2025-2026学年八年级数学上册《一次函数》十大题型（含解析）

一次函数（4大考点+10大题型+强化训练）

教学目标、教学■难点

1.理解函数、一次函数及正比例函数的概念，能辨别其关系，会确定简单实际问题中

自变量的取值范闱并求函数值。

2,掌握一次函数表达式产质awo）,能通过已知条件确定表达式，会绘制其图象并

教学目标

探索-b对图象的影响。

3.能用一次函数解决简单实际问题，体会数形结合与模型思想，发展应用意识与几何

直观。

1重.点

（1）核心概念与表达式：明确一次函数和正比例函数的定义、关系，熟练用待定系数

法求表达式。

（2）图象性质与应用：掌握一次函数图象特征及A、人的意义，能运用其解决实际问

教学重难点题与基础综合题。

2难.点

（1）性质理解：难以深度关联一次函数表达式中鼠〃的取值与图象变化趋势、函数

增减性的关系。

（2）建模应用：难以将分段计费、方案选择等实际问题抽象为一次函数模型并求解。

知识点01函数的概念

在•个变化过程中，有两个变量［和卜如果对于x的每•个确定的值，），都有唯•确定的值与之对应，那

么就说y是x的函数，x是自变量。

知识点02一次函数的表达式

形如尸质+匕（k,。为常数，&X0）的函数叫做一次函数。当6=0时，y=kx（A^O）叫做正比例函数。

知识点03一次函数的图象与性质

一次函数产依+〃的图象是一条直线，可通过两点法（如（（）⑼和（-50））画出。当Q0时，），随其的增大而

增大；当上0时，），随x的增大而减小。力决定直线与），轴的交点（0力）。

知识点04一次函数的实际应用

利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合

图象或性质求解。

型

题型01函数概念的理解

【典例I】（24-25八年级下•湖南长沙•期末）下列式子中），不是X的函数的是（）

AD2=3x

.y=5-4xB.,=炉C.y=J2x^\.y~

【答案】D

【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变最x和），，如果给定了•个x值，相应地就

确定唯一的一个y值，那么我们称），是x的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定

义是解此题的关键.

【详解】解：A、对于,，二5-4%，给定•个*的值，计算5-4x能得到唯一确定的y值，所以），是”的函数，

不符合题意；

B、对于），=/,任意给定一个x的值，f的结果唯一确定，y有唯一值对应，所以y是x的函数，不符合

题意：

C、对于丁二后打，在2x+lN0（即出手的范围内，给定一个”的值，2x+l能得出唯一确定的y值，

所以y是x的函数，不符合题意；

D、对于产二凸工，当x取一个非正数的值时（因为右边-3x>0）,比如x=-1,则J=3,y=士、*即一

个“值对应两个y值，不满足函数定义中有唯•确定值对应”口勺要求，所以y不是x的函数，符合题意.

故选：D.

【变式1】（24-25八年级下•四川内江・期末）下列各图中表示尸是x的函数的是（）

【分析】本题主要考查函数的概念，由题意y是x的函数依据函数的概念可知对于x的每•个确定的值，J

都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可.

【详解】解：根据函数的定义：在个变化的过程中有两个变量x和），，对丁x每个确定的值，），都有唯

•确定的值与其对应，那么就说），是”的函数，因此D选项中的图象表示），是x的函数，其他三个选项均不

表示），是x的函数.

故选：D.

【变式2】（24-25八年级下•湖南长沙•期末）下列曲线中.表示），是x的函数的是（）

A.

【答案】c7

【分析1s姻如函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键.

根据函数的我也缪立一个变化过程中有两个变量■和y,并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一

的值与它对应J贝赢;是x的函教，其中x是自变量''逐项判断即可.

【详解】解：根据函数的定义，选项C中的图象表示是其的函数.

故选：C

【变式3】（24-25八年级下•湖北武汉・期末）下列关于尤”，的图表或图象能表示），是x的函数的个数是（）

【答案】C

【分析】本题考查函数的定义，根据函数的对应关系为每一个确定的x的值，都有唯一确定的y值与之对应，

即对应关系为一对一或多对一，不能是一对多，据此进行判断即可。

【详解】解：由图可知：（1）（2）（5）能表示），是x的函数，G）（4）存在一个x的值对应多个y值，不能

表示），是x的函数；

故选C

题型02从函数图象中获取信息

【典例2]（24-25八年级下•黑龙江佳木斯・期末）将•盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱

形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度〃（单位:cm）与注水时

间/（单位:min）的函数图象大致为（）

【答案】B

【分析】本题考查了函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图像得到在自变量增大的

时侯，函数是增大、减小、还是不变是解题的关键.

分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与

时间的关系即可得到答案.

【详解】解：圆柱形小水杯盛有部分水,故开始时小水杯水面的高度〃（单位:cm）大于0,故排除AD；

将•盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没书"水的大圆柱形容器内现用•个注水管沿大容器内壁匀速注水，

则小水杯水面的高度/，（cm）不变，；

当水面高度和小水杯一样高时，继续注水，水流入小水杯，小水杯水面的高度力（cm）开始升高；

当小水杯注满水时，大圆柱形容器水面的高度继续升高，但此时小水杯水面的高度以cm）已达最大值，故不

变，排除C,

故选：B.

【变式1］（24-25八年级下•河北石家庄・期末）如图1,点G为3C边的中点，点”在AF上，动点P以每

秒2cm的速度沿路线GTC—QTETJH运动，到点”停止，相应的必引＞的面积）（cnf）关于运动时间

/（s）的函数图象如图2所示，若=6cm,则下列结论正确为（）

图I图2

①到1中8c长8cm；

②绍1中OE的长是6cm；

③国2中点M表示4时），值为24cm2；

④组2中点N表示12s时），值为15cnF

A.①④B.②③C.①②@D.①②④

【答案】C

【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关健是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函

数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得

到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小.

【详解】解：由图象可得：0〜2秒，点P在GC上运动，则GC=2x2=4cm,

•••点G&BC中点，

•••BC=2GC=8cm,故①正确.

由图象可得：24秒，点尸在8上运动，则笫4秒时，），=£八卬=Jx6x8=24（cm［，故③E确.

由图象可得：4-7秒，点P在。石上运动，则。£=2x3=6cm.故②正确.

由图象可得：当第12秒时，点P在“处，

-：EF=AB-CD=6-4=2cm，

.•.AA/=8+6-2x（12-7-l）=6.

；

二）'=SnABI>=1x6x6=18（cm）故@不正确.

•••结论正确为①②③.

故选：C.

【变式2】（24-25八年级下•天津•期末）小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园.爸爸先出发，一段时间后

小明再出发，设爸爸骑行的时间为x（h）,两人离家的距离），（km）与x的关系如图①所示，两人之间的

距离s与x的关系如图②所示.结合图象信息下列结论正确的有（）个

①②

①爸爸的速度为12km/h

②公园与家的距离为30km

③小明到公园时，爸爸走了21km

④爸爸出发：h或2h后两人相距3.5km

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查函数图象，一元一次方程的应用，根据函数图象所提供的信息，分别对四个结论进行分

析判断.根据图②可知，爸爸先出发0.25h后，小明才出发，此时两人相距3km,即可得出爸爸的速度；由

图①可知，爸爸骑行2.25h到达公园，根据路程等于速度乘以时间，爸爸的速度为I2km/h,即可求出公园

与家的距离;由图（3）可知，小明骑行1.75-（）.25=1.511到达公园，小明的速度为27+1.5=181<111面.小明到公

园时，爸爸骑行的时间为L75h,即可求出爸爸走的路程；当爸爸出发后两人相距3.5km时、分小明出发前

77

和出发后讨论：小明出发前：两人相距3.5km,此时爸爸骑行的时间为3.5・12=小.根据0.25<:，可知

2424

不符合题意；小明出发后：分为相遇前和相遇后相距3.5km两种情况，得出18（x・0.25）・12x=3.5或

12Z-18（A-0.25）=3.5：当小明已经到J‘公园，爸爸还在路匕他们相距3.5km时，根据题意可得：

⑵=27・3.5,求解可得得出答案.

【详解】解：根据图②可知，爸爸先出发0.25h后，小明才出发，此时两人相距3km,爸爸的速度为：

3+0.25=12km/h,所以①正确.

由图①可知，爸爸骑行2.25h到达公园，根据路程等于速度乘以时间，爸爸的速度为12km/h,则公园与家

的距离为：12x2.25=27km,所以②错误.

由图①可知，小明骑行1.75・0.25=1.5h到达公园，小明的速度为27+1.5=18km/h.

小明到公园时，爸爸骑行的时间为L75h,爸爸走的路程为：12x1.75=21km,所以③正确.

当爸爸出发后两人相距3.5km时，分情况讨论：

小明出发前：两人相距3.5km,此时爸爸骑行的时间为3.5+12=口>.

24

因为0.25<—,

24

所以小明出发前，爸爸出发7h后两人相距3.5km,不符合题意:

24

小明出发后：分为相遇前和相遇后相距3.5km两种情况，

设爸爸出发xh后两人相距3.5km，小明骑行的时间为（r-0.25）h.

根据路程关系可列方程18（x-0.25）-⑵=3.5或⑵-18（10.25）=3.5,

解得a=3h曲=।h:不符合题意）.

当小明已经到了公园，爸爸还在路上，他们相距3.5km时，根据题意可得：12x=27-3.5,

解得x*卫

所以爸爸出发或47h后两人相距3.5km,故④正确.

324

综上，①③④正确，

故选：C.

【变式3］（24-25八年级下•山西临汾•期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.某餐厅的机

器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出

发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为x（s）,聪聪和慧慈行走的路程分别为y（cm）,

为（cm）,y,乃关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（）.

A.聪聪的速度为10cm/sB.慧慧比聪聪晚出发15s

C.客人距离厨房门口400cmD.从慧慧出发直至送餐结束，共需16s

【答案】C

【分析】本题考查了函数图象的分析.

根据图象结合速度、路程、时间之间的关系，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、聪聪的速度为Q1O+31=IOcm/9,故A正确，不符合题意：

B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发15s,故B正确，不符合题意；

C、慧慧一开始的速度为：30^（17-15）=15cm/s,当速度提高到原来的2倍时，为30cm/s,则后一段行走

了30x（31-17）=420cm,则客人距离厨房门口为420+30=450cm,故C错误，不符合题意，

D、从慧慧出发直至送餐结束，共需31-15=16s,故D正确，不符合题意;

故选：C.

题型03一次函数的识别

【典例3]（24-25八年级下•上海浦东新•期末）下列四个函数中属于一次函数的是（）

A.V=-（1*0）B.]rC.y=JT+1D.y=1

【答案】BT

【分析】本题考查的是•次函数的定义，掌握定义是解题关键.即一般地，形如），二履+人（〃二0）,b为

常数，则），是”的一次函数，由一次函数的定义可得答案.

【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意；

JK

B、是一次函数，故符合题意；

C、+1不是一次函数，故不符合题意；

D、y二l不是一次函数，故不符合题意；

故选:B.

【变式1】（24-25八年级上•贵州贵阳•期末）下列函数关系式中，1y是x的正比例函数的是（）

A.y=2xB,y=+1C.>'=-D.y=x2

【答案】A

【分析】本题主要考查了正比例函数的定义.根据正比例函数的定义，形如丁二依（2为常数且总0）的

函数是正比例函数，逐一分析各选项即可.

【详解】解.：A.），=2x,符合），二米的形式，其中&=2H0,是正比例函数，符合题意.

B.y=2x+\,含常数项1,属于一次函数而非正比例函数，不符合题意.

C.y=I不符合正比例函数的形式，不符合题意.

X

D.），=/,次数为2,不符合正匕例函数的定义，不符合题意.

故选：A.

【变式2］（24-25八年级上•广西百色・期末）下列函数为一次函数的有（）

①y=Zr+4；（2）y-4x=8（x-2）；③y=2r+3；（4）y=+2x；@y=4x；

A.①②④B.①③⑤C.①②⑤D.①@

【答案】C

【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（女、力是常数，且右0）的函数是一

次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键.

【详解】解：①>=合+4是一次函数，符合题意；

②），-4x=8（x・2）,即产⑵76,是一次函数，符合题意；

③y=f-2r+3不是一次函数，不合题意；

④y=d-V+2r不是一次函数，不合题意；

⑤y=4x是一次函数，符合题意；

.•・一次函数的有①②⑤，

故选：C.

【变式3】（2425八年级上♦安徽池州•期末）在下列函数解析式中，①1y二米；②尸为；③），=7-3x；

@y=r-（x+2）（A-3）：⑤y=y一定是x的一次函数的有（）个.

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解，

本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：一次函数的定义一般形如y="+。（k,6是常数，

2工0）,其中x是自变量，y是因变量。.

【详解】解：①当女=0时，y=代不是一次函数，

@y=-2x,是一次函数，

（3）y=7-3x,是一次函数，

®y=x2-(x+2)(x-3)=x+6,是一次函数,

⑤y=；不是一次函数，

综上所述，②③④是一次函数，共3个，

故选：C.

题型04利用一次函数的定义求参数

【典例4］（24-25七年级下•山东东营・期末）若函数），=（a-l）J1-2是一次函数，则。的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查一次函数定义：形如y:履+〃（女工0）的函数，由一次函数定义得到。=1,且

求解即可得到答案.熟记一次函数定义是解决问题的关键.

【详解】解：Q函数），=・2是一次函数，

：a=\,且a・1工0,

解得a=-1,

故答案为：-1.

【变式1］（24-25八年级上•江西吉安・期末）当用二时，函数y=（m+2）/“是一次函数.

【答案】2

【分析】本题考查了一次函数的定义.熟练掌握一次函数的定义是解题的关键.注意自变量的指数为1，系

数不为0的条件.

根据一次函数要求>・3;1日川+2¥0,联立解答.

【详解】解：•••），=（m+2）/「是一次函数，

>2-3=1

I、c，

10+2/0

解得办=2.

故答案为：2.

【变式2］（23-24七年级上.山东泰安・期末）已知（hl）利+尸-4是一次函数，贝lJ（3k+2产4的值是

【答案】1

【分析1本题主要考查了一次函数定义.关键是掌握一次函数y:丘+人的定义条件是：左、"为常数，

k/0,自变量次数为1.首先根据一次函数定义确定左的值，再代入代数式（3A+2）"*,求值即可.

【详解】解：由题意得：&=1且hl¥0,

解得：k=,

202420242024

（3^2）=（-3+2）=（-1）=1.

【变式3］（23-24八年级上安徽阜阳•阶段练习）若-2是关于”的一次函数，则，〃的值为.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了一次函数的定义.根据一次函数的定义条件：自变量次数为1,且自变量系数不等

于。，即可求解.

【详解】解：根据题意得：mH0且〃?+1=1,

解得：m=-2.

故答案为：-2.

题型05一次函数的图象和性质

【典例5］（24-25八年级上•甘肃酒泉・期末）关于一次函数），=-〃+3,下列结论正确的是（）

A.函数图象经过点（-1,1）

B.y随x增大而增大

C.图象不经过第二象限

D.将l，=・2r+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为），=・公+6

【答案】D

【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、一次函数图象的性质等知识点，熟练掌握一次函数图

象的性质是解题的关键.

根据一次函数图象的性质以及平移变换逐项判断即可解答.

【详解】解：A、当时，y=5,故图象不经过（-1,1）,不符合题意；

B、一次函数攵=・2<0,），随x增大而减小，不符合题意；

C、一次函数2=-2<0,。=3>0,图象经过第一、二、四象限，不符合题意；

D、将一次函数），=-2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为），=-2x+6,正确，

符合题意.

故选：D.

【变式1】（24-25八年级下•广西南宁・期末）关于一次函数丁=i+3,下列说法正确的是（）

A.图象经过（3,0）

B.图象可由直线.产工向上平移3个单位长度得到

C.图象经过第一、二、四象限

D.），随自变量x的增大而减小

【答案】B

【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括图象经过的点、平移规律、象限分布及增减性，通过对一

次函数），=刀+3的图象经过的点、图象的平移、图象经过的象限以及函数的增减性这几个方面进行分析是解

题的关键.

【详解】解：选项A：将点（3,0）代入j=»3,得），=3+3二6/0,故图象不经过该点，A错误.

选项B：函数y=x+3由向上平移3个单位长度得到（平移后解析式为y=x+3）,B正确.

选项C：2=1>0,图象从左下向右上延伸，经过第一、三象限；。=3>0,与），轴交于正半轴，故图象经

过第一、二、三象限，C错误.

选项D：2=1>0,故y随x的增大而增大，D错误.

【变式2]（24-25八年级下•天津期末）下列关于一次函数y="b（k<U,b>0）的说法，错误的是（）

A.图象经过第一、二、四象限

B.y随x的增大而减小

D.当%>・工时，y<0

k

【答案】C

【分析】本题考查一次函数的图象及性质：由上<0，〃>0可知图象经过第一、二、四象限：llu<0,可得

y随x的增大而减小；图象与y轴的交点为（0,〃）；当x>-?时，><0；

【详解】解：••・），二米+人（攵<0/>（））,

.•.图象经过第一、二、四象限，选项A正确，不符合题意；

k<0,

・•.y随x的增大而减小，选项B正确，不符合题意；

令工=0时，y=b,

图象与y轴的交点为（04）,选项C不正确，符合题意；

令,=0时，

b

当X>-时，>-<0,选项D正确，不符合题意；

k

故选：C.

【变式3]（24-25八年级下•湖南湘潭・期末）关于X的一次函数产冰+44-1,下列说法：

①若〃=2,则函数图象经过第一'二、三象限；

②若函数图象经过原点，则〃=

③无论。为何实数，函数的图象总经过点（-4,-1）.

其中正确的个数是（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解

题的关键.根据•次函数的性质即可判断①;把（0,0）代入即可判断②;把;1=-4代入解析式求得-1,

即可判断③.

【详解】解：①@=2,

:一次函数为y=2x+7,

:函数图象经过第一、二、三象限，故正确；

②Q函数图象经过原点，

：4a-1=0且aH0,

故正确；

4

③Qy=ox+4qT=〃（工+4）T,

：x=-4时，y=-1,

:函数的图象总经过故正确.

・••①②③都正确.正确个数为3,

故选D.

题型06利用一次函数的性质求解

【典例6】（24-25八年级下•重庆期末）若点和B（2,g）在一次函数产（1+1卜+3的图象上，则

y—H（用““、“＜”或"二”连接）.

【答案】＜

【分析】本题考查了一次函数的性质，由偶次方的非负性，可得出4之0,进而可得出＞o,利用

一次函数的性质，可得出y=（加+1卜+3随”的增大而增大，再结合-1＜2,即可得出必＜%.

【详解】解：•••/20，

Ak=ITT+1＞0,

y=（〃/+1）X+3随X的增大而增大，

又丁点A（-I,y）和3（2出）在一次函数V=（＞+。工+3的图象上,且・1＜2,

＜y2.

故答案为：＜.

【变式1］（24-25八年级上•安徽合肥・期末）已知直线），二米+方可以看作由直线），二-■^向下平移2个单位

长度而得到，那么直线＞，二仙+力与x轴交点坐标为.

【答案】（-4,0）

【分析】木题考查了•次函数的平移，明确平行直线的解析式的力值相等是解题的关键.根据平移规律写

出平移后的解析式，然后令y=o求解即可得解.

【详解】解：•••直线y=Ax+6可以看作由直线]%向下平移2个单位长度而得到，

:直线y=kx+b的解析式为y=一%-2,

当3=0时，，0=-1-2,

解得：x=-4,

:直线y=履+6与x轴交点坐标为（-4,0）.

故答案为：（-4,0）

【变式2]（24-25八年级下•广东油头・期末）一次函数），=（〃，-1卜+帆的图象过点（0,4）,且），随工的增大

而增大，则.

【答案】4

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数性质，熟练掌握该知识点是关键.根据一次函数

图象上点的坐标特征以及函数性质解答即可.

【详解】解：由条件可知m=4,

：w=±4,

Q>随x的增大而增大，

\ni-1>0>

\m>1,

：m-4.

故答案为：4.

【变式3】（24-25八年级下•四〃资阳・期末）若点P（r,y）是某函数图象上的一点，则把称为该点的“纵

横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数

），=-3A+1（-2<X<2）的“娇小值”是.

【答案】-7

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，将y=・3x+l代入y-x,可得出

y-x=-4x+l,lh-4<0,利用一次函数的性质，可得出广x的值随x的增大而减小，再结合-24x42,

即可求出一次函数y=-3x+l（-24xW2）的“娇小值”，牢记”>0,y随x的增大而增大；k<0,），随x的增

大而减小'’是解题的关键.

【详解】解：将y=-3x+1代入y-x得：y-x--4x+1,

v-4<0,

:y・x的值随汇的增大而减小，

又；-2<x<2,

当x=2取得最小值,最小值为-4x2+1=-7.

故答案为：-7.

题型07求一次函数的表达式

【典例7](24-25八年级卜吉林期末)拖拉机开始工作时，油箱中有油40L,每小时耗油5L.

(1)写出油箱中的剩余油量。(L)与工作时间/(h)之间的函数表达式，并求出自变量/的取值范围；

(2)当拖拉机工作3h时，油箱内还剩余油多少升？

【答案】(l)Q=40-5/(0<r<8)

⑵25升

【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系”油箱中的余油量=油箱

中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键.

(1)根据“油箱中的余油最=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变显的取值范围；

(2)把，=3代入函数解析式，即可得到答案.

【详解】(1)解：Q=40-5f,

当。=0时，即40-5/二0,

解得r=8,

:。与，之间的函数表达式及自变量，的取值范围为Q=40-5/(0</<8).

(2)当/=3时，0=40-5x3=25.

答：当拖拉机工作3〃时，油箱内丕剩余油25升.

【变式1](24-25八年级下•广西来宾・期末)已知.y+2与工成正比，且％=2时，y=6.

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)当]=时，求)，的值；

(3)将所得函数的图象平移，使它过点(-2,1),求平移后图象的表达式.

【答案】(Dy关于x的函数表达式为y=4x・2；

⑵-3；

(3)平移后图象的表达式为y=4x+9.

【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，

(1)根据题意设)，+2=米；然后利用待定系数法求一次函数解圻式；

(2)把-1代入一次函数解析式可求得：

4

(3)设平移后宜线的解析式为y=4x+b,把点(-2,1)代入求出匕的值，即可求出平移后宜.线的解析式.

【详解】(1)解：依题意设y+2=U

x=2时，>'=6,

二6+2=2h解得A=4

.••)，关J%的函数表达式为y=4x-2；

<2：解：当％二・；时，y=4x|-^j-2=-3；

(3)解:将函数)，=4.12平移的表达式设为y二以+匕

因为平移后的函数y=4x+h的图象经过点(-2,1),

所以1=4x(2)+〃，

解得b=9

因比，平移后图象的表达式为y=4%+9.

【变式2](24-25八年级上•贵州毕节•期末)周末，张华和李明相约去北坡公园锻炼，张华家、李明家及北

坡公园大门顺次在一条直线上，张华家和李明家之间的距离为800m,两人分别同时从家出发，均保持匀速

行走.如图，分别表示李明、张华两人到张华家的距离S(m)与两人的行走时间/(min)之间的关系.

⑴求乙4对应的函数表达式；

⑵出发几分钟后，张华追上李明？

【答案】(1)直线人的函数表达式为4=100/+800”的函数表达式为&=200，

(2)出发8min后，张华追上李明

【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

(1)根据题意，设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可；

(2)令4=与，进行求解即可。

【详解】(1)解：由图象，可设直线乙的函数表达式为：4二h+800,直线人的函数表达式为：另二&".

Q/1过点(2/000)4过点Q,400),

：1030=2k\+800,4(X)=2内,

解得&二100,e=200.

故直线4的函数表达式为：4=100/+8004的函数表达式为：力=200/；

(2)由题意,得当」=%时,张华追上李明,BP100/+800=200/,

解得r=8,

:出发8min后，张华追上李明.

【变式3](24-25八年级上•安徽合肥・期末)某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价

为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没

有优惠.

(1)若购进甲种跳绳x条，付款y元，求y关于1的函数表达式；

(2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳

绳的购进量，才能使付款总金额卬(元)最少.

15x(0。420)

【警窠[⑵.W)

(2)当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少

【分析】本题考查一次函数的实际应用.

(1)分04x420和20两种情况，再根据题意分别列出关系式即可；

(2)设购买甲种跳绳，〃条，则购买乙种跳绳(60-昉条，根据题意得到

../J、1:1小了再利用一次函数的性质解答即可，

[12所।xp>ii-/N|=-6^+114<»(20<m<40)

【详解】(1)解：当04x420时，》二15X，

为>20时，y=20x15+15x0.8x(v-20)=I2r+6O,

_ll5j(Oixi2O)

”一1⑵.6O(”2O)：

(2)解：设购买甲种跳绳机条，则购买乙种跳绳(60-昉条，

切,「Jl5m4-l8(6O-w)=-3m+IO«O(IO<w<2O)

由趣思得;»|2m+6O+IX(6O-m|=-6m-i-l14O(2O<mS4()f

当10Mm420时,

v-3<0,

.•.w随机的增大而减小，

当〃i=20时，w有最小值1020元,

当20<机440时，

-6<0,

•••川随〃2的增大而减小,

当机=40时，卬有最小值900元，

v900<1020,

•••当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少.

题型08画一次函数的图象

【典例8](24-25八年级下•福建泉州•期末)在平面直角坐标系中，已知一次函数)，=-2x+4,完成下列问

(1)画出一次函数-2r+4的图象；

(2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______；

(3)将直线＞，:-2x+4沿)，轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标.

【答案】(1)见解析

(2)4

(19

(3)於。:

【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各

点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

(1)画出函数图象；

(2)分别求出直线与x轴、)，轴的交点，进而解答即可；

(3)根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与工轴的交点即可.

【详解】(1)解：令y=。，解得那=2,令4=0,则y=4,

一次函数)，=-2Y+4的图象如图：

(2)令y=0,解得x=2,令x=0,则y=4,

：直线与x轴交点坐标为(2,0),与y轴交点坐标为(0,4),

:区数图象与坐标轴围成的三角形的面积是二X2X4=4：

故答案为:4：

⑶将直线)，=2，+4沿)，轴向下平移3个单位长度，%=-2x+4-3,即y=-2x+l,

令y=0,则-2r+1=0,解得x=；,

:平移后的直线与x轴的交点坐标为(g・O).

【变式1](23-24八年级下.广西南宁・期末)己知一次函数,v=2r+4与x轴交于点A,与)，轴交于点从

(1)写HIA点坐标：,B点坐标：:

(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象(不要求写步骤)；

(3)求出V4OB的面积.

【答案】(1)(20),(0,4)

(2)图象见解析

(3)V/1O8的面积是4

【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，明确题意，利用一次函数的性

质和数形结合思想进行解答是解题的关键.

(1)根据题目中的•次函数解析式，利用。轴上所有点的纵坐标均为0,)，轴上所有点的横坐标均为0”

即可求出点A和点B的坐标；

(2)在平面直角坐标系xOy中，根据A、B两点的坐标画出直线即可；

(3)由点4、点8的坐标可以求得OA、03的氏度，然后根据三角形的面积公式即可求得VAO8的面积.

【详解】⑴解：对于一次函黝=2t+4,

令尸°，得2x+4=0,

解得x=-2,

：—次函数丁=2^+4与x轴的交点A的坐标为(-2,0)；

令*=0,得y=4,

:一次函数y=2x+4与y轴的交点8的坐标为（0,4）；

（2）解：Q一次函数y=2t+4的图象是一条直线，

:在平面直角坐标系xO），中，根据A、6两点的坐标画出直线，即可得到该函数的图象,

函数图象如图所示；

（3）解：由点A、点4的坐标可知:

OA=2,Ob=4,

S,..Ja=!•。小:X2x4=4,

：^AOB的面枳是4.

【变式2]（24-25八年级上•广东河源•期末）已知函数），=-2r-4.

X0

y=-2x-40

以

5-

4-

3-

2-

I-

t1111A

耳

I2345x

-72

7

7

⑴填表，并画出这个函数的图象;

⑵若将函数产-2丫-4的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A,与），轴交于点B,求&AB。

的面积.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键.

（1）将x=o代入即可求出），的值，将y=o代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象;

（2）先求出平移后的直线的表达式，再求出4、B两点的坐标，即可得出答案.

【详解】（1）解：当x=0时，）"-2X0-4=-4,

当）=0时，即-214=0,

解得：x=-2.

填写表格如下，

X0-2

y=-2x-4-40

图象见下图：

（2）解：平移后的直线为），二・*・4+2,

即y=-2,

当k=0时,y=0-2=-2,

当）=0时,0=・Zr・2,

解得：x=-i,

则点4的坐标为（-1,0），点B的坐标为（0,-2）.

所以AABO的面积=\oAxOB=|x1x2=1.

【变式3]（24-25八年级上•内蒙古包头•期中）综合与实践

同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？

请结合一次函数的学习经验探究函数），=2卜+1・3的图象

⑴列表：

X・・・-4-3-2-1012•・・

y・・・3m-1-3-1n3•・•

表格中〃?=，〃=

(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象;

>

X

(3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论.

结论I:;

结论2：_______

【答案】(1)1;1

(2)见解析

⑶函数y=2|X+1|-3行最小值，最小化为产3函数.y=2|A-+I|_3的图象关于且线”-1对称

【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象，画一次函数图象是解决问题的关键;

(1)将x=-3,x=1代入解析式求出机、〃值即可；

(2)画出函数图象即可；

(3)根据图像，写出两个性质即可.

【详解】(I)解：将工二-3,戈=1分别代入)，=2次+1|-3得:

=21-3+11-3,n=211+1|-3

解得:m=1,n-\.

故答案为：1;1;

(2)解：如图，

(3)解：根据题意得：(答案不唯一)

结论1：函数丁=2卜+1-3有最小值，最小值为尸・3；

结论2：函数)，=2卜+1-3的图象关于直线x=・l对称.

题型09一次函数的实际应用

【典例9](24-25九年级上•吉林长春•期末)某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印

社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付2（X）元的承包费，

再按每复印100页材料收费。元计费.已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两

复卬社（针对该校）每月收费），（元）与复印材料页数1（页）之间的函数图象如图所示，

⑴乙复印社复印800页材料时收费一元；

（2）求乙复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式；

（3）当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是一页.

【答案】（1）320

（2）y=0.15x+200

（3）1000

【分析】本题考杳一次函数的应月、一元一次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键.

（I）根据“甲、乙复卬社分别复印800页材料时所收总费用相同”求解即可；

（2）先由（1）中数据求得。值，再根据乙复印社收费标准列函数关系式即可；

（3）求出甲复印社中），与x的函数关系式，根据“甲复印社比乙复印社每月收费多50元”列方程求解即可.

【详解】（1）解：根据题意，乙复印社复印800页材料时收费为%x40=320（元），

I1

故答案为：320；

'2解：由（］）得一'x。+200=320,解得a=15,

100

根据题意，乙复印社每月收费y（元）与复印材料页数1（页）之间的函数关系式为，,高X15+200,即

y=0.15x+200；

（3）解：根据题意，甲复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式为

1

•x40,即1y=0.4x,

」l（K）

由0.4x-（0.15x+2（X））=50得x=1000,

故该学校复印材料的页数是1000页.

故答案为：1000.

【变式1］（24-25八年级下•湖北成宁•期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/

件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象.图中的折线OQE表示日销量y（件）与销

售时间工（天）之间的函数关系,若线段。月表示的函数关系中,时间每增加1天,日销量减.少5件.

⑴第26天的日销量是件，这天销售利润是元；

（2）求），与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）销售期间口销售最大利润是多少元？口销售利润不低于660元的天数共有多少天？

【答案】⑴320；640

、120x（018）

⑵'1-”+450（18<，4刻

（3）720元；8天

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用.

（1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量,

可求第26天的销售量；再根据日利润=单件利润xU销售量，求出当天总利润即可；

（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线O。、的函数关系式，进而可以判断得解；

（3）由函数的图象可得，当x=l8时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量二日销售利润

♦每件的利润，可求出H销售量，将其分别代入O。、的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求

出日销售利润不低于660元的天数.

【详解】（1）解：由题意，♦.♦时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件，

.•悌26天的日销售是340-（26-22）x5=320（件），

••.这天销售利润是（10-8）x320=640（元），

故答案为：320,640：

（2）解：设直线OO的函数关系式为），二米，将（17,340）代入y=日，

•••340=173

.4=20,

直线OO的函数关系式为），=20A-；

当x=22,>'=340；

当x=26,y=320,

••DEid（22,340）,（26,320）,

设直线DE的函数关系式为），=rnx+n,

12m♦”・340

26m♦w=120

/i=450

宜线。£的函数关系式为y=-5x+450,

令20x=-5x+450,

解得户18,

.••直线0。和直线。石的交点坐标为（18,360）,

20x（0IX）

{-5x+450（18vx4）0）；

（3）解：由函数的图象可得，当x=18时，日销售为20x18=360,

此时日销售利润最大为:（10-8）x360=720（元）；

又•.每件利润为：10-8=2（元），

.••当销售利润为660元时，销售量为330件，

•••令y=330,贝1J有20A-=330或-5K+450=330,

•,x=16.5取二24,

•••日销售利润不低于660元的天数在17到24之间，

.--24-17+1=8（天），

.•.日销售利润不低于660元的天数共有8天.

【变式2］（24-25八年级下•陕西安康•期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续由现、图1是

机游人警官安安和麦克，他们从街头4处出发，准备前往相距450米的B处（A,B在同一直线上）巡逻,

安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.已知

安安警官、麦克警宜行走的路程凶（米），%（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如

图2所示.

安安麦克

图1图2

（1）如图2,折线①表示