2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷拔尖卷（浙教版）解析版

八年级数学上学期期中模拟卷.拔尖卷【浙教版

全解全析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)

1.已知关于％的不等式(2a—b)x+a—5b>0的解集为x<y,则关于％的不等式取>b-Q的解集为()

23

X>CX<X>

A.-2-3--2-

【分析】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质.熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数

的美系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键.本题可先根据已知

不等式的解集得出关于a、b的关系，进而确定匕与0的大小关系，再求解不等式族,b—a.解题思路为：由

不等式(2Q-8)X+Q-5b>0的解集求出a与b的关系，判断b的正负，最后代入不等式以>b-a求解.

【详解】解：由(2Q-/?)x+a-5b>0得(2a-b)x>5b-a.

••・其解集为％<y,

.••a=-b,

将a=.代入2a-b<0,可得2x-d<0

10

—b-b<0

o

7

-b<0

:.b<0.

把a=*代入不等式以A〃一卬可得以>”|九

bx>—|b,

J

♦:b<0,

2

:.X<-

故选：C.

2.如图，正方.形ABC。中，E为BC上一点,过3作8G14E于点G,延长8G至点R使得4G=GF,连接

CF,AF.若4D4F=a,则40C"一定等于()

A.aB.60°—2aC.2aD.45°—a

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形是解

题的关键；过C作CA_L8F于〃，证明△48G三△BC，，得AG=BH,BG=CH,从而得CH=FH,得

^HFC=45°,则可求得NDCF.

【详解】解：如图，过C作于〃，则NCH8=々CH尸=90。；

在正方形A8C。中，AB=BC,LDAB=Z.ABE=Z.BCD=90°；

-BFLAE,AG=GF,

•••LGAF=45。；

:.LBAG=Z.DAB-Z.DAF-Z.GAF=45°-a；

•••/£MG+/4RG=90。，//RG+/OH=90。，

ACAH=4BAG=45°-a；

在AjBG与△BCH中，

(Z-BAG=乙CBH

LAGB=乙BHC=90°,

IAB=BC

△力BG三△BCH(AAS),

•••4G=BH,BG=CH；

AG=GF,

:.BH=GF,

即BG+G，=GH+”F,

CH=FH；

-CH1BF,

LHFC=45°,

/.LBCF=180°-Z-CBH-乙HFC=90°+a,

3.（25-26八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在△48C中，ABAC=90°,AB=AC,E、产分别为48、

AC上的动点，且CF=AE,连接C£BF,当CE+取得最小值时，则CBBE的值为（）

A.1:1B.2:1C.1:2D.1:3

【答案】A

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作CN14C,使得CN=AC,连接FN,BN,BN

交4C于点证明三得CE+B/=NF+BF,当8、F、N三点共线时8尸+CE的值最小，再

证明三△CNF,得CM=/M,进而可得CF=8E,即可求解.

【详解】解：如图，过点。作CN_L4C,使得CN=/C,连接RV,BN,BN交AC于点、M,

在ACAE和△NCF中，

(AC=CN

\z-A=Z.FCN=90°,

IAE=CF

△CAE=△NC尸(SAS),

:.NF=CE,

.-.CE+BF=NF+BF,

•••NF+BFNBN,

.•.当B、F、N三点共线时，NF+B尸有最小值，最小值为线段BN的长，且此时点尸与点M重合，

"ACN=Z/1=90。，

•••AB||CN,

.•ZA8M=乙CNM,

又・;4B=AC,AC=CN,

"B=CN,

在△力8M和△CNM中，

（乙ABM=乙CNM

AB=CN,

=乙MCN=90°

△ABM=△CNM（ASA）,

.'.AM=MC=$4C,即此时4尸=CF=AE=，4C,

-：AB=AC,BE=AB-AE

:.BE=\AB=\AC=CF,

此时CF:BE=1:1.

故选:A.

，3y-2

4.（24-25七年级下•全国•期末）关于），的一元一次不等式组孑一有3个整数解，则［的取值范围

是（）

A.a<2B.1<a<2C.a>1D.1<2a<2

【答案】B

【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据

不等式组有3个整数解可得答案.

【详解】解：牝二:居

解不等式①得y>-2,

解不等式②得y<a,

・•・关于y的一元一次不等式组有3个整数解，

•••3个整数解为一1,0,1,

.--1<a<2,

故选：B.

5.（25-26八年级上•全国•期中）如图，在A4BC中，^ABC=3zC=60°,AD平分心BAC交BC于D,

AC=atAB=b,BPJ.AD于P,则8P的长为（）

【答案】C

【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质.

延长BP交AC于点E,由4D平分4日力。和BP_L40,可以证明△4BP三△/lEP（ASA）,由全等三角形的性质和

4力8。=34。可以证明£8=£。=。一/?,且8P=EP=g8E,即可求出BP的长.

【详解】解：延长BP交AC于点E,

•••4。平夕｝N84C,

A/.BAD=Z.DAC,

-BPLAD,

ABPA=Z.APE=90°,

在△48P与中，

(Z-BAD=Z.DAC

AP=AP,

(乙BP力=LAPE

•••△48PwZiAEP(ASA),

：.LABP=Z.AEPtBP=EP=^BE,AB=AE=h,

•••AC=a,

EC=AC-AE=a—b,

•••/4EB是ABEC的一个外角,

•••LAEB=LEBC+乙c,

:•乙ABC=Z-ABE+Z.EBC=Z.AEB4-Z.EBC=2乙EBC+Z.C,

vLABC=3zC,

/.LEBC=Z.C,

EB=EC=a—b,

=：(a—b).

故选：C.

6.如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC上的一点，LBAD=28°,在力。的右侧作△4DE,使得

AE=AD,LDAE=LBAC,连接。瓜DE,交4c于点0,若C£||48,则400C的度数为()

A.124°B.102°C.92°D.88°

【答案】C

【分析】根据题意由SAS可证△4B。三△4EC,得至IJ乙48。=4"E,结合两直线平行，同旁内角互补和等

边对等角可推出乙180=乙BCA=^ACE=1x180°=60°,从而得到△48。是等边三角形，进而推出△ADE

是等边三角形，可知N4DE=60。，=^BAC-^BAD=32°,由三角形外角的性质即可求得答案.

【详解】解：-Z.DAE=Z.BAC,

.-.Z.DAE-Z,DAC=乙BAC-Z.DAC,^Z-EAC=匕DAB,

,：AB—AC,AE—AD,

△480三△AEC(SAS),

:.乙ABD—Z.ACE,

vC£|MB,

“BD+乙BCE=180°,

：.Z.ABD+Z,BCA+/.ACE=180°,

-AB=AC,

.,.Z.ABD=Z.BCA,

“ABD=Z.BCA=/.ACE=1x180°=60°,

J

△ABC是等边三角形，

Q

.'.ABAC=^DAE=60t

,.'AE=AD,

是等边三角形，

：.LADE=60°,

•.'£BAD=28°,

.^OAD=LBAC-Z-BAD=60°-28°=32°,

：zDOC=LOAD+Z-ADE=32°+60°=92°.

故选:C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的

性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

7.如图，是等边三角形，。是BC边上的动点（不与点8,C重合），连结40,点E,F分别在线段

AB,AC的延长线上，且DE=OF=4）,在动点。从点8运动到点。的过程中，△与△CFD的周长之和

的变化情况为（）

A.一直变大B.一直变小

C.先变大后变小D.先变小后变大

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确找出

两个全等三角形是解题关键.设等边△力8c的边长为m则BC=a,先根据等边三角形的性质可得

LA3C=/-ACB=/-BAC=60°,从而可得NDBE=2尸CD=120。，再证出/BED=4CDF,然后证出

△BED三△CDF,根据全等三角形的性质可得BE=CD,BD=CF,从而可得△BED与△"D的周长之和为

2Q+2AD,最后根据力。的值的变化情况即可得出答案.

【详解】解：设等边的边长为原则BC=a,

•••△48C是等边三角形,

"ABC=Z.ACB=乙BAC=60°,

:•乙DBE=^FCD=120°,

•:DE=DF=AD,

.,./.DAE=乙DEA,Z.DAF=Z.DFA,

i^z.DAE=乙DEA=x,则匕OF4=Z.DAF=Z.BAC-乙DAE=60°-x,

vzDF/1+乙CDF=Z.ACB=60°,

：.LCDF=6Qo-LDFA=x,

：zBED=乙CDF=x,

在ABED和△CD/7中，

(乙DBE=Z.FCD

\z-BED=乙CDF,

IDE=FD

△BED三△CDF(AAS).

.-.BE=CD,BD=CF,

:.△BED与△CFD的周长之和为80+BE+DE+CD+CF+DF

=BD+CD+AD+CD+BD+AD

=2(BD+CD)+2AD

=2BC+2AD

=2a+2AD,

A△BED与△CFD的周长之和随着/。的变化而变化，

由垂线段最短可知，当/1OJLBC时，4。的值最小，

・•・在动点。从点8运动到点C的过程中，的值是先变小后变大，

・••在动点。从点8运动到点C的过程中，△BED与△CF。的周长之和的变化情况为先变小后变大，

故选：D.

8.(25-26八年级上•全国•期末)如图，在5x5的正方形网格中，点力，B,C,。均在格点上，若从中任

取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（）

A

「丁D

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理.

利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

【详解】解：如图，连接他4D/C,BD,8C,CD,

厂声A下一厂

./■、17

।•II

：二斗一厂r：

:D

借助网格和勾股定理得，

ABz=l+22=5,

80=1+22=5,

AD2=l+32=10,

4c2=42+22=20,

CD2=1+32=10,

BC?=52=25,

•：AB2+BD2=AD2=10,

.•.△48。为直角三角形；

-AD2+CD2=AC2=20,

••.△AC。为直角三角形；

-AB2+AC2=BC2=25,

••・△48C为直角三角形:

直角三角形有3个，

故选：B.

9.（24-25七年级下•重庆・期中）如图，在△ABC中，48=8C//18C=30。，点D为4C中点，连接8D,点

1

E、点"分别为B。、上两动点，过点F作FH18C于点H,当月E+E户+"H取最小值时8”二7则△力BC

的面积是（）

【答案】A

【分析］连接过点C作718的对称点。，连接。8,过点F作FNA.B。于点、N,作CP_L80于点P,证明

AE=CE,FN=FH,那么HE+EF+FH=CE+E尸+用V之CP,当点C,E,F,N,P共线时，4E+EF+取

得最小值，记CO/B交于点Q,可证明△FBN三△r8H（AAS）,则此时BN=B"=今可得△OBC为等边三

角形，则B0=BC=B4=C0=g,由C,。关于/B对称，得到CQ=；C0=*CQ148,那么由坛诋二；

ABxCQ,即可求解.

【详解】解：连接CE,过点C作力B的对称点0,连接OB,过点尸作尸NJ.BOF点N,作CPJ.B。于点P，

:.B。=BC,Z.ABO=Z.ABC,

•：AB=BC.LABC=30°,点D为AC中点,

:.BD1AC,

••.BD垂直平分4a

:.AE=CE,

•••FHIBC,FN±80,乙49。=乙4BC,

:.FN=FH,

“E+EF+FH=CE+EF+FN>CP,

当点C,E,F,N,P共线时，AE+EF+FH取得最小值，如图:

记CO/B交于点Q,

vFH1BC,FNLB。，

；/FNB=Z.F//Z?=90°

•.248。=Z-ABC,BF=BF,

ZiFBN三△F8”(AAS)，

4

此时BN=BH=-,

"ABO=/-ABC—30°»

:.L0BC=60°,

又，;BO=BC,

AOBC为等边三角形，

.•.CO=BO,

:.BO=BC=BA=CO,

•••CP_L8。，

:.BO=2BN=g，

8

:.B0=BC=BA=CO=-,

••・&。关于4B对称，

:.CQ=*0=-LA8,

i18416

•••S△48c=-^xCQ=-x-x-=-,

故选:A.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称

的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将4E+EF+FH进行转化.

10.（25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在△4BC中，AB=AC,ABAC=60°,4018C于

D,£是线段4。上一点，”是边48上一点，且满足CE=EF,G是BF的中点，连接EG.则下列四个结论

①BO=OC；（2）Z-CEF=120°；③4ACE=④当41EF=15。时，Z.BEC=150°.其中正确的个数

有（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为30。的直角三角形的性质，熟练掌握等

腰三角形和等边三角形的性质是解题的关健.连接根据48=力。，^BAC=60°,证明△A8C是等边三

角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可.

【详解】解：连接8巳如图

•••/IB=AC,Z-BAC=60°,

.•.△A8C是等边三角形，

.'.AB=AC=BC,LACB=LBAC=乙ABC=60°,

,：AD1BC,

:.BD=CD,故①符合题意；

"AD1BC,BD=CD,

:.BE=CE,

:.乙BCE=乙CBE,

•••CE=EF,

:.BE=EF,

:ZFBE=Z.BFE,

“BFE=乙BAD+Z.AEF,乙BAD=30°,

.-.Z.AEF=乙BFE-/.BAD=(FBE-30°,

•：AD1BC,

"ADC=90°,

,：Z.AEC=Z.ADC4-乙BCE,

••qEC=900+48E,

•:乙CEF=/-AEC+/.AEF,

必CEF=90°十乙CBE十乙FBE-30°

“ABC=乙FBE+CBE=60°,

“EF=90°+60°-30°=120°,故②符合题意:

-：AB=AC,

:.乙ABC=乙ACB,

■:BE=CE,

"BCE=乙CBE,

"FBE=Z.ACE,

•••BE=EF,

.,.Z.rBE=Z.BFE,

'./-ACE=乙BFE,故③符合题意：

vLAEF=15°,Z.BFE=/.BAD+乙4EF,

•••WE=30。+15。=45。，

•：BE=CE,CE=EF,

：.BE=EF,

•••G为8/的中点，

:.BG—GF,

.-.EGLAB,

:/EGF=90°,

.•.△EG/为等腰直角三角形，

，乙BFE=乙FEG=45°,EG=FG,

:.BG=FG=EG,

•:乙BGE=90。，

.•.△BGE为等腰直角三角形，

:/BEG=45°,

.•.乙BEC=36。°一乙BEG—乙FEG—乙CEF=150。，故④符合题意；

综二分析可知：正确的有4个.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（25-26七年级上•重庆万州•阶段练习）如图，在△A8C中，BD=\BCtAE=ED,图中阴影部分的面积

为25平方厘米，则△48。的面积为平方厘米.

【答案】200

【分析】本题主要考查三角形面积，△ABD与等高，乂因为BD=；8C,所以S&48D=?△■;，同理,

AE=ED,SABED=%W£BC，即可解答.

【详解】解：因为△48。与△力8c等高，

又因为8。

所以

同理，AE=ED,

所以SaBEO=gSazlBD=6少8小

所以SMBC=8s△BED=8x25=200（平方厘米）

故答案为:200.

12.（25-26八年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，AABC是等边三角形，BC=BD,ABAD=25°,则zBCD

的度数为一.

【答案】55°

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用

这些性质进行推理.

由等边三角形的性质可得AB=BC,^ABC=60°,由等腰三角形的性质可求=130。，可求解.

【详解】解：是等边三角形，

=BC,Z-ABC=60°,

vBC=BD,

•••AB=BD,

:.LBAD=LADB=25°,

LABD=130°,

•••乙CBD=70°,

又•:BC=BD,

:•乙BCD=乙BDC=1（180°-乙CBD）=55°,

故答案为:55。.

13.（24-25八年级下•广东清远•阶段练习）已知实数〃，b满足Q—b+l=0,0<a+b+l<1,则下列

三个结论：

①一；<Q<0：@|<b<1；③-2<2Q+4b<1中，正确的有.

【答案】③

【分析】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题关键.①可得

b=a+1,将此代入0<Q+b+1<1,即可判断；②可得Q=b-1,将此代入0<a+匕+1<1,即可

判断：③结合前面求出的a、b的取值范闱，即可判断.

【详解】解：①•・•。一8+1=0,

Z?=a+1,

•••0<a+b+1V1,

•••0<a+a+l+l<l,

解得：-1vav-

故此项错误；

②a—b+1=0,

G=b—1,

•••0<a+d+l<1,

0<—l+b+lvl,

解得：0VbV:，

故此项错误：

③...-l<a<-1,0<^<1,

:.—2V2clV—190V4bV29

・♦・-2<2a+4b<1,

故此项正确；

故答案为：③.

14.（25-26八年级上•陕西西安•阶段练习）如图，正方形A8CD的边长为8,将正方形折叠，使顶点。落在BC

边上的点E处，折痕为G”,若8E:EC=2:1,则线段C"的长为.

【答案】票戌

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识.先根据正方形的性质得到EC=1

DC=8,LC=90°,再根据折叠的性质得到设CH=x,则£7/=8-X,在Rt中，根据勾

股定理列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：•.•正方形4BCD的边长为8,BE-.EC=2:1,

：.EC==I，DC=8,zC=90°,

由折叠的性质得0〃=EH,

设=MDH=EH=8-x,

在Rt△G/E中，根据勾股定理得好+(1)2=(8-x)2,

解得％=季

即可=手

故答案为：告.

15.如图，在直角三角形ABC中，乙4cB=90。，。在BC边上，E在AC边上，旦

/-ADE=45°,〃8C=2Z.CDE,AE=3fBD=2,则AB=.

【答案】5

【分析】在4B上截取4/=4E,连接CF,先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明

△.4FD=A/IFD(SAS),再根据全等三角形的性质证明=BD,最后由48=4尸+8尸求解即可.

【详解】解：在48上截取4F=4E=3,连接DF,

设，CUE=a,则由题意得〃8C=2a,

■:Z-ADC=/-B+Z-BAD,/.ADE=45°,

.••45°+a=2a+乙BAD,

.,./.BAD=45°—a,

SCB=90°,

.•zD4c=90°-Z.ADC=90°-(45°+a)=45°-a,

.-.Z.DAC=乙BAD,

-AD=AD,

尸。三△4E0(SAS),

:.Z-FDA=LEDA=45°,

"FD=Z.FDA+Z.FAD=45°+45°—a=90°-a,

・"BDF=180°-Z,FDE-LCDE=90°-a,

:.乙BDF=Z.BFD,

:.BF=BD=2,

.•/B=4F+BF=3+2=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性

质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

16.(25-26八年级上•江苏无锡♦阶段练习)如图，点P为等边△A8C内一点，若PC=3,PB=4,PA=5,

则，8PC的度数是.

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质等知识，利用旋转作辅助线

构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键.

将△8PC绕点8逆时针旋转60。得到△8ZM,连接PD,根据旋转的性质可得

BD=PB=4,AD=PC=3/BPC=CADB,判断出△8DP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得

PD=PB.^LBDP=60°,利用勾股定理逆定理判断出AADP是直角三角形，^ADP=90°,然后求出/力。8,

即可得解.

【详解】解:如图,将△BPC绕点8逆时针旋转60。得至I」△804连接PD,

由旋转的性质得,BD=PB=4,AD=PC=3/BPC=Z.ADB,

••.△BOP是等边三角形，

.-.PJ=PB=4,乙BDP=60°,

22

vAD+DP2=32+42=25tPA=52=25,

•.AD2+DP2=PA2,

・•・△4CP是直角三角形，乙/DP=90。，

LADB=60°+90°=150°,

LBPC=150°,

故答案为：150。.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级下•贵州黔东南•阶段练习）如图，在△48。中,4?的垂直平分线分别交48,4C于

点D,E,RCB2=AE2-CE2.

⑴求证：Z-ACB=90°；

（2）若AC=12,08=9,求。K的长.

【答案】⑴见解析

⑵CE=

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分

线的性质得到E4=EB,进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解.

（1）连接BE,由垂直平分线性质得应4=结合已知等式转化为EB2=CB2+CE2,利用勾股定理逆定

理让乙4cB=90°；

（2）设=用£71=EB表示EB的长度，在Rt△中通过勾股定理列方程求解x.

【详解】（1）证明：连接8E

•••DE是AB的垂直平分线

'-EA=EB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）

-：CB2=AE2-CE2,且EA=E8

.©2=EB2-CE2

即EF=CB2+CE2

・•・△8CE是直角三角形，且NECB=90。（勾股定理的逆定理）

BPz/lCF=90°

（2）解：设CE的长为x

-AC=12

:.AE=AC-CE=12-x

•：EA=EB

工ER=12-x

在Rt△BCE^^ACB=90。£8=9,由勾股定理得：EB2=CB2+CE2

即（12—％）2=92+4

展开得：144-2轨+#=81+#

化简得：144-24x=81,即24x=63

21

••-X=T

・••CE的长为今

18.（6分）（25-26八年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC,将△4BC沿着EF翻折使点工

恰好落在BC上点。处，且。尸18c.

⑴求证：乙DFC="BAC；

(2)延长E0交AC延长线于点G,求证：DF=DG；

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相

关知识点，是解题的关键：

(1)过点力作于点”，根据等腰三角形的性质得出=i&4"=》8/lC,证明DFII4H,得出

乙DFC=MAE,即可证明结论：

(2)根据折叠得出NB4C=乙EDF,根据乙OFC=\z-BAC,得出/EOF=2ZDFC,

根据4EDF=ZJ)尸C+乙G,得出〃R7=4G,根据等腰三角形的判定得出结论；

【详解】(1)证明：过点力作A"18C于点H,如图所示：

=乙CAH=2八C，

：.AH1BC,DF1BC,

.•.DFIMH,

"DFC=乙CAH,

...4DFC=\LBACX

(2)解：根据折叠可知：LBAC=LEDF,

vzDFC=^BAC-

:ZEDF=2/.DFC,

•:乙EDF=ZDFC+zG,

.,.Z.DFG=Z.G,

：.DF=DG.

19.（8分）（25-26七年级下•全国•期木）推埋能力

如图①所示，在△4BC中，4。是高，4E是N8AC的平分线，乙ABC=40°,LACB=70°.

⑴求4及40的度数.

⑵当4E是△84。的外角乙凡4。的平分线时，如图②所示，乙£4。的度数是多少？设乙48。=%乙ACB=。,

用含a,夕的式子表示出结果，并说明理由.

【答案】（1）15°

（2）4£力。=90。+早，理由见解析

【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分

别求N8ZIE的度数和NB4。的度数.

（1）由乙48C,24cB的度数利用三角形内角和定理即可求出NE4C的度数，再根据角平分线的定义即可求

出MAE的度数，由418。、4/IDE的度数利用三角形内角和定理即可求出540的度数，再根据

LEAD=匕840—代入数据即可得出结论；

（2）同（1）的过程找出乙乙4。和4C力£的度数，二者相加即可得出结论.

【详解】（1）解：••N8AC+乙力C8+乙A8C=180。，且乙48c=40。,乙4c8=70。，

LBAC=180°-/-ABC-Z-ACB=180°-40°-70°=70°,

又•••4£是4c的平分线，

•••LBAE=\LBAC=35°.

-AD1BC,

:zADB=90°,

LBAD=90°-40°=50°,

LEAD=4BAD-乙BAE=50°-35°=15°.

(2)解：4应4。=90°+等.理由如下：

•:乙B=a,LC—0,

£FAC=a+/7.

•••/IE平分"AC,

LCAE=|zC/lF=嘤

AD1BC.Z-C=0,

LDAC=90。一/?,

a+/?ct—8

---ADAE=ADAC+Z.CAE=90。一3+=90°+

20.(8分)已知关于x,歹的方程组鬻

⑴若该方程组的解满足%—丫=2025,求〃?的值；

⑵若不等式组的解集满足-1<x+5y<3,求冶的取值范围：

⑶在(2)的条件下，若不等式(2m—15)%+15<2m的解为％>1,求/〃的整数值.

【答案】⑴m=2024

(2)4<m<8

⑶5、6、7

【分析】本题考查了解二元一-次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键.

(1)由加减消元法解二元一次方程组得出》-y=m+l，结合题意得出m+1=2025,计算即可得解；

(2)利用加减消元法得出x+5y=-m+7,根据-14x+5yV3,得出一1W—7九+7V3,解不等式组

即可得出答案：

(3)根据题意得出2m—15<0,求解并结合(2)得出4Vms8,即可得解.

【详解】⑴解:出炉需凝

由①+②得：3x—3y=3m+3.

.-.x-y=m+1,

,•,该方程组的解满足x-y=2025.

：.m+1=2025,

：.m=2024；

⑵解:出窑第嚏

rh(2)-CD得：x+5y——m+7,

•.•方程组的解集满足-1WX+5y<3,

-1<-m+7<3,

解得：4<m<8；

(3)解：•••(2m-15K+15v27n

•••(2TH-15)x<2m-15,

•••不等式(2m-15)x+15<2m的解为％>1,

：.2m—15<0,

解得：m<y,

由(2)可得4<TH<8,

“15

•••4<m<—,

・•.m的整数值为5或6或7.

21.(10分)(24-25七年级下•全国•期末)为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇

中、小学校全部进行改造.根据预算，共需资金1300万元.改造一所中学和一所小学共需资金135万元：

改造两所中学和一所小学共需资金215万元.

⑴改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？

(2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？

⑶重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担.若今年市

财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小

学的改造资金分别为每所15万元和10万元.请你通过计算求出有哪几种改造方案？

【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元

(2)要改造的小学有12所

⑶四种改造方案:方案一:改造2所中学，8所小学；方案二:改造3所中学，7所小学；方案三:改造4所中学,

6所小学;方案四:改造5所中学,5所小学

【分析】(1)设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学

共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可；

（2）设要改造的小学有机所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可；

（3）设改造中学。所，则改造小学（10—或所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投

入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可.

【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金〉万元，根据题意，得器，

解鹤:乱

答:改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元.

（2）设要改造的小学有用所，根据题意，得0v13°；；5m工8,

解得12<m<23卷.

•••〃?为正整数，且在12WmV235范围内，使窄至为整数的讥值只有12,

11oU

.,.m=12.

答:要改造的小学有12所.

（3）设改造中学。所，则改造小学（10—a）所，根据题意，

15a+10（10—a）>110解洱2vavS

令（（80-15）a+（55-10）（10-a）<550，解任"~aS

%取整数，

”的值为2,3,4,5.

•••（10-a）对应的值分别为8,7,6,5,

・•.有以下四种改造方案：

方案一:改造2所中学，8所小学；

方案二:改造3所中学，7所小学；

方案三:改造4所中学，6所小学；

方案四:改造5所中学，5所小学.

【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组

和不等式组是解题的关键.

22.（10分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一

副三角板（在△4BC中，^ABC=90°,AB=CB-△OEF中，LDEF=90°,Z-EDF=30°）,并提出了相

应的问题.

【发现】（1）如图1，将两个二角板互不重叠地摆放在一起，当顶点4摆放在线段。“上时，过点21作

AMLDF,垂足为点M,过点C作CN1。凡垂足为点N,

①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论：

・"8C=90。，

•••4ABM+乙CBN=90°,

-AM1DF,CN1DF,

LAMB=90°,乙CNB=90°,

/.ABM+Z.BAM=90°t

:.LBAM=乙CBN,

=乙CBN

Z-AMB=Z.CNB=90°

AB=BC,

②AM=2,CN=7,则MN=:

【类比】（2）如图2,将两个三角板叠放在一起，当顶点8在线段OE上且顶点4在线段EF上时，过点C作

CPLDE,垂足为点P,猜想4E,PE,CP的数量关系，并说明理由；

【拓展】（3）如图3,将两个三角板叠放在一起，当顶点力在线段OE上且顶点8在线段E尸上时，若

AE=5,BE=1,连接CE,则△ACE的面积为.

【答案】（1）①△H8M三△BCN（AAS）②9；（2）结论PE=PC—AE,理由见解析；（3）10

【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行儿何推理是解题关键.

（1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案：

②由①中三△BCN（AAS）,利用两个三角形全等的性质，得到AM=BN=2,BM=CN=7,即可

得到MN=MB+BN=CN+AM=9；

（2）根据两个三角形全等的判定定理，得至“△/WE二△9CP,利用两个三角形全等的性质，得到/1E=9P,

BE=CP,由图中8E=8P+PE,即可得到三者的数量关系；

(3)延长尸E,过点C作CPJ■尸ETP,如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE三ABCP,从而

PC=BE=1,PB=AE=5,则可求得PE,延长AE,过点C作于凡如图所示，由平行线间的平行

线段相等可得CT=PE=4,代入面积公式得Sg“，即可得到答案.

【洋解】解：(1)(1)vLABC=900,

Z.ABM+乙CBN=90°,

-AM1DF,CNIDF,

.•.乙4MB=90。，^CNB=90°,

LABM+ABAM=90°,

LBAM=乙CBN,

-Z.BAM=乙CBN,Z.AMB=乙CNB=90°,AB=BC,

△ABM^△ZyGV(AAS)；

故答案为：△ABM^△BCN(AAS)

②由①知△△BCN(AAS),

•.AM=BN,BM=CN,

“"2,CN=7,

:.MN=MB+8N=CN+4M=9；

故答案为：9；

(2)结论：PE=PC-AE.理由如下：

vLABC=90°,

：.£ABE+^CBE=90°,

-CP1BE,

:.乙CPB=90°,

：zBCP+乙CBP=90°

•••/.ABE=乙BCP,

vLAEB=90°,

••ZEB=LCPB=90°,

-AB=BC,

:AABE三4BCP,

，AE=BP,BE=CP

BE=BP+PE,

PE=BE-BP=PC-AE；

（3）延长尸E,过点C作CP1FE于P,如图所示:

•.•44BE+NE8C=90°,Z71BE+4B4E=90°,

LEBC=乙BAE,

■:乙AEB=乙CPB=90°,AB=BC,

:.AABEW4BCP,

:.PC=BE=1,PB=AE=5,

••・PE=PB—BE=5—1=4,

延长AE,过点C作CF14E于尸，如图所示：

-AF1PE,CP1PE,

•••"IICP,

-AFLPE,CFLAF,

PEWCF,

由平行线间的平行线段相等可得C?=PE=4,

S^ACE=〈xAExCF=x5x4=10.

故答案为：10.

23.（12分）（25-26八年级上浙江绍兴•阶段练习）如图，AB=16cm,ACLAB,BDLAB,

⑴如图1,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=l（s）,△4CP与aBPQ是否全等？说

明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图2,将“AC148,8。1/1夕改为2c48=WB4”,其他条件不变，若Q的运动速度与P的运动速度不

相等，当Q的运动速度为多少时，能使AACP与ABPQ全等.

⑶在图2的基础上延长AC,8。交于点E,使C,。分别是力E,BE中点，如图3,若点Q以（2）中的运动速

度从点8出发，点P以原来速度从点4同时出发，都逆时针沿△力BE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q

第一次相遇.

【答案】（1）全等，理由见解析；垂直

（2）6cm/s

（3）24s

【分析】（1）利用SAS证得△ACP三△8PQ,得出/ACP=MPQ,进一步得出

AAPC+乙BPQ=/LAPC+AACP=90°,得出结论即可：

（2）根据Q的运动速度与P的运动速度不相等，可得力PH8Q,那么要使△ACP与aBPQ全等，则只存在

△ACP^△BQP这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可；

（3）因为Q以（2）中的运动速度6cm/s从点8出发，点P以原来速度4cm/s从点力同时出发，都逆时针沿△力BE

三边运动，只能是Q点绕圈追.L:P点，即点。比点Q多走BE+力E的路程，据此列出方程，解这个方程即可.

【详解】（1）解：全等，理由如下：

当匕=l（s）时，AP=BQ=4cm,BP=AB—AP=12cm=AC,

ACLAB,BD1AB,

.•ZA=Z.B=90°,

在aACP与ABPQ中，

（AP=BQ

]Z/l=乙B,

UC=BP

•••△/lCPwaBPQ(SAS),

ALACP=乙BPQ,

ALAPC+乙BPQ=Z.APC+^ACP=90°,

"CPQ=90°,

：,线段PC与线段PQ垂直.

(2)解：设点Q的运动速度%cm/s,

•••Q的运动速度与P的运动速度不相等，

:.AP*BQ,

'：LK=乙B,

二要使△ACP与△BPQ全等，则只存在△ACP^△BQP这种情况，

：.AC=BQ,AP=BP,

(12=xt

"I4t=16-4t'

解得｛：：3

二当点Q的运动速度为6cm/s时，能使△"P与全等.

(3)解：vf,。分别是小?，BE中点,4c=8。=12cm,

•••AE=BE=24cm,

•••Q以(2)中的运动速度