2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 提优测评卷（含答案）

第一章勾股定理提优测评卷

一、选择题：本大题共10小题，共30分。

1.下列各组数是勾股数的是（）.

A.2,3,4B.3,4,6C.6,8,10D.4,6,7

2.将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形是（）.

A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

3.满足下列条件时，不是直角三角形的是（）.

A.乙4:NC=3:4:5B.AB:BC:AC=3:4:5

C.AB=3,BC=4,AC=5D.A.A=40°,Z-B=50°

4.如图，小亮将开旅的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆

处，发现此时绳子•末端距离地面2,〃，则旗杆的高度为（）.（滑轮上方的部分忽略不计）

LL

8m

A.14/nB.\5mC.16/7/D.\lrn

5.已知--轮船以16海里/小时的速度从港口4出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/小时的速度同时

从港口4出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）.

A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里

6.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A,B,C,D,£均在小正方形方

格的顶点上，线段/W,CD交于点F,若4C/B=a,贝此ABE等于（）.

A.180°-aB.180°-2aC.90°+aD.90°+2a

7.下面图形能够验证勾股定理的有（）.

A.0个B.I个

8.下列命题：①如果”,c为一组勾股数,那么4小4/2,4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度

数比是3:4:5,那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12,25,21,那么此三角形必

是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是4,b,c（a>b=c）,那么。2小2"2=2:1:1.其中正确的

是（）.

A.①②B.①③C.®®D.②④

9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系讦明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”

是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为m较短

直角边长为b,若®+b）2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为（）.

B.4C.5D.6

10.如图，在直角三角形4BC中，^ACB=90°,以AB,BC,AC为边作正方形A8OE,正方形8CG凡正

方形4cMM设△A8C的面积为S「△8。尸的面枳为S?,△OHG的面积为S3,四边形CHET的面积为S4，四

边形ATMN的面积为S5,则下列结论正确的是（）.

A.Si+=$2+S3+S$B.52+S5=S1+S3+S4

C.Si+S3=S2+S3+S4D.S4+Ss=S]+$2+S3

二、填空题：本大题共8小题，共24分。

11.如图，点£在正方形A4CO的边相上，若E8=l,EC=3,那么正方形ABC。的面积是

12.若6,8,。是一组勾股数，则以6,8,。为边长的三角形的周长为.

13.在Rta/IBC中，ZC=90°,AB-BC=1,AC=4,则BC=.

14.如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

的树梢，至少飞了米.

15.如图，在△ABC中，4C=90。，AC=8,BC=6,。为4B的中点，过。作£7）J.A8交AC于点E,则

AE的长为.

16.在周长为24的直角三角形中，斜边长为11,则该三角形的面积为.

17.定义：若三个正整数a,b,c满足avb,a2+b2=c2,且c-b=2,则称（a,瓦c）为“偶差”勾股数

组.例如：（6,8,10）,（8,15,17）都是“偶差”勾股数组.令m=a+b+c,将〃?从小到大排列，分别记为

m1,m3，…，加式"为正整数），则m?。的值为-

18.如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16a”，AC是底面圆的直径，点夕是8c上的一点，且BC=20cm,

PC=〃C,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为____cm.

4

P

三、解答题：本大题共8小题，共66分。

19.如图，学校高17加的教学楼48上有一块高5〃?的校训宣传牌AC,为美化环境，对校训牌AC进行维

护.一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A

处.问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25〃［的云梯刚好接触到AC的顶部点。处？

20.如图，货船和快艇分别从码头人同时出发.其中，货船沿着北偏西54。方向以15海里/小时的速度匀速

航行，快艇沿着北偏东36。方向以36海里/小时的速度航行.1小时后，两船分别到达8,C点，求B,。两

点之间的距离.

21.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以48为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已

知4。=2.3米，CZ）=2米.现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通

过这个通道？请说出你的理由.

〃2米C

22.如图，在四边形力8C。中，Z.F=90%AB=9,BC=12,AD=8,CD=17.求:

(1)AC的长；

(2)四边形A8CZ)的面积.

23.如图，有一艘货船和一艘客船同时从港I14出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的

比为4:3,货船沿南偏东80。方向航行，2小时后货船到达8处，客船到达。处，若此时两船相距50海里.

(1)求两船的速度分别是多少；

(2)求客船航行的方向.

24.课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：3,4,5；

5,12,13；7,24,25；9,40,41；学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过,

于是王老师提出以下问题让学生解决.

(1)请你根据上述的规律写出下一沮勾股数：11，，.

(2)若第一个数用字母a(a为奇数，且QN3)表示，那么后两个数用含。的代数式分别怎么表示？聪明的小

明发现每组第二个数有这样的规律：4=手，12=早，24=争…,则用含。的代数式表示每组第

二个数和第三个数分别为,.

(3)用所学知识加以说明.

25.如图(1),美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

(1)

(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为4,较短的直角边为江斜边

长为。，结合图(1),试验讦勾股定理：

(2)如图(2),将这四个直角三角形紧密地拼接，形成K镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长为24,。。=3,

求该飞镖状图案的面积；

(2)

(3)如图(3),将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MNKT

的面积分别为S1，52,S3,S】+S2+S3=40,S2=.

(3)

26.著名的赵爽弦图(如图(1),其中四个直角三角形较大的直角边长都为较小的直角边长都为江斜边

长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4x：岫+(a-匕)2,由此推导出重要的勾股定

理：如果直角三角形两条直角边长为小b,斜边长为C,则小+炉=c2

(1)图(2)为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图(2)推导勾股定理.

(2)如图(3),在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,AB=AC,由于某种原

因，由。到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河功新建一个取水点在同一条真线

上)，并新修一条路C”，且CH测得CW=0.8千米，"8=0.6千米，求新路C”比原路C4少多少千

米？(结果保留到0.01)

(3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法.他是这样思考的，在第(2)问中

若48黄/1。时，CHLAB,AC=10,BC=17,AB=21,设4夕=x,可以求C"的值，请帮小明写出求

C”的过程.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】4.；22+32工M,C,3,4不是勾股数，故不符合题意；

RV32+42^62,/.3,4,6不是勾股数，故不符合题意；

C.v62+82=102,.-.6,8,10是勾股数，故符合题意；

D.V42+62^72,/.4,6,7不是勾股数，故不符合题意.故选C.

2.【答案】C

3.【答案】A

【解析】4.vZ/1:Z5:ZC=3:4:5f44+NB+NC=180°,

••・41=45°,zfi=60°,4c=75°,即A/IBC不是直角三角形，符合题意；

8.设48=3%,则8c=4%,AC=5x,•••(3x)2+(4x)2=(5x)2,

.•・△48C是直角三角形，不符合题意；

(7.•••32+42=52,.•.△A8C是直隹三角形，不符合题意；

D.•:乙4=40°,乙B=50°,乙A+乙B+LC=180°,

AZC=9O°,即△48。是直角三角形，不符合题意.故选4

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用.

过点。作C8JL力。于8,设旗杆高度为x/〃，可得74c=AD=xm,AB=(x—2)m»BC=Qm,在Rt△

48。中利用勾股定理可求出工.

【解答】

解：设旗杆高度为入”，过点C作C8J.4。于从

则=AD=xm,AB=(x-2)m,BC=8m,

在Rt△48c中，AB2+BC2=AC2,BP(x-2)2+82=x2,

解得：%=17,

即旗杆的高度为17米.

5.【答案】D

【蟀析】•••两船行驶的方向是东北方向和东南方向，，两船行驶方向的夹角是直角.

2小时后，两艘船分别行驶了16x2=32(海里)，12x2=24(海里)，

根据勾股定理，得两船相距40海里.故选D.

6.【答案】C

【解析】如图，过“点作〃G〃C。，连接石G,

vBG//CD,:.Z.ABG=乙CFB=a.vBG2=I2+42=17,BE2=I2+42=17,

EG2=32+52=34,8G2+8E2=EG2,.•.△BEG是直角三角形，

AZ.GBE=90°,•••4ABE=乙GBE+匕ABG=90°+a.故选C.

7.【答案】D

【解析】第一个图形：中间小正方形的面积为。2=（0+匕）2—4乂3。6，

化简得c2=a2+b2,可以证明勾股定理;

第二个图形：中间小正方形的面积为（b-a）2=c2-4

化简得Q2+/=c2,可以证明勾股定理；

第三个图形：梯形的面积为：（a+b）（a+匕）=2x；xab+；c2,

化简得Q2+/=C2,可以证明勾股定理.故能够验证勾股定理的有3个.故选D.

8.【答案】C

9.【答案】C

【解析】；（。+匕）2=21,，02+2出?+62=21.：大正方形的面积为13,二02+匕2=13,

:.2ab=21-13=8,.,.小正方形的面积为（a—b）2=a2-2ab+Z?2=13—8=5.故选C.

10.【答案】A

【解析】如图，由题意，得（S2+S3+x）+（S5+y）=Bc2+4c2=/w2=Si+S4+x+y,得Si+$4=

S2+S3+S5.故选4

II.【答案】8

【解析】•••四边形ABC。是正方形，.••乙8=90°,

BC2=EC2一El??=32-I?=8,.•.正方形ABCD的面积=BC2=8.

12.【答案】24

13.【答案】7.5

【解析】设8。=%,则48=8C+1=乃+1,在RtA/lBC中，Z.C=90°,

由勾股定理，^AC2+BC2=AB2,即42+/=（%+i）2,解得工=7.5,即BC=7.5.

14.【答案】5

【解析】如图，由题意，得48=6-2=4（米），8c=3米，AB1BC.

由勾股定理，^AC2=AB2+BC2=25,^\AC=5^.

15.【答案】y

【解析】如图，连接BE,•・•/)为八B的中点，过。作ED14B交AC于点E,

.•./E=BE.•••△(：=90°,AC=8,BC=6..-.AB=10.

设/E=8E=X,则CE=8—，在RCAECB中，CE2+BC2=BE2

即/=62+(8-x)2,解得x=y,即力E=系

16.【答案】12

【解析】设直角三角形的一直角边长为x,另一直角边长为户

由题意，得x+y=24—11=13,二(x+y)2=132,①

由勾股定理，得/+必=112②，①.②，得2盯=48,xy=24,

该三角形的面积为呆y=|x24=12.

17.【答案】1012

【解析】由题知，次二-匕2=(c+b)(c-b).又因为c-b=2,

所以。2=2(c+b)=2(b+2+b)=4b+4.因为a>b,c为正整数，

所以4b+4为偶数，则。为偶数.当Q=2时，匕=0,不符合题意；

当G=4时，b=3,不符合题意；当Q=6时，b=8,c=10,符合题意，

则尔1=6+8+10=24.当a=8E寸，b=15»c=17,符合题意，

则小2=8+15+17=40,…，依次类推，第〃组“偶差”勾股数中的最小数为2(几+2).

当於=20时，a=44,此时b=483,c=485,所以m2。=44+483+485=1012.

18.【答案】17

【解析】将玻璃杯侧面展开如图所示.

-----r

MP

••恒柱的底面周长为16cM=8的."=20由，PC=产,

PC=15cm..••在△ACP中，AP=17cm.

即从人出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为17cm.

19.【答案】如图，过点。作。交AB于点E.

由题意，得AE=AB-BE=17-2=15(m),CE=AB+AC-BE=17+5-2=20(m),

在中，由勾股定理，WDF2=AD2-AE2=400,DE=20m,

设DD'=;on,则O'£=(20-x)m,在RtZkCED'中，由勾股定理，

^D'E2+CE2=CD'2,即(20-；＜)24202=252,,解得％=5或%=35(舍去).

故工程车向教学楼方向行驶5米，长25机的云梯刚好接触到AC的顶部点C处.

20.【答案】解：由题意可得：4氏4。=54。+36°=90°,4B=15海里，4C=36海里，

则BC=V152+362=39(海里)，

答：B、C两点之间的距离为39海里.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

21.【答案】•.•车宽1.6米，如图，卡车能否通过，只要比较距通道中线0.8米处的高度厉车高.

在RCA0E尸中，由勾股定理，^EF2=OE2-OF2=1-0.82=0.36,

/.EF=0.6m,AEH=EF+FH=0.6+2.3=2.9>2.5.故卡车能通过此通道.

22.【答案】【小题I】

在八48c中，v/-B=90°,AB=9,BC=12,

2

A心=AB2+8c2=92+12=225,AC=15.

【小题2】

222

在△力CO中，-AC=15,AD=8,CD=17,A17=15+8,

即6。2=力。2+402,..(4。0是直角三角形，

1111

XX

•0*S四边形ABCD~S^ABC+S—CD=2""，BC+=2^124-2X8X15=114.

23.【答案】【小题I】

设客船和货船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，

依题意，得4%-3x=5,解得％=5.4x=20,3x=15.

故客船和货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时.

【小题2】

由题意，得｛8=15x2=30,AC=20x2=40,=50,：.AB2+AC2=BC2.

.••△48。是直角三角形，且/B力C=90°.又货船沿南偏东80°方向航行，

•••客船航行的方向为北偏东100方向.

24.【答案】【小题1】

60

61

【小题2】

a2-l

2

Q2+1

【小题3】

••+(次—1)2_Q4+2Q2+I(Q2+1,_。4+2/2+1

a2+(幺=(2尹).又a为奇数，且0、3,

，由。，毛，学，三个