2025-2026学年北师大版高二数学第三次月考卷（解析版）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第五章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知双曲线C：V+E=i经过点"（_2,指），则C的虚轴长为（）

a

A.272B.2C.72D.1

1.【答案】A

【解析】由点在双曲线=1上，得4+9=1,解得。=-2,即双曲线方程为/-二=1,

aa2

所以b=则C的虚轴长为劝=2及.

故选：A.

2.直线4经过人（0,0）,46,1）两点，直线4的倾斜角是直线4的倾斜角大小的2倍，则，2的斜率为（）

A.GB.-x/3C.立D.一立

33

2.【答案】A

【解析】因为4的倾斜角。满足｛=tana=J£=立，二40,兀），所以解得

V3-036

所以4的倾斜角为其斜率为=6.

故选：A.

3.已知向量=若伍+人）1/>则，〃:（）

A.4B.3C.2D.I

3.【答案】B

【解析】因为。=（1,肛所以d+B=（2,772-1,0），

又因为（4+/?）'/?,所以（a+力）/=2xl+（"z-l）x（T）+0xl=0,

解得：m=3.

故选：B.

4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名

次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.“对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名

次没有甲的好从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（）

A.12B.18C.27D.36

4.【答案】B

【解析】由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况：

当乙得第4名,有C；.A；=I2种可能;

当乙得第3名,有A；=6种可能,

故共有12+6=18种，故B1E确.

故选：B.

5.已知椭圆E：£+=的左、右焦点分别为K，F2,焦距为2,过点吊且斜率不为0的直线

/与£交于AI两点，若A为E的上顶点，且|A同=|忻用，则E的方程为（）

AA.-r4--»--=I।B

549+P

x2y2

Cc.------F----=1D.—+y2=1

322-

5.【答案】A

【解析】由题知c=l,£（T0）,A（0,b）,设由|A8|=g恒8|,

一3一352

所以4片=5耳即（_1,4）=5（/+1,）,。），得％=—a，y0=--b.

由3在椭圆上，得三十%=1,得"=5,

9a29b2

因为°=1,/_〃=02,所以〃=4,

故E：—+^-=1.

54

故选：A.

6.6知直线3x+2y-6=0分别与苍王轴交于点A,5,若直线x+y-1=。上存在一点C,使|C4|+|C8|最小,

则点。的坐标为（）

6.[答案】D

【解析】令y=0得％=2,令*=0得产3,所以A（2,0）,8（0,3）,

如图，点A8在直线x+y—1=0的同侧,

设3（0,3）关于直线x+），-1=0的对称点为8'®万）,

b=I

解得…2,即9（一2,1）,

所以依m二|。同，若|G4|+|C5|最小,即|C4|十|C冏最小,

当C夙A三点共线时|C4|+|C8l最小，即1cAMc用最小，

此时，&.=早；=一!，直线人"的方程为），=一4a一2）,

—2—244

1匕=2

,丁二一;（工一2）3（21]

由.4得」，即rCg}

7.点P是正方体AB8-4溢G仅的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2,若ABAP=2,

AP与平面A4c。所成的角为30。，则点夕的轨迹的形状是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

7.【答案】C

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设P（My,z）,

则4（0,0,0）,4（2,0,0）,所以岫二（2,0,0）,A户=（x,y,z）,

故A8-4P=2x=2，即x=l,所以点尸在面MMZS（四点均为所在边的中点）,

过点〃作尸于点Q,易知PQUSfABCD,

即/PAQ=30,所以tanNPA。=名，即^=Z

化简得：T-y2=1,即点P的轨迹的形状是双曲线,

故选：C.

9+>'2

8.一知椭圆C：=1包>/?>0）的离心率为g,左顶点是A,左、右焦点分别是K，F?,M是。在

第一象限上的一点，直线用人与C的另一个交点为N.若MF//AN,则直线MN的斜率为（）.

A.6B.立C.|D.巫

21127

8.【答案】A

【解析】

因为离心率为故可设a=2A,c=A（A>0）,故b=6k,

故椭圆方程为：上+汇=公，

43

IIII|A£|1NE1

而|A用=〃-c=h优耳|=2h故渴=万，因"Q/AN,故\谒\=5

故直线MN与x轴不垂直也不重合，

故可设MV:x=,〃），一攵，M（x，yJ,N（%,%），则）1=一2%,

由I：二、2s/2可得（4+3〃/）V-6〃依-9/=0,

3x+4y=\2k-'7

6km

金必=石病

一9k2

因£在椭圆内部，故A>0恒成立，且一丁f，

4+3m~

凹=一2%

2

济—6km12km—9km,八2石

故-----7x--------7=--------因攵工0,故机=_2^_,

4+3机24+3/H24+3〃/5

19，275

"八号3旧3卮2石，k

止匕时），=------^―=——k,X=—^—kx———k=-

力4+”4452

5

故M在第一象限，符合条件，MN的斜率为工=正,

m2

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线［：）=依+2女-3,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（-2,-3）

B.若直线/在x轴上的截距为1,则2=1

C.若直线/与直线2x+），-l=0垂直，则女=-!

2

D.若则直线/的倾斜角。的取值范围为

9.【答案】AB

【解析】直线/：），=点+2"3=他+2）-3,令x+2=0即x=-2,得产-3,

所以直线/恒过定点（-2,-3）,故A正确；

若直线/在X轴上的截距为1,则直线/过点(1,0),代入直线/方程得0=k+2k-3,

解得后=1,故B正确；

若直线/与直线2工+)，一1=()垂直，则八(-2)=-1,解得故C不正确；

设直线/的倾斜角为。，则A=:aneNj5,

又。«0.71),所以由正切函数的单调性可知0W故D不正确：

故选：AB.

10.已知/(x)=(2-xj=4+4/+。242++a8f，贝U()

A.4+%+叼+…+/=1B.同+同+同+・一+同=重

C./(一1)除以5所得的余数是1D.%-6+生一生+…+6=3*

10.【答案】ACD

2

【解析】选项A,因为(2—kF=%+%x+a2x++c&f,

令x=l,得到《)+4+〃2+,+4=1，所以选项A正确；

选项B,因为(2-犬『二项展开式的通项公式为(+|=(2；2-(-力"=(-1)'€：；2-/(0WY8,〃cN),

由通项公式知，(2-工)8二项展开式中偶数项的系数为负数，

所以同+同+同+…+同=一《+%-4++4，

由(2-xj=《)+4/+生工2+令x=0,得到劭=2，

令X=-1,得至Ij%-%+%-6+-+。8=3',

所以同+同+闻+•+h|=38-28,所以选项B错误;

84443232,

选项C,因为/(-1)=3=9=(10-l)=1O-C；1O+C^10-Cjl0+l=10x(10-C!l10+C;10-Cj)+l,

所以/(T)除以5所得的余数是1,选项C正确；

对于选项D,令工=-1,得到的-4+的一堂++%=3=

所以选项D正确.

故选：ACD.

11.已知抛物线。：/一4彳的焦点为凡A,5都是。上的动点，。为坐标原点，线段AS的中点为N,过N

作。的准线的垂线，垂足为O,则（）

A.当F为△/。8的重心时，AB1B.当|AB|=10时，|£>N|的最大值为5

C.当［48|=10时，|ON|的最小值为5D.当Ak=3以时，直线A8的倾斜角为三或g

11.【答案】ACD

【解析】

设,y）,8（马,必），。的焦点为尸（I，°），

当户为VAO3的重心时，由重心坐标公式得<+：+°=0,得）1=-%，

则A,B两点关于x轴对称，所以A8_Zx轴，A正确；

分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A，4，

当|岗=10时，产|十忸曰=|例|+|四|=2|DN|,

WiJ|D/V|>l|AB|=5,所以|。凶的最小值为5,所以B错误，C正确；

当A/=3F8且点A在第一象限时，设忸目=机，则|4户|=3〃“例|=3〃7,忸叫=〃7,

过点3作垂足为〃，

则|A//|=|A411TAM=|例卜忸4|=窃7.|阴=|"1+|明=痴，

则cosN/MA—微—g,则从而更线AB的倾斜角为鼻；

2兀

当AF=3用且点〃在第一象限时，同理可得直线AB的倾斜角为与，D正确.

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线4：〃2r+2y+3—6=0与直线2%+邓，+1=0平行，贝小与6间的距离为.

12.【答案】巫

2

【解析】：.nr-4=0>.即"?=土2,

当?》=2时，4与一重合,不合题意，，机=一2,

所以两百线方程为-2x+2y+5=0与-2x+2y-1=0,

・•.4与4间的距离4=灯=吧.

2V22

故答案为：逑.

2

13.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PF=FD,PE=2EB,设平面4石厂与直线PC交于点G,PG=2GC,

贝UA=.

【解析】因为ACnAB+BCnQB+ADnPB+AD—AA，

.2

因为PF=FD,PE=2EB，所以P。=2P£PE=-PB,

3.

所以PC=±PE+2PF-PA,又PG=2GC,

2

132?2y

所以PG=3PC,所以。G=因为AE,£G共面，

A+12(z+l)z+lx+1

所以n十=?―/~7=］，解得4="|.

2(2+1)2+12+13

2

故答案为：—■

14.动点尸是两直线收—>+2=。与工+"-2=。的交点，过尸作圆C：(x+2『+(.y+2『=l的两条切线PA,P8,

切点分别为A,B,则|PC|・|A网的最大值为.

14.【答案】2而

【解析】圆的几何性质可知，PCA.AB,

四边形Heap的面积为51Pqi叫，SACBP=2SPAC=-\PC\\AB\,

4XX2

所以IPC|IAB\=4sP4C=1MI0川=2^|PC|-1

直线4：区一y+2=0,过定点M(0,2),直线广工+砂一2=0过定点N(2,0),

且两直线的系数满足Axl-A=o,所以4山，

所以点尸的轨迹是以MN为直径的圆，圆心是。』)，半径为:|MV|=忘，

所以|PC|的最大值为7(-2-1)2+(-2-1)2+夜=4夜，

所以|PC||A8|的最大值为2寂二?=2同.

故答案为：2\/JT.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知二项式卜工-2)(〃e

N”j的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.

(1)求〃的值及展开式中二项式系数最大的项；

[2)求展开式中的有理项.

15.(13分)

【解析】(1)令X=l,则展开式中各项系数之和为(5-1)"=4",各二项式系数和为2"

则4"-2"=240，解得〃=4,

展开式有5项，二项式系数最大的为第3项7i=C：(5x)[-9]=150x;

(2)二项式5x-7=)的展开式的通项公式为*=C：(5X)4-^--^1=C75"I)/,

令4-二wZ,且/*=0,1,2,3,4,解得厂=0,2,4,

2

则展开式中含汇的有理项有3项，分别为6257,150%,%-2.

16.（15分）

如图，在棱长为6的正方体AEC力中，M是线段8D的中点，N是线段上靠近修的三等分

点.

⑴求AC与例N所成角的余弦值;

⑵求点。到直线的距离.

16.（15分）

【解析】（I）以。为原点，力儿。。，。2为x，）'，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为A(6,0,6),C(0,6,0),则4c=(-6,6,-6),

因为M(3,3,0),N(6,6,4),则MN=(3,3,4),

记直线ACMN所成角为

\\C-MN24_2V102

故COS0=cos

1AqMN6V3-V34~51

DMMN18

(2)因为0(0,0,0),则0M=(3,3,0),故

5/34

则点O到直线MN的距离d=IA//半芈］

\〔MJ

17.(15分)

已知圆C的半径为3,圆心。在射线），=-2x（xt0）上，直线工+），-1=0被圆。截得的弦K为3页.

⑴求圆C方程：

⑵过圆心的直线/与圆C交于M、N两点，月sOMN的面积是6（0为坐标原点），求直线，的方程.

17.（15分）

【解析】（1）设圆心）（。？0），则圆的方程为（]-。『+（/2〃）2=9

•••皿卜（旬,

••.4=2或-4（舍去），

二•圆的方程为（工一2『+（），+4）2=9.

2S|2

（2）由题意得|MN|=6,则点。到直线/的距离〃=下前=7=2,

①当斜率不存在时，此时直线！方程为x=2,

原点到直线的距离为"=2,满足题意.

此时直线/方程为x=2.

②当斜率存在时，设直线I的方程为y+4=A（x-2）,

-2A-4|=2,解得女=一%

原点0到直线I的距离d=

VP"+T

3

此时直线/方程为），+4=-：（x-2）,即3x+4y+10=0.

综上所述，直线/的方程为x=2或3x+4y+10=0.

18.（17分）

如图，设双曲线C:f-2i=|的左顶点为点/，，直线/：＞=履+用与双曲线C相交于A、B两点，且A、

2

B两点均异于点P.

⑴求点P的坐标，及双曲线C的离心率：

[2）若线段AB的中点为求直线/的方程；

⑶若以线段AB为直径的圆恒过点尸，试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过

定点，请说明理由.

18.(17分)

【解析】(1)由题可得：a-\,b=y/2♦c=yja2+b2=>/3>

所以双曲线C的左顶点为P(-1,0),双曲线的离心率为：e=£=J5.

a

(2)由《29小2消去)‘整理得,-2小2叱+(〃八2)"

2222

则A=(2km)-4(w+2)伏2-2)=8(m+2-k)>0t且4工±应,

设4不必),5(如％)，则3+再=会招，

•X—"乙

2k+m=1

由M(2,l)为A8的中点，可得、2A7〃，，

[k--2

解得4=4,/〃=一7,满足△>(),

所以直线/的方程为)，=以-7,即4x-y-7=0.

(3)由(2)知，*+,二一"，中2="：+2.且PA=(x+l,y),P8=(w+l,)，2)，

'k~—2k~—2

则P4•丽=(%]+1)(%2+1)4-yxy2=(%i4-l)(x2+1)4-(kxx+m)(kx2+m)

22

=(k+1)x^2+(km+l)(xx+x2)+(m+1)

八)、机2+2-2km、

92

="+1)•k2_2++1)-fcZ_2+(m+1)

3kz-2km-mz_(3k+m)[k-m')

-k2-2-k2-2，

因以"为直径的圆恒过点P,则有P4.PA=0，

即(3k+m)(k—m)=0,解得〃?=%或〃?=—3k,

当加=2时,直线1y=/x+D过尸(TO),不符合题意;

当m=-3k时,直线/：y=Mx-3)过定点(3,0),

所以直线/过定点，该定点坐标为(3,0).

19.(17分)

(新情景)在平面直角坐标系。一个中，任何一条直线都可以用磔+勿+c=0(其中

。，4CCR/+/+/HO)表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点323)

在直线，上，e=(2,l)是直线I的一个方向向量，则直线I上任意一点Qx,y)满足PQ//e,化简得直线/的方

程为x-2y+4=0.而在空间直角坐标系。-中，任何一个-平面的方程都可以表示成"+b+cz+d=0

(其中且/+小+C2H0),类似的，在空间中，给定一个点和一个半血的法网量也可以确

定一个平面.

⑴若点尸(1,0,0),G(2」,l),H(0,2,0),求平面尸GH的方程;

⑵求证：n=(g〃,c)是平面av+by+cz+d=0(«2+b~+c2*0i的一个法向量；

⑶已知某平行六面体ABCD-ABCR,平面A网A的方程为2x-y+2z+l=0,平面BCC国经过点

/?(0,1,2),5(1,1,3),7(2,