（上）期末数学试卷

2024-2025学年江西省九江市同文中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分

1.（3分）如图所示的六角螺栓，其左视图是（）

主视方向

2.（3分）下列是一元二次方程的是（）

A.x3-X-1=（）B.2x-l=5C.D.，-3x+l=（）

x

3.（3分）如图，在Rt△48c中，ZC=90°,AB=5,则sinB的值是（）

3545

4.（3分）已知反比例函数y=四±L的图象的两支分别在第二、四象限内，那么〃的取值范围是（）

x

A.k>-工B.%>工C.AV-1D.Avl

3333

5.（3分）将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（）

A.尸（x-3）2+2B.y=（x+3）2+2

C.y=（x-3）2-2D.y=（x+3）2-2

6.（3分）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，ZC=90°,8c=3米，用这批不锈钢

片裁出面积最大的正方形不锈钢片（）

第1页（共29页）

C

AB

A.也B.毁C.丝D.史

371778

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.（3分）已知点P（2,〃）在反比例函数y=0勺图象上.

x

8.（3分）如图，点彳在双曲线片工上，点8在双曲线y=S上，C、力在x轴上，若四边形力8c。为矩

XX

形.

9.（3分）如图，矩形/18C。的对角线ZC、8。相交于点。，CE//BD,若48=4,8c=3

10.（3分）已知关于x的一元二次方程f・3x+l=0有两个不相等的实数根xi,X2,则x?+xW的值

%1x2

是.

11.（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多

名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形，则线段AB的长为cm

12.（3分）已知如图，矩形力4C。中，E、/分别是边AC、C。上的点，力。=8,CF=3,则8E的长

第2页（共29页）

为_______________________.

三、（本大题共5小题，每题6分，共30分）

13.（6分）（1）解方程：A7+4A-5=0；

⑵兀-1）。-2cos45°+（/）"

14.（6分）如图，在口/4CO中，两条对角线交于点O

（1）求证：四边形48CO是菱形；

（2）若O/=3,。。=4,求四边形48C。的周长.

15.（6分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，请用无刻度的直尺（保留作图痕迹〕

（1）如图1,请在4c上找一点M使MN_L/1C

（2）如图2,请在线段4C上找出点P,使得MP平分的周长.

图1图2

16.（6分）江西省将于2024年整体实施高考综合改革.其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”

模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”

为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门.

（1）首选科目选择物理的概率是;

（2）某同学在选择再选科目时，求选中化学和地理的概率.（请用画树状图或列表的方法表示）

第3页（共29页）

17.（6分）一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离。=0.72〃?，弧的中点到弧所对弦

的距离力=0.25〃?.如果需要加工与原来大小相同的车轮（结果精确到0.001〃?）

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

=?_的图象相交于力、4两点，其中点力的

18.（8分）如图，一次函数j，=A|x+8的图象与反比例函数y

坐标为(-1,4)(4,〃).

（1）根据图象，直接写出满足好叶力＞丝的工的取值范围;

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点尸在线段48上，且Sy”：S^BOP=1：2,求点P的坐标.

19.（8分）某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，阴影部分设

计为停车位，其余部分是等宽的通道

（1）求通道的宽是多少米？

（2）据调查分析•，停车场多余60个车位可以对外出相，每个车位的月租金为200元时，就会少租出1

个车位；现在要求既能优惠大众，应该月租金定价多少？

20.（8分）如图1,是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利.某校数学社团的同学们欲测量嗒的高度.如

图2,从尸处测得塔的最高点A的仰角为42°,测出DE=BC=23m,CD=2oMm,台阶的坡角为30°,

第4页（共29页）

塔身可抽象成线段48.

（1）求测角仪灯与塔身力8的水平距离；

（2）求塔身力4的高度.（结果精确到0.1）

（参考数据：sin420比0.67,cos42°~0.74,tan420%0.90，«%L73）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.（9分）如图，已知二次函数y="2_2ar+3（。#0）的图象与戈轴交于力、B两点、,交y轴于点C

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点G是直线8c上方抛物线上的动点，连接8C、GC、GB,求△GBC面积的最大值;

（3）将直线力。绕点C逆时针旋转90°,交抛物线于点。，求。点坐标.

22.（9分）数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形4BCD,点E在边4B上，点、F在边BC

上，过点4作4G_LE/于点G,分别交线段/C,点N,且BM=EF.

各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程：

第5页（共29页）

图①

（1）“智慧小组”提出问题:

三条线段8G、GF、GE的尺度间存在某种等量关系,请你宜.接写出这种关系;

（2）“善思小组”提出问题:

求证：AE=BF；

（3）“创新小组”在探究中受到启发，提出问题:

如图②.室2.求tanNCBN的值.

3

六、（本大题共12分）

23.（12分）如图，抛物线y=”（x+4）（x-2）（aWO）与x轴交于力（点力在点"的左边），与y轴交于

点C(0,4).

（1）直接写出48两点的坐标，并求出抛物线的表达式；

（2）如图，点E是线段48之间的一个动点，过点£作x轴的垂线分别交抛物线于点。，E,F三个点

中的•个点平分另外两个点构成的线段时，求△QZC的面积；

（3）若点。是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平

第6页（共29页）

2024-2025学年江西省九江市同文中学九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案DDDCDC

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分

1.（3分）如图所示的六角螺栓，其左视图是（)

主视方向

【解答】解.：从左边看，应为

故选：D.

2.（3分）下列是一元二次方程的是（)

A.x3-X-1=0B.2x-1=5C.x-Z=5D.x2-3x+l=0

X

【解答】解：A：1=6未知数的最高次数是3,不符合题意;

B：2x-4=5未知数的最高次数是1,不符合题意;

C：x-生=5是分式方程;

。：V-Gx+lnO符合一元二次方程的定义:

第7页（共29页）

故选：D.

3.（3分）如图，在RtZVIB。中，ZC=90a,48=5,则sin6的值是（）

【解答】解：在RtA48C中，疝18=至=生，

AB5

故选：D.

4.（3分）已知反比例函数2=丝土的图象的两支分别在第二、四象限内，那么左的取值范围是（）

x

A.k>-XB.k>LC.k<-XD.k<L

3333

【解答】解：•・•函数了=生乜的图象分别位于第二，

x

解得

3

故选：C.

5.（3分）将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（）

A.y=（x-3）2+2B.y=（x+3）2+2

C.y=（x-3）2_2D.y=（x+3）2-2

【解答】解：将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位2・2,

故选：。.

6.（3分）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，ZC=90°,8C=3米，用这批不锈钢

片裁出面积最大的正方形不锈钢片（）

D-f

【解答】解：如图，过点。作C〃_L/I8于〃,

第8页（共29页）

・，S4/f8c=/AC・BC二B，CH,

.cc-ALBC二12

AB_"T'

••四边形/7）fG是正方形,

\FG//DE,FD//EG,

设尸G=GE=x,CG=y,

.•.£!，=迎，

AB83

*：GE//CH,

・GE二BG二3-y

联立①②可得，x=@2,

37

如图，设。E=OC=x,

■:DE//BC、

:.△AEDs'BC,

•••D—E一・—AD'9

BCAC

.•.工A,

37

解得工=迈，

7

•-12>60.

737,

即面积最大的正方形不锈钢片的边长为工2,

5

败选：c.

第9页（共29页）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.（3分）已知点P（2,〃）在反比例函数y二也加图象上匚

x

【解答】解：将点P（2,〃）代入丁=辿，

x

.10

2

・・・〃=2,

故答案为：5.

8.（3分）如图，点/在双曲线片工上，点8在双曲线y=g上，C、D在x轴上，若四边形力8CO为矩

XX

形2.

【解答】解：延长84交y轴于£

,・・4?〃x轴，

:.AE垂直于y轴，

•・•点力在双曲线y—1上，

x

J四边形AEOD的面积为1,

•・•点8在双曲线y=色上，且4?〃x轴,

x

・•・四边形BEOC的面积为3,

・•・矩形ABCD的面积为3-8=2.

故答案为：2.

9.（3分）如图，矩形48C力的对角线力C、8。相交于点O,CE//BD,若彳8=4,8c=310

第10页（共29页）

【解答】解：*：CE//BD,DE//AC,

・・・四边形CODE是平行四边形，

•・•四边形/8CO是矩形，48=4,

."C=3〃B2+BC7H42+52=5,OB=OD,

：.OD=OC=^-AC=^

24

・・・四边形CODE是菱形，

J四边形CODE的周长为=4OC=4X£=1（）.

2

故答案为：10.

10.（3分）已知关于工的•元二次方程«・3.计1=0有两个不相等的实数根X“H，则的值是7

x1x2

【解答】解：•・”],也是方程f-3x+l=5的两个实数根，

.*.X1+X2=4,xrx2=6,

2

X21+X7（XI+X4）2-lt5\Y2=38-2Xl=2.

故答案为：7.

11.（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蛭巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多

名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形，则线段的长为

【解答】解：正六边形的每一个内角为：180°-迦二=120°,

6

连接/C,BC,垂足为，

第11页（共29页）

A

由题意得：OF=OG=OH=Ol=OJ=OK,

，-*ZF0G=ZG0H=ZH0I=ZI0J=ZJ0K=ZK0F2^——60°，

6

•••△EOG,△GO”,△〃〃，aKO户都是等边三角形，

•・,正六边形的边长为8cm,

OF=OG=OH=OI=OJ=OK=1cm，

•»AC=5。??，

•:BD=CD,N8OC=360°-120°-120°=120°,

:・/DBC=/DCB=30°,

AZACB=W,

：.ACLBC.

9：DEIBC,

:・/BED=90°,

BE=BD・cosZDBCcm

・，・BCcm，

，AB^/BC4+AC2=2^8cm，

故答案为：2".

12.（3分）已知如图，矩形月8CZ）中，E、尸分别是边8C、CQ上的点，AD=8,CF=3,则8E的长为2

或6或4生.

7~

第12页（共29页）

【解答】解：设8£=x,

•・•四边形/次》是矩形，

/.BC=AD=S,N6=NC=90°,

:・CE=BC-BE=8-x,

若△ABES^ECF,则岖二里

ECCF

gpl=8zx,

x3

A?-8x+12=0,

解得：x=8或x=6,

若△ABEsBCE,则延二里

FCEC

即生=-^,

58-x

即32-4.v=6.r,

解得：尸4生，

5

:・BE的长为2或6或6生

7

故答案为：4或6或4工.

三、（本大题共5小题，每题6分，共30分）

13.（6分）（1）解方程：X2+4X-5=0；

⑵近§-（兀-1）。-2cos45°+（y）-1-

【解答】解：（1）X2+4X-4=0,

（A-+5）（X-5）=0,

x+5=6,x-1=0,

第13页（共29页）

X7=-5,X2=5；

⑵后-（兀-1）。-3cos450+（y）-4

=3芯-5-2X®

7

=3^2-4-A/2

=2A/2+1.

14.（6分）如图，在口力8。。中，两条对角线交于点。

（1）求证：四边形/4CQ是菱形；

（2）若0/=3,00=4,求四边形的周长.

【解答】（1）证明：•・•四边形/8CO是平行四边形，

：.AB//CD,

：・/BAC=NDCA.

•:AC平分/BAD,

:・NBAC=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：,AD=CD,

・•・四边形力8C。是菱形.

（2）解：四边形48CQ是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ACLBD.,

:0/1=3,00=4,

•二ADWOA6K）D2=5，

，四边形ABCD的周长=64）=20.

15.（6分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，请用无刻度的直尺（保留作图痕迹）

（1）如图I,请在力。上找一点M使MN_L力C；

（2）如图2,请在线段4C上找出点P,使得M尸平分△48C的周长.

第14页（共29页）

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图1图2

【解答】解：（1）如图1中，线段即为所求；

图1图2

（2）如图2中，点尸即为所求.

16.（6分）江西省将于2024年整体实施高考综合改革.其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”

模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”

为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门.

（1）首选科目选择物理的概率是;

2

（2）某同学在选择再选科目时，求选中化学和地理的概率.（请用画树状图或列表的方法表示）

【解答】解：（1）•・•首选科目有物理、历史2门科目，

••・选科目选择物理的概率是工

5

故答案为：1；

2

（2）再选科目有思想政治、地理、生物8门科目分别记为：S,D,H,s

第15页（共29页）

开始

第一科SDHS

△/N/K/K

第二科DHsSHsSDsSDH

一共有12种等可能的情况，其中选中化学和地理有2种情况,

:・p（选中化学和地理）=2=3.

126

17.（6分）•个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离a=0.72m,弧的中点到弧所对弦

的距离A=0.25/〃.如果需要加工与原来大小相同的车轮（结果精确到（）.001〃?）

【解答】解：由垂径定理推论可得：ZOCA=90°,

设圆的半径为八则CO=L0.25,

OC1+ACA=AO1,

即0.363+（r-0.25）2=r6.

解得：r=0.3842^0.384.

答：这个车轮的半径为3.384用.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18,（8分）如图，一次函数y=Aix+b的图象与反比例函数卜=丝的图象相交于力、8两点，其中点力的

x

坐标为（-1,4）（4,〃）.

（1）根据图象，直接写出满足例/力＞丝的x的取值范围；

X

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段上，且以4乃：S&?op=l：2,求点P的坐标.

第16页（共29页）

【解答】解：(1〉•・•点”的坐标为(-1,4),〃).

由图象可得：依什/)>±2的x的取值范围是xV-1或7VXV4；

X

(2)•・,反比例函数歹=丝的图象过点4(-2,8(4,

x

，“2=-3X4=-4,42=4〃,

**.n~-I,

(6,-1),

・••一次函数y=hx+〃的图象过点/,点、B,

-kg+b=4

*I4k8+b=-f

解得:h=-8,b=3,

・•・一次函数的解析式)，=-AH3,反比例函数的解析式为y=-&；

(3)设直线与y轴的交点为C,

AC(0,3),

••&noc=gx3X2=3，

22

:.S^AOB=SAAOC^SABOC=日义3X3+JX

22

■:S“OP：S^BOP=I：6,

•・・S△初=应乂1=互，

272

:♦SyocVSYOP，^△COP=—■—=1»

24

.••1XX3・XP=1,

5

第17页(共29页)

•・•点P在线段4B上,

:.pa生）.

19.（8分）某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，阴影部分设

计为停车位，其余部分是等宽的通道

（1）求通道的宽是多少米？

（2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时，就会少租出I

个车位；现在要求既能优惠大众，应该月租金定价多少？

，每一层的停车位可合成长为（50-2、）米，宽为（20-2S米的长方形，

停车位面积为616平方米，

即（50-8.v）（20-2.V）=616,

整理得：35田•96=5,

解得：巾=3,月=32（不符合题意，舍去）.

答：通道的宽是3米：

（2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+>0元（60一工）,

第18页（共29页）

依题意得：(200+y)(60=)=14560，

整理得：y2-40()v+25600=5,

解得：yi=8O,”=320,

又•・•要优惠大众，

••y=80,

此时月租金为：200+80=28()(元).

答：应该月租金定价280元.

20.(8分)如图1,是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利.某校数学社团的同学们欲测量省的高度.如

图2,从尸处测得塔的最高点A的仰角为42°,测出DE=BC=23m,C7)=2(h/§〃?，台阶的坡角为30°,

塔身可抽象成线段48.

(1)求测角仪EE与塔身力8的水平距离：

(2)求塔身/加的高度.(结果精确到0.1)

(参考数据：sin420*0.67,cos420-0.74,tan420-0.90,后473)

图1图2

【解答】解：(1)如图2,延长48交的延长线于点G,过点。作CMJ_QG于点M,则GM=8C

=23m，BG=CM,

由题意可知，ZCDM=30°

：.CM=^CD=\O43,

2

ADM=7CD7-CM2=7(2073)4-(lCh/3)2=30

••・FH=DE+DM+BC=23+30+23=76(),

答：测角仪EF与塔身AB的水平距离为76m

(2)由(1)可知，FH=76m,

第19页(共29页)

由题意可知，GH=EF=2.5m43ni,^AFG=42°,

VtanZAFH=^=tan420g5.90,

FH

・・・4H%0.90EH=0.90X76=68.5(w),

：,AB=AH+GH-BG^6S.4+2.7-loV3^53.6(w),

答：塔身44的高度约为53.3〃?.

A

图2

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)如图，已知二次函数^=奴2-2依+3(aWO)的图象与工轴交于力、4两点，交y轴于点C

(1)求该二次函数的表达式；

(2)点G是直线8c上方抛物线上的动点，连接8C、GC、GB,求△G8C面积的最大值;

(3)将直线力。绕点C逆时针旋转90°,交抛物线于点0,求。点坐标.

【解答】解：(1)已知二次函数y=ad-2aL4(〃W0)的图象与x轴交于4、8两点，

当x=0时，y=7,

：.C(0,3),

・・・0C=5,

第20页(共29页)

V0C=30A,

：,OA=\,

：.A(-8,0),

把点4的坐标代入-4G+3(”W0),得:

a+3a+3=().

解得a=-2,

，二次函数解析式为：y=~x2+2x+4i

(2)已知二次函数y=-/+2v+6的图象与x轴交于力、8两点,

令y=0,-X2+3X+3=O,

解得％7=-1，X2=7,

:.B(3,0),

：・OB=5,

过点G作GEJ_x轴于点E,如图1,

设G(x,-?+7x+3),WOOE=x,GE=-?+3x+3,

又・：SABGC=S梯形COE/SABGE-S^BOC>

'S/kKc=十(GEOC)・OE+；BE-GE-yOB・0C

=7-(-X2+2X+4+3)*X-4(3-X)(-X2+8X+3)-^X3X3

675

-224A

22

母管呼

•,咯<0*

D

•••△G8c面积有最大值，最大值为空；

8

第21页(共29页)

(3)设C。的延长线交x轴于点P,如图4,

・・・/4CO+NPCO=90°,

又•・・NO4C+NXCO=90°,

/.ZO/1C-N(兀/，

又♦••NnOC=NCOP=90°,

:•△ACOsACPO,

•.•A—O=C-O-，

COPO

•.•1――二-7-，

3P0

，00=9,

:.P(9,5),

设直线PC的解析式为y=Ax+6把点C

fb=3

l9k+b=3

解得,

/.直线PC的解析式为y=-lx+&

3

y=-x+2

联立.方程组得0

0

ly=-x+2x+8

_2

x1=0、2而

解得或

20,

丫1

第22页(共29页)

VC(0,3),

22.(9分)数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形4BCD,点E在边上，点F在边BC

上，过点8作8G_L£尸于点G,分别交线段4C,点M且BM=EF.

各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程：

图①图②

(1)“智慧小组”提出问题：

三条线段BG、GF、GE的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系;

(2)“善思小组”提出问题：

求证：AE=BF',

(3)“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：

如图②，若险=2,求tan/CBN的值.

MN3

【解答】(1)解：・・・5G_LEE

:・/BGF=90°,

：・NGBF+/FBG=90°,

•・•四边形/4c。是正方形，

：.ACBA=W,

；・/FBG+NGBE=90°,

:・/GFB=NGBE,

:•丛BGFs丛EGB,

•・•—BG二FG,

EGBG

:.BG?=GF・GE；

(2)证明：过点M作知从L8C于点〃，

第23页(共29页)

图①

由（1）知/MBH=/BEF,

4MHB=/FBE,BM=EF,

:・4BMH冬XEFB（AAS）,

:・BH=BE,HM=BF,

•・•四边形川?CO是正方形，

・・・N4CB=45°,BA=BC,

:・NMCH=NCMH=45°,

:・CH=HM,

:・AE=CH=BF；

（3）解：过点M作MHLBC于点、H,MK上CD于点、K,

图②

由（2）^ZACH=ZACK=45°,ZHCK=90a,

••・四边形CI/MK是正方形，

:・CH=KM=BF,KM"BC,

・•・NKMN=/FBG,

•:/BGF=/MKN=90°,

:•丛BGFs^MKN,

・BF_BG_

..而一KM‘

第24页（共29页）

•・•BF•二BG，

mBF

设8G=2x,MN=8x,

•・•BF・l=2x，

3xBF

:・BF=^x,

FG=7BF2-BG2=叮x，

・，・