2025-2026学年北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》单元达标卷 （含答案）

第一章《勾股定理》单元达标卷

一、选择题：本大题共8小题，共24分。

1.下面四组数中是勾股数的一组是（）

A.6,8,9B.5,12,13C.1.5,2,2.5D.2,3,4

2.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路.已知

=4米，8c=3米，则这条近路AC的长是（）

A.2米B.3米C.4米D.5米

3.如图，四个全等的直角三角形围成一个大止方形ABCD,中IX部分是一个小止方形EFG”,这样就组成

一个“赵爽弦图”.若48=10,AE=Q,则正方形EFG”的面积为（）

B.8C.12D.16

4.如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中,笔筒内部的底面直径3C为9。”，内壁高为12。〃，则这支铅笔的

长度可能是（）

A.1.9cmB.12cmC.15anD.18cm

5.已知△4BC中，a,b,c分别是44,乙B,NC的对边，下列条件不能判定△48C是直角三角形的是（）

A.b2—c2=a2B.a:b:c=3:4:5

C.工AzBzC=9:12:15D.Z.C=Z71-乙B

6.己知a,b,c为△力8C的三边长，且满足（a-b）（a2+b2-c2）=0,则是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，长都是50cm,宽都是40c/〃，一只蚂蚁沿台阶从

点A出发到点B,其爬行的最短路线的长度是（）

B.120cmC.130cmD.150cm

8.一架5加长的梯子斜靠在一竖直的墙.匕这时梯子底端距墙角3〃?，若梯子的顶端下滑1，〃，则梯子底端

将滑动（）

A.0mB.ImC.2mD.3m

二、填空题：本大题共5小题，共15分。

9.已知△4BC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则44BC的面积是.cm2.

10.如图，在△48C中，乙4c8=90°,CD1于点。，且A8=10,8c=8,则CD的长为

11.如图，在正方形网格中，点4,从P是网格线的交点，则NP4B+4P8A=

12.如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度

力8=1.3米，小狗的高CD=0.3米，小狗与小方的距离4c=2.4米，则牵狗绳（绳子一直是直的）8。的长

为.

13.在△力中，AB=15,AC=13,高力0=12,则5C的长为.

三、解答题：本大题共7小题，共81分。

14.为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地43CQ,如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测

量〃=90。，48=9m,DA=12m,8c=8m,CD=17m.请求出空地ABC。的面积；若每种植1平方

米草皮需要350元，总共需投入多少元？

AB

15.【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.

【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子

的长度未知.

【实践探究】设计测量方案：

第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；

第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，冉测量绳子底端C与旗杆根部8点之间的距

离，测得距离为5米.

【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度.

地面

(1)依题知BC=米，用含有x的式子表示AC为米；

(2)请你求出旗杆的高度.

16.如图，在长方形纸片4BC。中，AB=8cm,4。=4cm.把纸片沿对角线AC折叠，点8落在点E处,

AE交DC于点F,求重叠部分的面枳.

17.小聪发现某超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应

门就会自动打开.如图，点A处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度4从已

知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时(8C=2.4米)，感应门自动打开，即=求感应器的离

地高度人8为多少米？

18.在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4,B,其中=由于某种原因,

由。到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(4从8在一条直线上),

并新修一条路C”，测得CB=3千米，C”=2.4千米，"8=1.8千米.

(1)问C”是否为从村庄。到河边的最近路？请通过计算加以说明.

(2)求原来路线AC的长.

19.如图I所示，大正方形A8CO是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形ErGH耕成的，设

直角三角形较长的直角边(力尸)的长为。，较短直角边(BF)的长为b.

(1)用含a,b的代数式表示大正方形A8C。的面积S；

(2)图2是由图1变化得到的，它是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形MNK7拼接而成

的.记图2中正方形4BCZ),正方形MNK7的面积分别为Si，S?.若S】+S2=10,-S2=8,求直角三

角形与正方形EFG”的面积.

20.如图，在直角三角形中，NA=90。，若A8=16cm,AC=12cm,8c=20cm.点P从点A出发,

以2sn/s的速度沿At8tC移动，终点为点C；点Q从点。出发，以lcm/s的速度沿CtAt8移动，

终点为点B.如果点P,Q同时出发，用，表示移动时间(单位为s).

C

▼

'o

月------PB

(1)分别求出点P,。到达终点时所需时间.

(2)若点P在线段44上运动，点Q在线段CA上运动，试求出当/为何值时，AQ=AP?

(3)当，为何值时，5心=9心?

答案和解析

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】。

【解析】由题意得乙ABC=9(T,AB=12cm,由勾股定理得力初十3c2=人。2,所以AC=i5c77i,则

这支铅笔的长度可能为18cm.故选D.

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】24

10.【答案】,

11.【答案】45

12.【答案】2.6米

【解析】解：如图，过点。作OEJ.48千点£

则4E=CD=0.3米，DE=AC=2.4米，

ABE=AB-AE=1米，

BD2=BE2+DE2=12+2.4z=6.76,

BD=2.6米.

13.【答案】14或4

【解析】（1）如图1,锐角三角形人8C中，AC=13,AB=15,BC边上高40=12,•••在Rt△中，

AC=13,AD=12,:.CD2=AC2-AD2=132-122=25,:.CD=5.在Rt△480中，AB=15,AD=

12,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=152-122=81,•••BD=9,•••8C=BD+DC=9+5=14；

A

A

(2)如图2,钝角三角形ABC中，AC=13,AB=15,BC边上高4。=12,在RtzMCD中，AC=13,

AD=12,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25,CD=5,在Rt△ABD中，AB=15,

22222

AD=12,由勾股定理得BD=AB-AD=15-12=81,ABD=9,：.BC=DB-CD=9—5=4.

14.【答案】解：如图，连接8。，在中，BD2=AB2+AD2=92+122=152,

在ZiCBC中，CD2=i72,B，2=82,而82+152=172,即B。？+8屏=...功孔=90°,则

S四边形ABCD=SBAAD+S&DBC=；.AD-AB+；DB-BC=1xl2x9+ixl5x8=114(平方米)，需花费

114x350=39900(元).答：空地ABCO的面积为1147n工总共需投入39900元.

15.【答案】【小题1】

5

Q+1)

【小题2】

在中，由勾股定理得8c2+AB2=力。2,即5?+/=(》+劫2解得》=0.答：旗杆的高度为

12米.

16.【答案】解：•.•四边形A3CD是长方形，.•.乙8=NO=90。，3C=AD=4cm,CD=AB=8cm.由翻

折，得4E=AB=CD=Bcm,4E==90°,CE=BC=AD=4cm,:.40==90°.又；乙CFE=

Z.AFD,:.&CFE/XAFD,：.EF=DF,CF=4凡设CT=力/=xcm,则。尸=CO-CT=(8—

x)cm,在RtA/4尸。中，AF2=DF24-AD2,AD=4cm,x2=(8—x)2+42,解得x=5,CF=

5cn,.•.重叠部分△4CF的面积为-CF=1x4x5=10(cm2).

LL

17.【答案】解：如图，过点。作DEJ.4B于点E,由题意，得BC=DE=2.4米，CD=BE=1.8米，设

48=力。=工米，则力E=(%—1.8)米，在RtaADE中，由勾股定理，^AD2=DE2+AE2,即产=

(%-1.8)2+2.42,解得工=2.5,所以A8=2.5米.答：感应器的离地高度AB为2.5米.

18.【答案】【小题1】

解：是.理由：•・•在ACHB中，CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9,.'.CH2+BH2=BC2,CHB

是直角三角形，且Z_C"B=90。，C〃_L4B,C，是从村庄。到河边的最近路.

【小题2】

设4C=K千米，在Rt△力CH中，由已知得力”=(%-1.8)千米，CH=2.4千米，由勾股定理得AC?=

AH2+CH2,即“2=(入-18)2+2.42,解得x=25答：原来路线AC的长为2.5千米.

19.【答案】【小题1】

解：由勾股定理知4^2=4尸2+B/72=。2+5，则正方形ABC。的面积S=4R2=a2+b2

【小题2】

设八个全等的直角三角形的面积均为“则S正方形EFGH=S\Tm，S正方形EFGH=Sz+4m,两式相加可