2025-2026学年北师大版八年级数学上学期期末常考题之实数

2025・2026学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题

之实数

一.选择题（共7小题）

22

1.（2025秋•兴庆区校级期中）在数1、-11、0、弼、0.202002>V5中，无理数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2025秋•宇波期中）下列说法：①10的平方根是土VTU；②负数和零没有立方根：③/-1的相反数

是1-e；④16的算术平方根是4：⑤0.008的立方根是02其中正确的有（）

A.①③④⑤B.②@©C.①③D.①②③@@

3.（2025•济南模拟）4的平方根是（）

A.y[2B.±y/2C.2D.±2

4.（2025秋•丹东校级期中）如图，以点4为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的

数为（）

5.（2025春•武城县期末）若2、5、〃为三角形的三边长，则化简J（3—九尸+J（8—九产的结果为（）

A.5B.2〃・11C.11・2〃D.-5

6.（2024秋•东港市期末）如果单项式5心尸与女严”是同类项，则，3m+九的值是（）

A.±6B.V12C.V6D.5

7.（2025春•茄子河区期末）下列各式计算错误的是（）

A.±764=±8B.々（-5）2=--5

1

C牛-D.

216=-65

二.填空题（共6小题）

8.（2025秋•宣化区期中）如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑,兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下

\/5-1J5-11

巴的距离之比约为三一，其中三一_______（填“V”或“=”）

222

9.（2025秋•嘉定区期中）一个正数的两个不同的平方根为%+1和5-小则。=.

10.（2025春•重庆期末）面的算术平方根是.

II.（2024秋•榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是刻度

尺上的和“6C〃J分别对应数轴上的数“X”和“V5”，则X的值为.

XJJ

||||||||||1川叫1川|川1|川平川叫II,叫IlliIII甲川|1川|叫

0cm2345678

12.（2024秋•于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与d2,则。的值为.

13.（2025秋•嘉定区期中）已知企15=1.463,VK5=4.626,V0.214=0.5981,V244=1.289,则

214的立方根是.

三,解答题（共3小题）

14.（2025秋•沈阳期中）阅读理解材料：我们在学二次根式时,了解了分母有理化及其应用.如：

「、2275275

%=

_______1x（'）________」+i

~（V2-l）（^+l）-I>/2）2-12-+1.

上式运算都是分母有理化.根据上面的方法解决下面的问题：

⑴计算:麦

、、-1111

（2）计算：~~p-+~~p~p+~~p尸+…+i—'p.

V2+1V3+V2x/4+V3V10+V9

15.（2024秋•任丘市期末）已知一个正数的平方根分别是2〃+1和4,又〃-4的立方根为-2.

（1）求小（的值;

（2）求5丁人的平方根.

16.（2025春•兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想.如图（I）,把两个边长为1小〃的小正方形

分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2加2的大正方形，试

根据这个研究方法回答下列问题：

图⑴图（2）

（1）所得到的面积为2力〃2的大正方形的边长就是原先边长为M,〃的小正方形的对角线长，因此，可

得小正方形的对角线长为dm：

（2）由此，我们得到了•种方法.能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、6两点表示的

数分别为

（3）通过动手操作，小张同学把长为5,宽为I的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形,

则图中大正方形的边长为

-5-4-3-2-102345

221

图⑶图(4)

（4）若。=-3+注，b=逐一握,求代数式|。+2|+以的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上

表示对应的点.（保留作图痕迹）

2025・2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题

之实数

参考答案与试题解析

一,选择题（共7小题）

题号1234567

答案CADBAC.D

一.选择题（共7小题）

22

1.（2025秋•兴庆区校级期中）在数1、-11、0、弼、0.202002＞遮中，无理数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】无理数.

【专题】实数：数感.

【答案】C

【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可.

【解答】解：无理数有-IT,a，V3,共3个，故选：C.

【点评】此题主要考杳了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理

数，如n,0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.

2.（2025秋•宁波期中）下列说法：①10的平方根是土"U；②负数和零没有立方根：③鱼-1的相反数

是1-/；④16的算术平方根是4：⑤0.008的立方根是02其中正确的有（）

A.①③④⑤B.②@©C.①③D.①②③@©

【考点】立方根；平方根；算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】A

【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可.

【解答】解：①io的平方根是土VTU,正确，符合题意；

②负数和零有立方根，原说法错误，不符合题意；

③或一1的相反数是1一混，正确，符合题意：

④16的算术平方根是4,正确，符合题意；

⑤0.008的立方根是0.2,正确，符合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考杳了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关犍是

要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.（2）一个正数或0只有一个算术平方

根.（3）一个数的立方根只有一个.

3.（2025•济南模拟）4的平方根是（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

【考点】算术平方根：平方根.

【专题】实数；应用意识.

【答案】D

【分析】4的平方根是两个，王负2.

【解答】解：22=2,（-2）2=4,

，4的平方根为：±2,

故选：D.

【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解.

4.（2025秋•丹东校级期中）如图，以点A为圆心，A3的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的

数为（）

A.V5+1B.V5-1C.-V5+1D.-V5-1

【考点】实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】B

【分析】先用勾股定理求出=48=病，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点。表示

的数.

【解答】解：由图可知两条直角边的长为2和1,根据勾股定理得：

AC=AB=V224-I2=V5,

・••点C表示的数为花-1,

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴.熟练掌握以上知识点是关键.

5.(2025春•武城县期末)若2、5、〃为三角形的三边长，则化简J(3—九产+J(8—九)的结果为()

A.5B.2//-11C.11-2〃D.-5

【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】4

【分析】根据三角形的三边关系可求出〃的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简

即可求出答案.

【解答】解：由三角形三边关系可知：3</?<7,

A3-n<0,8-〃>1,

原式=|3-川+|8~n\

=-(3-〃)+(8-〃)

=-3+〃+8-n

=5,

故选：A.

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型.

6.(2024秋•东港市期末)如果单项式5/V1与7.“/”是同类项，则“3m+几的值是()

A.±6B.V12C.V6D.5

【考点】算术平方根；同类项.

【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力.

【答案】C.

【分析1根据同类项的定义列出方程，再求解即可.

【解答】解：由同类项的定义可知m=1,〃什〃=4,

解得〃?=1,〃=3,

V3m+n=V3x14-3=V6.

故选：C.

【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫

同类项.

7.(2025春•茄子河区期末)下列各式计算错误的是()

A.±V64=±8B.-V(-S)2=-5

C.=-611

D.-15

【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根.

【专题】实数：二次根式；运算能力.

【答案】。

【分析】利用二次根式的性质，平方根及立方根的定义逐项判断即可.

【解答】解：±V64=±8,则A不符合题意，

-7^5）2=-1-51=-5,则B不符合题意，

V^216==-6,则C不符合题意，

ARH无意义，则。符合题意，

故选：。.

【点评】本题考查二次根式的性质，平方根及立方根，熟练掌握相关性质及定义是解题的关键.

二,填空题（共6小题）

8.（2025秋•宣化区期中）如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下.巴的距离与头顶到下

巴的距离之比约为三口，其中上口>>（填“或“=”）

22-----2

【考点】实数大小比较.

【专题】实数；运算能力；推理能力.

【答案】>.

【分析】先估算通的大小，进一步判断通-1的大小，从而得出比较结果.

【解答】解：•••by，5y

A2<V5<3,

/.1<V5-1<2,

V5-11

/.----->一,

22

・•・兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为与之其中与1

222

故答案为：>.

【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键.

9.（2025秋•嘉定区期中）一个正数的两个不同的平方根为2a+l和5・a,则。=-6.

【考点】平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】-6.

【分析】根据平方根的定义进行解题即可.

【解答】解：由题可知，

2。+1+5-。=0,

解得a=~6.

故答案为：-6.

【点评】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

10.（2025春•重庆期末）我I的算术平方根是3.

【考点】算术平方根.

【专题】实数；数感.

【答案】见试题解答内容

【分析】如果一个正数x的平方等于即』=小那么这个正数x叫做。的算术平方根.记为6,由

此即可得到答案.

【解答】解：VV81=9,

・••闹■的算术平方根是3.

故答案为：3.

【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义.

II.（2024秋•榕城区期末）将一-把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是\cm）,刻度

尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数和W,则x的值为_V3-5_.

x

||||||||||1川|川111川|川1|川平川叫II1叫IlliIIIIJIlip川

0cm2345678

【考点】实数与数轴；算术平方根.

【答案】见试题解答内容

【分析】观察数轴可知：数轴上对应数“x”和“遮”的两点间的距离为6-1=5,然后根据数轴上两

点距离计算公式列出算式，进行求解即可.

【解答】解：6-1=5,

V3-%=5,

/.%=V3—5,

故答案为：＞/3—5.

【点评】本题主要考杳了数轴上两点距离计算，实数和数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离

公式.

12.（2024秋•于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与〃+2,则。的值为-5.

【考点】平方根.

【专题】实数；数感：运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据“一个正数的两个平方根互为相反数”进行计算即可.

【解答】解：•・♦一个正数的两个平方根分别是3与〃+2,

，a+2=-3,

解得〃=-5.

故答案为：・5.

【点评】本题考查平方根，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是正确解答的关键.

13.（2025秋•嘉定区期中）已知1.463,&1N=4.626,V0214=0.5981,V244=1.289,则

214的立方根是5.981.

【考点】立方根；算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】5.981.

【分析】根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向

左（或向右）移动一位即可求得答案.

【解答】解：VVO^14^0.5981,

工214的立方根,即际4=5.981,

故答案为：5.981.

【点评】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键.

三,解答题（共3小题）

14.（2025秋•沈阳期中）阅读理解材料：我们在学二次根式时.了解了分母有理化及其应用.如：

2752V5

-V5-V5-5

、泛

1x(+1)V2+10+1.

®vh=(V2-1)(V2+1)-(V2)2-l2'

上式运算都是分母有理化.根据上面的方法解决下面的问题:

]

（1）计算:V3-V2：

1111

（2）计算:V2+1+V3+V2+V4+V3+…+V10+V9

【考•点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化.

【专•题】二次根式；运算能力.

【答案】（1）V3+V2；

(2)V10-1.

【分析】（1）把分子分母都乘以（V5+或）,然后利用平方差公式计算即可;

（2）先分母有理化，然后合并同类一次根式即可.

V3+72

【解答】解：（1）原式==V3+V2：

(丹一&)(&+g)

(2)原式=a-1+6一或+V5—V5+...+VTU-g

=Vio-i.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则

是解决问题的关键.也考查了分母有理化与平方差公式.

15.（2024秋•任丘市期末）已知一个正数的平方根分别是2。+1和。・4,又〃-4的立方根为-2.

（1）求a,〃的值：

（2）求5a的平方根.

【考点】立方根；平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可求出a的值，再根据立方根的性质可求出

方的值;

（2）将a,〃的值代入求出5a■〃的值，再根据平方根的性质求解即可得.

【解答】解：（1）•・•一个正数的平方根分别是2〃+1和〃-4,

：.2a+\+(«-4)=0,

解得a=1，

•・》-4的立方根为・2,

・34=(-2)3=-8,

解得b=-4.

（2）由（1）可知，。=1,b=-4,

：.5a-b=5XI-(-4)=9,

•••5。-b的平方根为土眄=±3.

【点评】此题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键.

16.（2025春•兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想.如图（1）,把两个边长为1力〃的小正方形

分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2d病的大正方形，试

根据这个研究方法回答下列问题:

图⑴

（1）所得到的面积为2出齐的大正方形的边长就是原先边长为〃的小正方形的对角线长，因此，可

得小正方形的对角线长为&dm.

（2）由此，我们得到了一种方法.能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、5两点表示的

数分别为1一金1+&

（3）通过动手操作，小张同学把长为5,宽为1的长方形妇图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形,

则图中大正方形的边长为v5

-5-4-3-2-1012345

221

图⑶图(4)

(4)若Q=-3+&,b=V5—>/2,求代数式|〃+2|+依的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上

表示对应的点.（保留作图痕迹）

【考点】实数与数轴；无理数.

【专题】实数；数感；运算能力.

【答案】（1）V2；

(2)1-V2,1+V2；

(3)V5：

（4）V5+1,在数轴表示详见解答.

【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可；

（2）根据正方形的对角线的长为YL再根据数轴表示数的方法进行计算即可；

（3）面积为5的正方形的边长为百即可；

（4）化简|。+2|+|〃|代入计算结果为花+1,再在数轴上表示即可.

【解答】解：（1）边长为1小〃的小正方（的对角线长为Vl?+#=&（dm）,

故答案为：V2：

（2）由题意得，点4所表示的数为1一a,点H所表示的数为1+企，

故答案为：1一鱼，1+企;

（3）由题意可知，正方形的面积为5,因此边长为遥，

故答案为：V5：

（4）•・•〃=-3+&，h=V5-V2,・・.|a+2|+|〃|=a+2+b=-3+或+2+z一或=而+1,

在数轴表示四+1如图所示：

......................f,一

一5一4—3-2-i~0~2~3；4~5

图4

【点评】本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键.

考点卡片

1.平方根

(I)定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做。的平方根，也叫做。的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方杈是零，负数没有平方根.

(2)求一个数〃的平方根的运算，叫做开平方.

个正数a的正的平方根表示为“日”，负的平方根表示为“一G”.

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

2,算术平方根

(I)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数X的平方等于。，即那么这个正数X叫做。的算

术平方根.记为

(2)非负数。的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根〃本身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以

借助乘方运算来寻找.

3.立方根

(I)定义：如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果4=4,

那么x叫做。的立方根.记作：y[a.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中〃叫做被开方数.

注意：符号正中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

4.无理数

（I）、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、2的平方根

等.

（2）、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,1=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如e=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有n

7T

的数，如分数£是无理数，因为TT是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如或，百，狗等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有n的绝大部分数，如27T.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如同是有理数，而不是无理数.

5.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数〃的绝对值就是

在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

6.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负

实数比大小，绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在

原点左侧，绝对值大的反而小.

7.同类项

（I）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项.

同类项中