2025-2026学年北师大版八年级数学上学期期末常考题之三元一次方程组

2025・2026学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题

之三元一次方程组

一.选择题（共8小题）

I.（2025春•蔡甸区校级期末）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个,

其中4盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机：8盒中有I个保温杯，2个电子手表，1个蓝

牙耳机；。盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机.经核算，。盒的成本为155元，B盒的

成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为

（）

A.140元B.145元C.150元D.165元

2.（2025春•凉山州期末）若实数x,卜z满足：_2二'年则x+y+6z=（）

、人~~~y*™™J

A.-3B.0

C.3D.不能确定值

3.（2025春•玉溪期末）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、

乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）元.

A.25B.100C.50D.125

x-z=4

4.（2025春•沈丘县期末）方程组z-2y=-l的解是（）

x+y­z=­1

%=7（x=-7

A.y=-5B.|y=5

z=-14\z=-11

x=—7（x=7

C.y=—5D.jy=-15

z=-11（z=11

(x+y=9

5.(2025春•泉州期末)若方程组y+z=7的解满足方程弘-x-)，-z=6,则&的值为()

(z+x=2

A.IB.3C.5D.7

6.（2025春•宝山区校级期末〕用现代高等代数的符号可以将方程组E:广4的系数排成一个表

（2：），这种由数列排成的表叫做矩阵.矩阵（；二）表示x,y,z三元一次方程组，若

4x+y-z为定值，则/与机关系（）

A.m-2t=-1B.m+2t=1C.2m-t=\D.2t+m=-1

7.（2025春•拱里区校级期末）实数。，〃，c满足等式2a+/?+c=-1,a+2b-c=4,则102rt*100/?=（)

A.20B.100C.200D.1000

8.（2025•齐齐哈尔四模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用10（）元钱购买甲，乙，

丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙

种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（）

A.12种B.15种C.16种D.14种

二,填空题（共5小题）

9.（2025春•泸县校级期末）小明妈妈到文具店购买三种学习匠品，其单价分别为2元、4元、6元，购买

这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果用了50元就买下了这些学

习用品，则小明妈妈有种不同的购买方法.

10.（2024秋•荔城区校级期末）若（〃[+2）x+）Je“+z=4是关于筋y,z的三元一次方程，则m=.

II.（2025春•叙永县校级期末）有甲、乙、丙三种货物.如果买甲3件，乙7件，丙I件，共花去3.15

元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元.现在买甲、乙、丙各1件，需要花元.

12.（2025春•大荔县期末）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应

13.（2025春•徐汇区校级期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按

如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置.测量的数据如图所示，则桌子的高度

三,解答题（共2小题）

14.（2025春•东坡区校级期中）解下列方程:

(1)7x+6=16-3x.

3-xx-8

(2)-------------=1.

23

(3x-y=2

(3)

(2x-5y=-3'

x+3y+2z=3

(4)2x-3y-z=-2

4x4-3y-3z=-2

15.(2025春•平舆县期末)［阅读理解］在解方程组或求代数式的直时，可以川整体代入或整体求值的方法,

化繁为简.

(1)解方程组卜+2(%+父=3①.

卜+y=1②

解：把②代入①得，x+2Xl=3,解得x=l.

把x=\代入②得)，=(),

所以方程组的解为

(2)己知卜+3y+5z=30父求x+>z的值.

解：①+②，得10x+10y+10z=40,③

③+10,得x+y+z=4.

［类比迁移］

(I)求方程组4=2。的解.

⑵若图:U，求…的值.

2025・2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题

之三元一次方程组

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BACCCDBD

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•蔡甸区校级期末）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个,

其中4盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机：8盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝

牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机.经核算，。盒的成本为155元，B盒的

成本为10（）元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为

（）

A.140元B.145元C.150元D.165元

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用：运算能力.

【答案】B

【分析】设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为x元、y元、z元，根据3盒和C盒的成本列出

方程组，通过消元法求出x+y的值，再代入4盒的成本表达式求解即可.

【解答】解：设保温杯成本为x元、电子手表成本为），元、蓝牙耳机的成本为z元，根据题意列三元一

次方程组得：

（x+2y+z=100

（2x+3y+z=155'

则（2x+3y+z）-（x+2y+z）=155-100,

化简得：x+y=55,

由x+2y+z=100Wz=100-x-2y,

则A盒成本为：

x+3y+2z

=x+3y+2（100-x-2y）

=x+3y+2OO-2.v-4y

=-x-y+200

=-55+200

=145（元）,

即A盒的成本为145元,

故选：B.

【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键.

2.（2025春•凉山州期末）若实数■V，z满足£一次:则x+），+6z=（）

-Ly十oZ一5

A.-3B.0

C.3D,不能确定值

【考点】解三元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】把z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值.

【解答】解：卜一、=1-42幺，

①-②得：y=-z-2,

把尸-z-2代入①得：x+z+2=1-4z,

解得：x=-1-5z,

把x=-I-5z,y=-z-2代入得：x+.y+6z=-I-5z-z-2+6z=-3.

故选：A.

【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

3.（2025春•玉溪期末）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙I件共需125%,购甲1件、

乙2件、丙3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）元.

A.25B.100C.50D.125

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解.

【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元、），元、z元，

根据题意列三元一次方程得，片;21；北党，

把这两个方程相加得：4,v+4)'+4z=200,

，x+y+z=50,

・・・购甲、乙、丙各一件共需50元，

综上所述，只有选项C正确，符合题意,

故选：C.

【点评】本题考查三元一次方程组的应用，关键是根据系数特点，将两式相加，整体求解.

(x-z=4

4.(2025春•沈丘县期末)方程组z-2y=-l的解是()

[x+y­z=—1

x=7'x=-7

A.y=-5B<y=5

z=-14lz=-11

x=-7X=7

C.y=-5D.y=-15

=-11,z=11

【考点】解三元一次方程组.

【专题】一次方程(组)及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】由③•①可得)=・5,再把)二-5代入②可得z=-11,然后把z=-11代入①，即可求解.

X—z=4(2)

z_2y=-l@,

(x+y—z=-1@

根据消元法可知由方程③-方程①得丁=-5,

把尸-5代入②得z-2X(-5)=-1,

解得z=-11,

把2=-11代入①得(-11)=4,

解得x=-7,

(x=-7

•*-y=-5.

\z=-11

故选：c.

【点评】本题主要考查了解三元一次方程组.熟练掌握该知识点是关键.

任+y=9

5.（2025春•泉州期末）若方程组y+z=7的解满足方程3hx・），・z=6,则k的值为（）

\z+x=2

A.1B.3C.5D.7

【考点】解三元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】将三个方程相加并两边同时除以2可求得x+y+z的值，然后将弘-%-），-z=6变形后代入数

值解关于Z的方程即可.

%+y=9

【解答】解：已知方程组y+z=7,

z+x=2

将三个方程相加可得2A-+2），+2z=18,

则x+y+z=9,

•・•方程组的解满足方程3hx-厂z=6,

/.3k=6+x+y+z=6+9=15,

:・k=5,

故选：C.

【点评】本题考查解三元一次方程组，结合已知条件求得工+y+z的值是解题的关键.

6.（2025春•宝山区校级期末）用现代高等代数的符号可以将方程组。2V：5的系数排成一个表

Q：），这种由数列排成的表叫做矩阵.矩阵（；I［二3表示-＞，，z三元一次方程组，若

4x+y-z为定值，则/与tn关系（）

A.m-2/=-1B.〃?+2/=1C.2m-/=ID.2什〃?=-1

【考点】解三元一次方程组；二元一次方程组的定义.

【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据矩阵定义列方程组可解答.

【解答】解：由题意得：卜+y+"=3⑦

{2x-y+mz=2@

①X2+②得：4x+.y+2/z+〃?z=8,

•:4x+y-z为定值，

.*.2/+m=-1.

故选：。.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，二元一次方程组的定义，理解题意，根据新定义解答问题是此

题的关键.

7.（2025春•拱墅区校级期末）实数b,c满足等式24+Hc=7,a+2A・c=4,则G".].=（）

A.20B.100C.200D.1（X）0

【考点】解三元一次方程组；幕的乘方与积的乘方.

【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】将两个方程相加并整理得。+〃=1，将原式利用哥的乘方及同底数哥乘法法则变形后代入数值

计算即可.

【解答】解：•・•实数小b,c满足等式2a+>c=・1,a+2b-c=4,

，两个方程相加得：3q+3匕=3,

/•6/+Z?=1,

=100"・100"

=100"〃

=1（X）1

=100,

故选：B.

【点评】本题考查解三元一次方程组，塞的乘方，结合已知条件求得。+。=1是解题的关键.

8.（2025•齐齐哈尔四模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，

丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙

种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（）

A.12种B.15种C.16种D.14种

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为1,y,z个，根据题意列方程得5x+2v+15z=100,化简后根

据x,y,z均为正整数，结合。种奖品不超过两个分类讨论.确定解的个数即可.

【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为■y,z个，

根据题意列方程得5x+10y+15z=100,

即x+2y+3z=20,

由题意得文，y,z均为正整数.

①当z=l时，x+2y=17,

・•・尸分别取I,3,5,7,9,II,13,15共8种情况时，人为正整数；

②当z=2时，x+2y=14,

.14-y

••x——2-,

・•・丁可以分别取2,4,6,8,10,12共6种情况，x为正整数；

综上所述：共有8+6=14种购买方案，

综上所述，只有选项。正确，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了三元•次方程组的应用，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关

键.

填空题（共5小题）

9.（2025春•泸县校级期末）小明妈妈到文具店购买三种学习生品，其单价分别为2元、4元、6元，购买

这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果用了50元就买下了这些学

习用品，则小明妈妈有三种不同的购买方法.

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识.

【答案】三.

【分析】根据题意列出方程组，得到汇与z、y与z的关系式，进而根据r），为正数得到关于z的一元

一次不等式组，解不等式组求出z的取值范围即可求解.

【解答】解：设购买三种学习用品的数量分别为X、丁、z,

由题意得，产+4y+6z=56。

,1.5%+3.5y+5.5z=50@

由①（2）得，y=16-2z,x=z-4,

Vy>0,x>0,

.z-4>0

，16—2zA0'

解得4VzV8,

•・・z为整数，

••z=5,6,79

・•・用了50元就买下了这些学习用品，有三种不同的购买方法，

故答案为：三.

【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出三元一次方程组并根据方程

组得到关于z的一元一次不等式组是解题的关键.

10.（2024秋•荔城区校级期末）若（〃[+2）x+），l""+z=4是关于k,y,z的三元一次方程，则〃尸0.

【考点】解三元一次方程组.

【答案】见试题解答内容

【分析】由于（阳+2）X+），IQ1I+Z=4是三元一次方程，可知指数为1,各未知数系数不为0.

【解答】解：•・•（加+2）x+.v""+z=4是关于x,），，z的三元一次方程，

可得：+2W0,|w+11=1,

所以解得：〃?=0，

故答案为：0

【点评】本题考查了三元一次方程组，明白其定义是解题的关键.

11.（2025春•叙永县校级期末）有甲、乙、丙三种货物.如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15

元：如果买甲4件，乙10件，闪1件，共花去4.20元.现在买甲、乙、丙各I件，需要花1.05元.

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】1.05.

【分析】设购买甲、乙、丙各1件分别需要x,y,z元，根据题意，列出三元一次方程组进行求解即可.

【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要X,卜z元，

根据意列二元一次方程组得；

3%+7y+z=3.15®

4x+10y+z=4.20@

3X①-2义②，得：.r+y+z=I.O5；

即现在买甲、乙、丙各1件，需要花1.05元；

故答案为：1.05.

【点评】本题考查三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式.

12.（2025春•大荔县期末）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求山桌子的高度应

是13()cm.

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】130.

【分析】设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方

程求解即可.

【解答】解：设桌子的高度为.“•，〃，站立的小猫的高度为趴着的小猫的高度为zcm,

由第一个图可知，x+y-z=150,

由第二个图可知，x-y+z=110,所以根据题意列三元一次方程组得，

（x+y—z=150

[x—y+z=110'

两式相加可得2x=260,

解得x=130,

所以桌子的高度应该为130cm.

故答案为：130.

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键.

13.（2025春•徐汇区校级期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按

如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置.测量的数据如图所示，则桌子的高度

是50cm.

【考点】三元一次方程组的应用.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】50.

【分析】设桌子的高度为〃。〃，长方体的长为“阳，宽为比加，根据图中两种测量方式测例的数据，可

列出三元一次方程组，再利用消元法解之即可得出结论.

【解答】解：设桌子的高度为生〃?，长方体的长为K、〃?，宽为xc〃?，

根据题意列三元一次方程组得：P+y-X=60®,

,h+x-y=40@

・•・利用消元法，（①十②）+2得：2/z=I00,

解得，h=50,

所以桌子的高度为50。〃，

故答案为：50.

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式.

三,解答题（共2小题）

14,（2023春•东坡区校级期中）解下列方程：

（1）7x+6=16-3x.

3-xx—8

（2）--------=1.

23

（3）产7=2

'（2x-5y=-3

p+3y+2z=3

（4）|2x-3y-z=-2.

（4x+3y—3z=-2

【考点】解三元一次方程组；解一元一次方程；解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】（1）依据题意，根据解一元一方程的i般步骤计算可以得解:

（2）依据题意，根据解一元一方程的一般步骤计算可以得解：

（3）依据题意，根据解方程组的一般步骤计算可以得解：

（4）依据题意，根据解三元一次方程组的步骤计算可以得解.

【解答】解：(1)•・•71+6=16-3%,

7A+3X=16-6.

A10x=10.

.*.x=1.

3-xx—8

(2)由题意,——-——=1,

23

A3(3-A)-2<A-8)=6.

/.9-3X-2A+16=6.

工-5x=-19.

19

3%—y=20

(3)由题意,

.2%-5y=一3②‘

由①得，y=3x-2,

把y=3x-2代入②得，2x-5(3x-2)=-3.

•»x=1•

把x=1代入y=3x・2得，y=\.

・••原方程组的解为

X+3y+2z=3①

2x—3y—z=-2②»

(4x+3y—3z=-2③

，①+②得，3x+z=1@,

②+③得，6x-4z=-4@,

••・④X2-⑤得，6z=6.

，z=l.

把z=1代入④得3x+l=1,

・・・x=0.

把x=0,z=l代入②得，()-3y-l=-2,

,1

••尸3-

・••原方程组的解为=]

【点评】本题主要考查了解三元一次方程组、解一元一次方程、解二元一次方程组，解题时要熟练掌握

并能准确计算是关键.

15.（2025春•平舆县期末）［阅读理解］在解方程组或求代数式的直时，可以用整体代入或整体求值的方法,

化繁为简.

⑴解方程组卜*2（X+.=3①

U+y=1®

解：把②代入①得，x+2Xl=3,解得x=l.

把人=1代入②得）=0,

所以方程组的解为忧；.

/八口左Jx+3y+5z=30①+什

（2）已知｛,二，求x+）4z的1Vl值.

（9x+7y+5z=10©

解：①+②，得10r+lQy+10z=40,③

③+10>得x+y+z=4.

「类比迁移1

（1）求方程组｛：（：［^十彳=2a的解.

⑵若第涉；：：，求x+），+z的直

【考点】解三元一次方程组；解一元一次方程；二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】⑴｛建］

（2）x+y+z的值为I.

【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答；

（2）利用（2）的解题思路,进行计算即可解答.

（）r

【解答】解：（1）/~\

（a-Z?=2©

把②代入①得：3X2+4=20,

解得：a=5,

把a=5代入②得：5-〃=2,

解得:b=3,

••・原方程组的解为：胃="

3=3

（2）16%+5y+z=8①

2x+y-3z=4@

①-②得：4x+4>'+4z=4,

/•X+jH-Z—1,

.\x+y+z的值为1.

【点评】本题考查了解三元一次方程组，解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解,

熟练掌握解方程的整体思想是解题的关键.

考点卡片

1.塞的乘方与积的乘方

（I）辕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（一）（m,〃是正整数）

注意：①哥的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是哥的指数与乘方的指数相乘，这

里注意与同底数靠的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（砧）（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计

算出最后的结果.

2.解一元一次方程

（I）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅