2025-2026学年北师大版八年级数学上学期期末常考题之认识证明

2025・2026学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题

之认识证明

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•舟山期中）下列语句不是命题的是（）

A.对顶角相等

B.连结A8,并延长至点C

C.两直线平行，内错角相等

D.等角的补角相等

2.（2024秋•任丘市期末）用反证法证明命题“在△ABC中，/IBWAC,则N8WNC”时，首先应该假设

（）

A.AB=ACB.ZB=ZC

C.A8=AC且N8=NCD.AB=AC且N8WNC

3.（2025春•松江区校级期末）下列各命题的逆命题成立的是（）

A.直角都相等

B.如果4=2,那么/二房

C.对顶角相等

D.两直线平行，同旁内角互扑

4.（2025秋•龙华区期中）下列畲题是真命题的是（）

A.相等的两个角是对顶角

B.若同=1,则”=1

C.内错角相等

D.三角形的内角和等于180°

5.（2025秋•朝阳区期中）举反例说明命题―,则JAM”是假命题时，可举的反例是（）

A.a=2,b=-1B.a=2,b=0C.。=2,b=1D.a=-2,b=-3

6.（2025秋•瑞安市期中）已知命题“如果J>4,那么〃>2"，能说明该命题是假命题的一个反例可以是

（）

A.。=4B.a=2C.a=-2D.a=-4

7.（2025秋•南闵区校级期中）如图，点。是△/WC的重心，连接人。并延长交于点。，则下列命题

中正确的是（）

A

A.AO是NBA。的平分线

B.A。是8c边上的高

C.A。是8c边的垂直平分线

D.八。是BC边上的中线

8.（2025秋•唐山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若〃=2,则1=8

B.如果〃=〃，那么招二房

C.钝角三角形中有两个锐角

D.如果两个角是直角，那么它们相等

二.填空题（共4小题）

9.（2025秋•舟山期中）命题”内错角相等，两直线平行”的逆命题是：；该命题是

命题（填“真”或“假”）.

10.（2025秋•榆阳区期中）命题“互为余角的两个角之和等于90°”的逆命题为.

11.（2025秋•天河区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的有.（填序号）

①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若4=〃，则〃2=房.

12.（2025秋•长春期中）命题“如果。=仇那么/=庐"，该命题是命题.（填“真”或"假”）

三.解答题（共4小题）

13.（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数小b定义一种幕的新运算:"〃◎〃=（岫）（。+6）叫其

中〃7,〃是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题：

（1）1©2的值为；

（2）若2©2-1=80,求/的值；

（3）这种运算是否满足结合律，即（"〃◎〃）©c^=^©（/◎（〃）成立吗？如果成立，清说明理由；

如果不成立，请举一个反例.

14.（2025秋•闵行区期中）探究并解决问题：

定义一种新的运算，叫做“㊉”运算.按照“㊉”运算的运算法则进行计算:

①(+2)㊉(+3)=+5；

②(・2)㊉(+3)=-5；

③(-2)㊉(-3)=+5：

④(+2)©(-3)=-5：

⑤。㊉(+5)=5；

©(+4)©0=4；

⑦(-5)㊉0=5；

⑧。㊉(・3)=3.

(1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“㊉”运算的运算法则：

两数进行“㊉”运算时，;

一个数与。进行“㊉”运算时，.

(2)计算：(-3)⑼2㊉(-4)1；

(3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“㊉”运算中还适用吗？请你判断并举例验证(注：如

果不适用，举出一个反例即可).

6(2024秋•沙坪坝区期末)学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究.他发现，如果作等腰三角形

两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等.其解决思路是通过证明

对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据他的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作N人“C的平分线，交4c于点£(不写作法，保留作图痕迹)

己知：如图，在△ABC中，A8=AC,BE平分NABC交AC于点E,C。平分N4CB交4B于点O.

求证：BE=CD.

证明：在△ABC中，

*：AB=AC,

A®,

又平分NACO平分

AZEBC=^LABCt②=^ACB.

:・NEBC=NDCB.

XVBC=®,

•••△EBC丝△OCB(ASA).

：,BE=CD.

小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征.请你依照题意完成下面命题:

等腰三角形两腰上的高线的长度④.

16.(2025春•黄石期末)如图，有三个条件：①N1=N2,②/C=N£>,③NA=NF,从中任选两个作

为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：

以③作为结论的命题是：如图，已知NI=N2,/C=/。，求证：ZA=ZF.

(1)请按要求写出命题：

以①作为结论的命题是：:

以②作为结论的命题是：：

(2)请证明以②作为结论的命题.

ABC

2025・2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题

之认识证明

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BBDDDDDA

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•舟山期中）下列语句不是命题的是（）

A.对顶角相等

B.连结A8,并延长至点C

C.两直线平行，内错角相等

D.等角的补角相等

【考点】命题与定理.

【专题】其他问题；模型思想.

【答案】B

【分析】判断•件事情的语句，叫做命题.由此即可判断.

【解答】解：A、C、。中的语句是命题，故A、C、。不符合题意；

B、该语句不是命题，故4符今题意.

故选：B.

【点评】本题考杳命题和定理，关键是掌握命题的定义.

2.（2024秋•任丘市期末）用反证法证明命题“在△48。中，4BWAC,则N8WNC”时，首先应该假设

（）

A.AB=ACB.ZB=ZC

C.A3=A。且N3=NCD.A3=4。且N8WNC

【考点】反证法；三角形内角和定理.

【专题】反证法；推理能力.

【答案】B

【分析】反证法的步骤中，第步是假设结论不成立，反面成立.

【解答】解：川反证法证明命题“若在△4BC中，AB^AC,则/8WNC时，首先应假设NB=NC,

故选：B.

【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考

虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一

否定.

3.（2025春•松江区校级期末）下列各命题的逆命题成立的是（）

A.直角都相等

B.如果4=匕，那么〃2=房

C.对顶角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质.

【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可.

【解答】解：A、逆命题为相等的角都是直角，不成立，不符合题意；

B、逆命题为如果/=扇，那么。=从不成立，不符合题意；

a逆命题为相等的角是对顶角，不成立，不符合题意：

4逆命题为同旁内角互补，西直线平行，成立，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大.

4.（2025秋•龙华区期中）下列命题是真命题的是（）

A.相等的两个角是对顶角

B.若同=1,则4=1

C.内错角相等

D.三角形的内角和等于180°

【考点】命题与定理；绝对值；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；平行线的性质；三角形

内角和定理.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据对顶角、绝对值、平行线的性质、三角形内角和定理判断即可.

【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故本选项令题是假命题，不符合题意；

B、若同=1,则。=±1,故本选项命题是假命题，不符合题意：

C、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；

。、三角形的内角和等于180°,是真命题，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

5.（2025秋•朝阳区期中）举反例说明命题“若心儿则标>庐”是假命题时，可举的反例是（）

A.。=2,b=-1B.a=2,b=0C.a=2,b=1D.a=-2,b=-3

【考点】命题与定理.

【专题】实数；运算能力.

【答案】D

【分析】由。、人的值计算出/、层的值，即可得到答案.

【解答】解：A、a>b,/=4,序=1,〃2>从，不能说明命题“若心b,则〃2>/自，是假命题，故人

不符合题意：

B、a>b,-=4,伊=0,（r>b2,不能说明命题“若a>e则/>了”是假命题,故s不符合题意;

C、a>b,J=4,b2=\,a2>b2,不能说明命题“若a>b,则庐”是假命题,故C不符合题意;

B,a>b,-=4,乒=9,Jv庐，能说明命题“若”>从则乂”是假命题,故。符合题意.

故选：。.

【点评】本题考查命题与定理，关键是由得到/V及.

6.（2025秋•瑞安市期中）已知命题“如果J>4,那么〃>2"，能说明该命题是假命题的一个反例可以是

（）

A.。=4B.a=2C.a=-2D.a=-4

【考点】命题与定理.

【专题】实数；运算能力.

【答案】。

【分析】求出M的值，即可举出反例.

【解答】解：A、〃2=16>4,42,不能说明该命题是假命题，故4不符合题意；

B、『=4,不能说明该命题是假命题，故8不符合题意；

C、『=%不能说明该命题是假命题，故C不符合题意；

D、a2=l6>4,a<2,能说明该命题是假命题，故。符合题意.

故选：

【点评】本题考查命题与定理，关键是求出/的值.

7.（2025秋•南岗区校级期中）如图，点。是A/WC的重心，连接40并延长交8C于点。，则下列命题

中正确的是（）

B.是8c边上的高

C.A。是8c边的垂直平分线

D.AO是8C边上的中线

【考点】命题与定理：三角形的角平分线、中线和高；三角形的重心；线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；应用意识.

【答案】D

【分析】根据重心的定义进行判断即可.

【解答】解:由题知,

因为点。是△A8C的重心，

所以点。是△ABC三条中线的交点，

则入。是8c边上的中线，

显然只有D选项符合题意.

故选：

【点评】本题主要考查了命题与定理、三角形的角平分线、中线和高、三角形的重心及线段垂直平分线

的性质，熟知三角形重心的定义是解题的关键.

8.（2025秋•唐山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.若a=2,则/=8

B.如果。=2,那么〃2=〃2

C.钝角三角形中有两个锐角

D.如果两个角是直角，那么它们相等

【考点】命题与定理.

【专题】阅读型；推理能力.

【答案】A

【分析】先写出逆命题，后逐一判断正误即可.

【解答】解：A.选项逆命题为：若“3=8,则。=2,则该逆命题是真命题，故A符合题意；

B.选项逆命题为：如果。2=",那么。=从根据〃和人可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B

不符合题意：

C.选项逆命题为：有两个锐角的是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该

逆命题是假命题，故C不符合题意；

D.选项逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，两相等的角可以是非直角，可得该逆命题是假

命题，故。不符合题意.

故选:A.

【点评】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键.

二.填空题（共4小题）

9.（2025秋•舟山期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，内错角相等：

该命题是一真命题（填“真”或"假”）.

【考点】命题与定理.

【专题】其他问题；模型思想.

【答案】两直线平行，内错角相等；真.

【分析】把命题的条件和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题.

【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，内错角相等；该命题是真命

题.

故答案为；两直线平行，内错角相等；真.

【点评】本题考查命题和定理，关键是掌握写出一个命题逆命题的方法.

10.（2025秋•榆阳区期中）命题“互为余角的两个角之和等于90°”的逆命题为两个角之和等于90°,

则这两个角G为余角.

【考点】命题与定理；余角和补角.

【专题】几何图形；应用意识.

【答案】两个角之和等于90八，则这两个角互为余角.

【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和

条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外i个命题叫做原命题的逆命题，

即可解答.

【解答】解：根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结

论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，则：

•・•原命题“互为余角的两个角之和等于90°”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和

等于于°”,

・•・根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于90°,那么这两个角互为

余角

故答案为：两个角之和等于90°,则这两个角互为余角.

【点评】本题主要考查逆命题，正确进行计算是解题关键.

II.（2025秋•天河区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的有①③④.（填序号）

①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若“=〃，则”2=户.

【考点】命题与定理；全等三角形的性质.

【专题】证明题；推理能力.

【答案】①③④.

【分析】先写出命题的逆命题，再逐一判断即可求解.

【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题：

②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题；

③全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题；

④若则〃2=户的逆命题是若〃2=序，则a=b,逆命题是假命题；

综上所述：逆命题是假命题的是①③④，

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了逆命题及命题的真假，正确写出命题的逆命题是解题的关键.

12.（2025秋•长春期中）命题“如果。=从那么。2=内,该命题是真命题.（填“真”或"假”）

【考点】命题与定理.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】真.

【分析】根据平方的性质即可判断.

【解答］解：“如果4=6那么『=6"，

该命题是真命题，

故答案为：真.

【点评】本题考查了真假命题，掌握知识点的应用是解题的关键.

三.解答题(共4小题)

13.(2025秋•海淀区校级期中)对于有理数a,J定义一种秋的新运算:(ab)m+n+(a+h)叫其

中〃?，〃是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题：

(1)1©2的值为7；

(2)若2©2*=80,求/的值；

(3)这种运算是否满足结合律，即("〃◎〃)◎(〃=/◎(〃◎(〃)成立吗？如果成立，清说明理由；

如果不成立，请举一个反例.

【考点】命题与定理；有理数的混合运算；哥的乘方与积的乘方.

【专题】实数；推理能力.

【答案】(1)7；

(2)1；

(3)不成立.当a=l,b=-1,c=0,m=n=l,"◎见◎c。#""©(力〃©才).

【分析】(1)根据所给规定进行计算即可；

(2)根据题意，建立关于/的等式，据此进行计算即可；

(3)利用反例等式不成立，若〃=1,b=-1,c=0,m=n=I.

【解答】解：(1)由题知，

1©2=(1X2),+,+(1+2),X,=22+3,=7.

故答案为：7；

(2)由2©2廿1=80得,

(2X2),+/+1+(2+2),x(什「=80,

贝|」4什2+4汁1=80,

5X4'+l=80,

4什1=16,

所以r=l；

(3)不成立.

设4=1,b=-1,c=0,m=n=1,

(-I)=(-IXi),+1+(1-1)"i=l+0=l，

1©01=（1X0）1+,+（1+0）lx,=0+l=l,

即（"”◎〃）◎，=1;

（-1）©0=（-1X0）,+,+（-1+0）2=0+1=1,

（川©犬）=1©1=）=（1X1）,+,+（1+1）,xl=i+2=3

所以中〃"◎（二◎以）.

【点评】本题考查了命题，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证,

而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.也考查了有理数的混合运算、塞的乘方与积的乘方.

14.（2025秋•闵行区期中）探究并解决问题：

定义一种新的运算，叫做“㊉”运算.按照“㊉”运算的运算法则进行计算：

①（+2）㊉（+3）=+5：

②（-2）㊉（+3）=-5；

③（-2）㊉（-3）=+5；

④（+2）㊉（-3）=-5；

⑤。㊉（+5）=5；

⑥（+4）㊉0=4：

⑦（-5）㊉0=5；

⑧0㊉（-3）=3.

C）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“㊉”运算的运算法则：

两数进行“㊉”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加；

一个数与0进行“㊉”运算时，正数与0“㊉”运算的它本身，负数与0“G”运算得它的相反数.

（2）计算：（・3）㊉[2㊉（-4）1；

（3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“㊉”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如

果不适用，举出一个反例即可）.

【考点】命题与定理；：行理数的混介运算.

【专题】实数；运算能力.

【答案】（1）同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“㊉”运算的它本身，负数与0“㊉”

运算得它的相反数；

（2）9；

（3）结合律在有理数的“㊉”运算中不适用，举例见解析.

【分析】（1）根据题意得到“㊉”运算的运算法则即可；

(2)根据“㊉”运算的运算法则计算即可；

(3)根据“㊉”运算的运算法则判断即可.

【解答】解：⑴“㊉”运算的运算法则：

两数进行“㊉”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加，

一个数与0进行“㊉”运算时，正数与0“㊉”运算的它本身，负数与0“㊉”运算得它的相反数.或：

等于这个数的绝对值；

故答案为：同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“㊉”运算的它本身，负数与0“㊉”运

算得它的相反数；

(2)(-3)©|2©(-4)]

=(-3)㊉(-6)

=9；

(3)结合律在有理数的“㊉”运算中不适用.

例如：

[(・3)㊉(・2)]㊉0(・3)㊉[(-2)㊉0]

=+5㊉0=(・3)㊉2

=+5=-5

这时，|(-3)㊉(-2)]㊉0卢(-3)©|(-2)㊉0],所以结合律在有理数的“㊉”运算中不适用.

【点评】本题考查了命题与定理，新运算，正确地理解新的运算的运算法则是解题的关键.

15.(2024秋•沙坪坝区期末)学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究.他发现，如果作等腰三角形

两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等.其解决思路是通过证明

对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据他的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作NABC的平分线，交AC于点£(不写作法，保留作图痕迹)

已知：如图，在△A8C中，AB=AC,平分NA3c交AC于点E,CO平分/AC3交43于点O.

求证；BE=CD.

证明：在中，

f：AB=AC,

A®ZABC=ZACB,

又「BE平分NA8C,平分NAC8,

・•・NEBC=^ABC,②/BCD=^ACB.

:./EBC=/DCB.

又，・・8C=③迤，

:AEBgADCB(ASA).

：.BE=CD.

小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征.请你依照题意完成下面命题:

等腰三角形两腰上的高线的长度④相等.

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图一基本作图.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作组：推理能力.

【答案】见图形：ZABC=ZACB,/BCD,CB,相等.

【分析】以4为圆心，任意长为半径画弧交与交BC于N,分别以M、N为圆心，大于长

为半径画弧，两弧交于K,过K作射线8K交AC于民

由等腰三角形的性质推出NA8C=NAC8,由角平分线定义得到NE8C0/ABC,/BCD=^ACB,

因此NE4C=NQC8,即可证明△EBCgZXQCB(ASA),BE=CD,进一步研究发现，等腰三角形

两腰上的高线均有此特征.即可完成命题.

【解答】如图所示,BE平分NA80

证明：在△ABC中，

'：AB=AC,

・•・NABC=ZACB,

又〈BE平分/ABC,CO平分NAC8,

：.^EBC=^ABC,NBCD另乙ACB,

：.ZEBC=ZDCB,

又，：BC=CB,

:•△EBCWADCB(ASA).

：,BE=CD.

小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征，依照题意完成命题：等腰三角形两腰上的

高线的长度相等.

故答案为：ZABC=ZACB,/BCD,CB,相等.

【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，作图-基本作图，角平分线定义，关键是判

'定二EBCB丛DCB（ASA）.

16.（2025春•黄石期末）如图，有三个条件：①N1=N2,②/C=N。，③NA=NF,从中任选两个作

为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：

以③作为结论的命题是：如图，已知N1=N2,ZC=ZD,求证：NA=NF.

（1）请按要求写出命题：

以①作为结论的命题是：如图，已知NC=NQ,NA=NF,求证：N1=N2.；

以②作为结论的命题是：如图，已知N1=N2,NA=NP,求证：NC=NQ.；

（2）请证明以②作为结论的命题.

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】（I）已知NC=NQ,Z4=ZF,求证：ZI=Z2；已知N1=N2,ZA=ZF,求证：ZC=

ND；

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意要求写出已知求证，写出命题即可求解；

(2)根据平行线的判定可得。8//EC,3F//AC,根据平行线的性质可得/QBA=NC,ND=/DBA,

等量代换即可得证.

【解答】解：(1)以①作为结论的命题是：如图，已知NC=NO,ZA=ZF,求证：ZI=Z2.

以②作为结论的命题是：如图，已知NI=/2,NA=NF,求证：NC=ND.

故答案为：如图，己知NC=/O,ZA=ZF,求证：Z1=Z2；

(2)VZ1=Z2

：,DB//EC

：・NDBA=/C

•・•ZA=ZF

：.DF//AC

：.ZD=ZDBA

，NC=N。.

【点评】本题考查了命题，平行线的性质与判定，掌握平行浅的性质与判定是解题的关键.

考点卡片

1.绝对值

(I)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对俏都是#负数.

(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，〃的绝对值是它本身〃；

②当。是负有理数时，。的绝对值是它的相反数

③当。是零时，。的绝对值是零.

即心|=｛。(〃>0)0(a=0)-a(aVO)

2.有理数的混合运算

(I)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计

算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化

为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分尾相同的两个数，和为整数的两个数，乘积

为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

3.赛的乘方与积的乘方

(I)新的乘方法则：底数不变，指数相乘.

(/')(加，〃是正整数)

注意：①累的乘方的底数指的是累的底数；②性质中“指数相乘”指的是累的指数与乘方的指数相乘，这

里注意与同底数制的乘法中“指数相加”的区别.

(2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

(")〃="仿〃(〃是正整数)

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运川时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计

算出最后的结果.

4.余角和补角

（I）余角：如果两个角的和等于90。（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补

角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它

们就具备相应的关系.

5.对顶角、邻补角

（I）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置

关系的两个角，互为对顶角.

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

（3）对顶角的性质：对顶角相等.

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两

个角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.

6.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角：两条直线被第三条直线所载形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线

（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线

（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.

（3）同旁内角；两条直线被第二条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第二条直

线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.

（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决

定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直

线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“尸”形，

内港角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

7.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

8.三角形的角平分线、中线和高

（I）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做

三角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角