2025-2026学年北京某中学八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025.2026学年北京161中教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

2.下列各式中，正确的是（）

A.B./C./+苏=/D./・々4=2“4

3.在△/WC中，若乙4=92°,则AAAC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能

4.若（2x+〃?）（x-3）的展开式中不含x项，则实数，〃的值为（)

A.-6B.0C.3D.6

5.如图，在AABC与AEMN中,BC=MN=aAC=EM=bAB=c,乙C=^M=54。,若乙4二66°，下列结论正确的

是（）

A.EN=aB.NN=66°C.z£=60°D.以上答案都不对

6.在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）

7.下列说法正确的是（）

A.面积相等的两个三角形是全等三角形B.全等三角形是指形状相同的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等D,所有的等腰直角三角形都是全等三角形

8.程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具

时，点。在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽

QN上运动.图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意缸

图1图2备月图

有以下结论：

①当心PAQ=30°,P36时，可得到形状唯一确定的△P4Q

②当NPAQ=30°,时，可得到形状唯一确定的△PAQ

③当NPAQ=90°,时，可得到形状唯一确定的△PA。

④当/%Q=I5O°,PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ

其中所有正确结论的?仪（）

A.②③B.③④C.②③④D.①②®®

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分°

9.如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支

架构成三角形，这是利用三角形的

10.若2mX4,"X8,M=224,则m=—.

11.点M（1,2）关于x轴对称的点的坐标为_____.

12.如图1,将一个长为2%宽为处的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四

个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2）.设图2中的大正方形面积为多,小正方形面积为S2,

则Sl-S’2的结果是（用含“，〃的式子表示）.

aa

b

I

I---------------

b______：

______.

图1

13.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是

14.如图，已知在四边形A3CO中，zBCD=90°,8。平分乙ABC,AB=6,

8c=9,CQ=4,则四边形相。。的面积是.

15.已知4尸+/”+9是完全平方式，则m=

16.如图，等边△ABC的边长是2,M是高C"所在直线上的一人动点.连接M8,

将线段8M绕点B逆时针旋转60,得到用V,连接MM在点M运动过程中，线段

MN长度的最小值是一:连接N",则N”的长度最小值是一.

三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(木小题20分)

(1)(3a%)2・(卬%)3；

(2)2x(x+3)(x-5)：

(3)(15Yy/2xy-3x)H-(-3%)；

(4)(2x+y-5)(2x-y+5).

18.(本小题6分)

先化简,再求值:3a(加2_4a+3)-2a2(3a-4),其中。

19.(本小题5分)

己知：如图，在△ABC中，z.ABC=90°,于点。，点E在BC的延长线上，旦BE=AB,过点E作

EFLBE,与BD的延长线交于点尸.

求证：BC=EF.

20.（本小题6分）

七年级时，我们已经学过利用三角板和直尺作已知直线的平行线，爱动脑筋的小明同学便想是否可以利用

“尺规作图”作出已知直线的平行线呢？于是，他想出了下面的方法:

①已知直线OA,以直线上的一点O为端点作线段。仪

②以。为圆心，适当长度为半径画弧，交射线04和线段06丁C、D两点;

③以B为圆心，线段0C长为半径画弧，交线段于点E；

④以E为圆心，线段CZ）长为半径画弧，与第③步中所画的弧交于点E（交点尸在线段的下方）

⑤连接BF.

则直线即为直线0A的平行线.

请你根据上面的作图叙述并结合已知图形完成②-⑤步的操作（保留作图痕迹），并证明你的结论.

21.（本小题6分）

在△ABC中，乙4=60°,BD,C七是△A6C的两条角平分线，且5D,C•七交于点尸.如图，用等式表示

BE，BC,CO这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论：

小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC.他发现先在3c上截取3例，使3M=B£,连接FM,再利

用三角形全等的判定和性质证明CM=C。即可.

（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：

①在8c上截取使连接尸M,则可以证明△BE〃与全等，判定它们全等的依据是

②由乙4=60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线，可以得出

（2）请直接利用①、②已得到的结论，完成证明猜想8E+CD=BC的过程.

22.（本小题6分）

某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：

（1）第一次提价p%,第二次提价必：

（2）第一次提价必，第二次提价/设；

（3）第一、二次提价均为

其中〃q是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？（提示：因为pWq,（p-q）2=p2-2pq+q2>0,所以

炉+q2>2pq.）

23.（本小题6分）

如图，在平面直角坐标系xQy中，已知点A（b-4）,B（5,-4）,C（4,-1）.

<1）作△ABC关于直线机（直线加上各点的纵坐标为1）的对称图形△/1由Qi，其中点A,B,C的对称

点分别为Ai，Bi，G；

（2）四边形4ACG的面积为；

（3）若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线机对称，再向下平移2个单位长度汜为1次“R

变换”，△ABC内有一点尸（a,b）,经过2025次“R变换”后的对应点P2025的坐标为.

24.（本小题6分）

数学探究

25.（本小题7分）

如图，在△ABC中，已知乙480=45°,过点。作COL48于点。，过点3作3ML4C于点M,连接MZ）,

过点。作。MLMO,交于点M

（1）求证：△。用VgZ\OCM；

（2）设C。与相交于点E,若点E是。。的中点，试探究线段/石、ME、CM之间的数量关系，并证

明你的结论.

D

B

26.（本小题3分）

为了迎接国庆，小区准备将已有的正方形花坛进行改造.

请在下面4X4的棋盘网格中画出你的设计图.要求：沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种.

（请用阴影将全等的两部分区分开：经旋转、对称操作后能够重合的情况，视为同一种作图方式.）

（备注：如图1与图2视为一种作图方式）

图1图2

27.（本小题7分）

已知，如图1,A在x轴负半轴上，B（0,-4）,点E（-6,4）在射线8A上.

（1）求证：点A为8E的中点；

（2）在），轴正半轴上有一点尸，使/尸£4=45°,求点尸的坐标；

（3）如图2,点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，点/为△MQN的内角平分线的交

点，AK加分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点，/"10N于，，求证：0P+PQ+0Q=2HI.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】稳定性

10.【答案】4

11.【答案】（1,-2）

12.【答案】4ab

13.【答案】9

14.【答案】30

15.【答案】+12

16.【答案】1

0.5

17.【答案】-9alV;

29-4/-30X；

-5AJJ2+4X/+1；

4f-/MQy-25

18.【答案】-h/+9a,-I.

■

19.【答案】证明：-EF1.BE,乙48。=90°,

.•.乙BEF=^ABC=90°,

・•.4F+乙EBF=90°,

X-.BD1AC,

••ZEBF+以CB=90°,

：.ZJ\CB=Z.F,

•.•在△人8c和△BEb中

(乙4co

I上

IAR^HE

：./\ABC^/\BEF(A4S),

：.BC=EF.

20.【答案】8F

21.【答案】(1)

①△4MP,SAS

②60

(2)由(1)矢U,z5FE=60°,

:•乙CFD=^BFE=60°

•••△BEFmABMF,

:.乙BFE=^BFM=60°,

:.乙CFM=z_BFC-乙BFM=6D0,

.•.4CFM=NCro=60°,

•••CE是乙4c8的平分线，

:.乙FCM=(FCD,

在△FCM和△VCO中，

(£CFM-£CFD

•••(I

IZFC.W-ZFCP

CM0△尸CO(ASA),

【CM-CD,

:.BC=CM+BM=CD+BE.

22.【答案】提价最多

21.

(a,-b)

24.【答案】576：

每个“美好数”都是中间数石的平方的4倍；

32.

25.【答案】(1)证明：WC=45°,CDLAB,

.心BC=3CB=45°,

:.BD=DC,

4MON=900,

.•.乙BDN二乙CDM,

•••CD1A8,BM1AC,

山4M=90°

在△。用V和△力CM中，

f£BDN-ZCDA/

{BD-DC,

IZPH.V-IDCM

:.4DBNW4DCM(ASA).

(2)结论：NE-ME=CM.

证明：由(1)ADBN迫4DCM可得DM二DN.

作DF1MN于点F,又ND1MD,

:.DF=FN,

在△7)£：〃和△CEM中，

(£DEF-ZCEA/

\_DFE-NC“E,

{DEaEC

:•△DEFmACEM(AAS),

:.ME=EF,CM=DF,

:.CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME.

易证△CM£S/\BOE,

(MBD-

•**=2，

EXfDE

.•.CW=2£M,NE=3EM,

:.EM：CM：NE=l：2：3.

综上所述，CM=NE-ME,EM：CM：NE=1：2：3.

26.【答案】图形如图所示：

27.【答案】(1)证明：过E点作EGlx轴于G,

•：B(0,-4),E(-6,4),

：.OB=EG=4,

在AAEG和△ABO中，

NE.4G-ZR4O

<“小.no\-wi,

EG=BO图1

.•.△AEG〃ABO(AAS)，

.,.AE=AB,

••・点A为BE的中点;

(2)解：过人作人力1人E交的延长线于。，过。作。Klx轴于K,如

图1-1所示：

则，EGA=Z_QAE=〃KO=90°，

^GAE+ZAEG=£,GAE+£.DAK=W，

.•.乙AEG=cDAK,51

vzFEA=45°，图1」

.•.△AOE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,

在△AEG和△ZMK中，

(LEGA-LAKD

\.i/c.D\K，

IAE=DA

.•.△AEGg△OAKCAAS),

:.EG=AK,AG=DK,

•:B(0,-4),E(-6,4),

”(-3,0),OG=6,EG=4,

.•04=3,AG=DK=3,AK=EG=4,

；.OK=AK-OA=l,

：.D(1,3),

设尸(0,y),

•.•梯形EGKD的面积二梯形EG