2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末考试卷（带答案与解析）

2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末考试卷（带答案与解析）

学校:班级：姓名：考号：

一.选择题（共10小题）

I.如图所示的几何体，其俯视图是（）

IIIIII

A.1:1I」IB.卜“C.II；I」ID.____L

2.已知关于x的方程a-2）.W+X-4=0是一元二次方程，则A的值为（）

A.±2B.-2C.2D.不能确定

3.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游.在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）.若此时C座已售出,

其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（）

动车二等座某排座位

?000200^

______________________________________题3

题5

4.如图所示网格中，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是（）

A.P]B.PiC.尸3D.尸4

5.如图，已知矩形4BCO面积为50cm2,HB=2athBG=4cm,AE=2cm,FC=5cm,则阴影部分的面积（）

A.23cB.22cm~C.21airD.20cm~

6.一次函数y=6+F+l与反比例函数y=—［在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

7.如图1,一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边

缘.图2是此时的示意图，若BC=6cm,A8=16cm,水面BF离桌面的高度为9.6c〃?，则此时点C离桌面的高

度为（）

A.10cmB.13.2cmC.14.4cmD.

9

AD

BC题10

8.如图，在矩形ABC。中，点A的坐标是（2,-1）,点C的坐标是（2,5）,连接B。，则B。H勺长是（）

A.4B.6C.V5D.V29

9.如图，点A、8在双曲线巾=3（x>0）上，直线A8分别与x轴、y轴交于点C、D,与双曲线”=与（x<0）

交于点E，连接04、0B,若S"OC=20,AB=3BC,AD=DE,则上的值为（）

A.-10B.-11C.-12D.-13

10.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国占代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙

的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱.小亮在如图所示的

“赵爽弦图”中，连接EG,DG.若正方形A8CO与EFG”的连长之比为百：1,则sin/OGE等于（）

V10V53/—2/—

A.---B.—C.——V10D.-

105105

填空题（共5小题）

11.如图，在矩形48C。中，已知AB=4,AD=2,点P,。分别是4B,AC的中点，连接P。，DQ,则四边形A。。？

的周长是.

y

•A

ox

题15

12.对『实数a,b,定义：a*b=a+b,a#b=ab.若jr>0,且满足（l*x）#（l#x）=1,则x=.

13.如图，线段A）两个端点的坐标分别为A（2,2）,B（3,1）,以原点。为位似中心，在第一象限内将线段A4

扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点D的坐标为.

14.如图，在平面直角坐标系中，△0A8位于第一象限，450=90。，点A、C在函数y=野（工>0）的图象上，

其中点8与点。关于线段04的垂直平分线对称，延长C8交x轴于点。，当SAOAB=6或时，OD=.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,2）,点B在），轴上，点C到y轴的距离是3,A8=BC,ZABC

是锐角且sin/A4C=3则△A4C的面积为.

三.解答题（共8小题）

16.(1)计算：Tan450++2025°-2cos600；(2)解方程：1V2+4=7X.

17.图①、图②、图③均是6X6的正方形网格、每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，△

A6C的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按卜列要求作图，保留必要的作图痕迹.

图①图②图③

（1•在图①中，作8c的中线3。：

（2）在图②中，在4c上找一点E,使4E=VC；

（3）在图③中，以C为对称中心画一个中心对称四边形人8MM且点M、N在格点上.

18.在矩形A8CQ中，连接BD,延长8c至E,使BE=BD,过点E作EF〃8。交A。延长线于点F.

（1）求证：四边形4EFO是菱形；

（2）连接8F,若BC=3,CD=4,求线段8尸的长.

20.2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台I月份的

销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件.

(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价

每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天

获利12(X)元，则售价应降低多少元？

21.综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如卜.综合性学习.

【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿4处投射到底部B处，入射光

线与水槽内壁AC的夹角为NA：

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.(直线MV'为法线，AO为入射光线，0。为

折射光线.)

【测量数据】如图，点A,B，C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20c〃?，N4=45°,折射角

NZ)ON=32°.

【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答卜列问题：

(1)求BC的长；

(2)求8,。之间的距离(结果精确到0.1cm).(参考数据:sin32°-0.52,cos32°—0.84,tan32°-0.62)

22.已知：双曲线y=*(ZV0).

(1)若直线y=x-4与双曲线交于点(2,〃?)，求攵和，〃的值；

(2)在(1)的条件下，直线y=/-4分别交x粕］、y轴于点8、C,若团3CPQ的顶点。在

双曲线上，点。在平面内，且I2OCPQ的面积是某个定值，符合条件的点〃有且只有二个,

求点P的坐标；x

(3〕若点B(4,0),点4双曲线的第二象限，连接AO并延长AO交双曲线于点。，连接

BD交双曲线于点E(点。在点E的左侧)，连接AE交x轴于点区若点A的横坐标为-1,

求OF的长.

23.【阅读理解】在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下:对于任意的正数a”,都有Q+匕工2疯,

当且仅当“〃=〃”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具.例如:若公>0时，则有％+21?=2,

即％+：工2,当且仅当‘3=："，即工=1时，等号成立，从而％+：有最小值为2.

【类比求值】（1）填空：若Q0,则“的最小值为.此时尸

2X2-5X+3

【拓展应用】（2）若x>0,求代数式---------的最小值；

x

【问题解决】（3）现有一个面积为1.5的锐角三角形A8C,按照如图所示的方式裁剪正方形

DEFG,正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：

设AC=a,4c边上的高8"=心最终推导出x=高.

①请你补充该小组的推导过程；

②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可.由S“8c为定值，

即浦=3,可得h+率请结合以上信息，求底边长。为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？

参考答案与解析

一.选择题（共10小题）

题号1234567S910

答案DBCBBDCBCA

一.选择题（共10小题）

1.【答案】D

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可.

【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是:

故选：D.

【点评】此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于

基础题.

2.【答案】B

【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0,由这两个条件

得到相应的关系式，再求解即可.

【解答】解：根据题意得因=2且k・2W0

解得2=-2

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,

一般形式是公+c=o（且。W0）,特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点.

3.【答案】C

【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小亮和爸爸相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【解答】解：列表如下：

ABDE

4(A,B)(A,D)(A,E)

B(B,A)(B,D)(B,E)

D(D,A)（。，B）(D,E)

E(£A)(E,B)(E,D)

共有12种等可能的结果，其中小亮和爸爸相邻而坐的结果有；（4,B）,（A,A）,（/）,E）,（E,。），共4种

41

，小亮和爸爸相邻而坐的概率为二=

123

故选：C.

【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

4.【答案】B

【分析】连接C4,DB,并延长，则交点即为它们的位似中心.继而求得答案.

【解答】解：•••如图，连接CA,。8,并延长，则交点即为它们的位似中心.

・•・它们的位似中心是P2.

故逃：B.

【，点.评】此题考杳了位似变换.注意根据位似图形的性质求解是关键.

5.【答案】B

【分析】设矩形的长AB=CD=aa〃，宽AD=BC=bcm,得矩形ABC。面积="=50（切2,AH=a-2,CG=b

-4,DF=a-5,DE=b-2,然后根据三角形的面积公式即可解决问题.

【解答】解：设矩形的长48=CO=acm,宽AD=BC=bcm

，矩形ABCD面积=a〃=50<7"2

•：HB=2cm,BG=4cm,AE=2cm,FC=5cm,如图

Aa-2H2B

Da-5F5C

：,AH=a-2,CG=b-4,DF=a-5,DE=b-2

阴影部分的面积=IxAE*AH+xBH*BG+\xFC*CG+\xDF*DE

乙乙乙乙

=1x[(2(a-2)+2X4+5(〃-4)+(。-5)(〃-2)]

=ix(-6+ab)

1

=1x(-6+50)

=22(cm2)

故选：B.

【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握矩形的性质.

6.【答案】。

【分析】分别根据反比例函数及•次函数图象的特点对各选项进行逐•分析即可.

【解答】解：•.•一次函数)，=h+3+1中，炉+1>0

，直线与y轴的交点在正半轴，故A、8不合题意，C、。符合题意

。、由一次函数的图象过一、二、四象限可知4V0,由反比例函数的图象在二、四象限可知2>(),两结论相矛

盾，故选项C错误；

。、由一次函数的图象过一、二、三象限可知Q>0,由反比例函数的图象在二、四象限可知女>0,故选项。正

确；

故选：。.

【点评】本题考杳的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键.

7.【答案】C

【分析】过点。作桌面的垂线CM，垂足为点M，交8F于点N：过点8作桌面的垂线4P,垂足为点P：根据

题意易得BP=MN=96cm,通过证明△CN8s△A尸B,求出BN=3.6cm,再根据勾股定理求出CN=

y/BC2-BN2=4.8cw,最后根据CM=CN+MN,即可求解.

【解答】解：过点。作桌面的垂线CM，垂足为点M,交8尸于点M过点8作桌面的垂线BP,垂足为点尸

•・•水面3”离桌面的高度为9.6cm

：・BP=MN=9.6cm

YBF//AP,CMLAP

:・CN1BF

•・•/CBN+NABF=ZABP+ZABF=90°

:・NCBN=NABP

又,：ZCNB=/APB

:.△CNBSAAPB

BNBC„BN6

/.—=—,即---=—

BPAB9.616

解得：BN=3.6

根据勾股定理可得：CN=>JBC2-BN2=4.8(cm)

••・CM=CV+MN=4.8+9.6=14.4(cm)

即此时点。离桌面的高度为14.4cm.

故选：C.

/阿］水面高度

/:由桌面

帆2P

图1

【点评】本题考杳了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的应用，认识立体图形，关键是勾股定理的熟练应用.

8.【答案】B

【分析】连接AC,根据矩形的性质得8D=AC根据点A的坐标是(2,・1),点C的坐标是(2,5),得AC

=6,进而可以解决问题.

【解答】解：如图，连接AC

•・•匹边形48C。为矩形

•・•点,A的坐标是（2,-1）,点C的坐标是（2,5）

，AC=6

的长是6

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键.

9.【答案】C

【分析】过点E作£K_Ly轴于点K,过点A作x、y轴的垂线，垂足为G,H,过点8作x轴的垂线，垂足为F,

连接OE,HF,BH,AF,先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF=DH,证明（AAS）,则

AD=BC,再证明二△4”。（A4S）,则S*KD=SAAHD，ED：AD：AB：BC=\：1：3：1,则S^ODE=SA。.。=

iOGAD1i

ZSAAOC=5,由AG〃丁轴，得到77=—=则4Go=SAAHO=rS=4,则S,MOH=S"-S^AHO=1,

看C/CDCb。Aj40C。。

则可求S^OEK=S&OED+S^EKD=6=2l^zl♦即可求解ki的值.

【解答】解：过点£作EK_Ly轴于点K,过点4作X、,，轴的垂线，垂足为G,H,过点8作.'轴的垂线，垂足

为F,连接OE,HF,BH,AF

由条件可知SA04H=SAO8F=2

•・・8F〃y轴，八〃〃x轴，人G〃y轴

••S^OAH=S/\AHF=S^OHF=S^BFH

由条件可知△人”f，△8H"在尸，上的高相等

・••匹边形。山必为平行四边形

：,BF=DII

a：AH//x^

:・/DAH=NBCF

,/NAHZ)=NC尸8=90°

:•丛AHDW4CFB(AAS)

：,AD=BC

在4EKD和△4"。中

ZEDK=乙ADH

乙EKD=乙AHD

AD=DE

:,△EKD/RAHD(AAS)

♦♦S公EKD=S&AHD,AD=ED

*：AB=3BC

；・ED：AD：AB：BC=\：1：3：I

1

：,ED=^AC

4

1

-X2o5

•SODE—S^0AD—4sAAOC4

••,AG〃y轴

OGAD11

*'oc~DC~3+1+1—5

.•S”G0=SMHO=5SMOC=5x20=4

SMDH=S^AOD-SMHO=5-4=1

:.SAEKD=SMHD=I

••^LOEK=^hOED+S^EKD=5+1=6=2|七1

;双曲线丫2=3。VO）经过第二象限

：.k2=-12

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数A的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形

的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”

的性质是解题的关键.

10.【答案】A

【分析】由题意得：卜2+匕2=（迷%）2,解得：（a=2xt进而求解.

【解答】解：过点。作NO_LGE交GE的延长线于点N

由题意如，两个正方形之间是4个相等的三角形

设的长直角边为小短直角边为b,大正方形的边长为巡以小正方形的边长为x

即ED=3G=HC=AF=b,AG=BH=CE=DF=a,EG=y[2b

由题意得:k2+接=（国产，解得：仁2%

（a-b=x3=x

在aGDE中，EG=V2GH=y/2b,她NE=ND=*ED=*b=去,EG=V2GH=V2（a-b）=V2.v

则lanZDGE=罂=g

则sinNOGE=^

故选:A.

【点评】本题为解直角三角形综合运用题，涉及到正方形的性质，确定。、。和工之间的关系是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.【答案】5+V5.

【分析】根据矩形的性质得4c=口勿+"2,结合题意得PQ为丛ABC的中位线，则力P=PQ=28。和

DQ=^AC,即可求得周长.

【解答】解：•・•四边形A8CO是矩形

：,BC=AD=2,NB=9U°

/.AC=7AB2+Be?=V42+22=275

•・•点P，。分别是AB,AC的中点

工尸。为△ABC的中位线

：,AP=^AB=2,PQ=^BC=^x2=l,DQ=1x=V5

・•・匹边形ADQP的周长=PQ+4。+力P+DQ=1+2+2+通=5+遍

故答案为：5+通.

【点评】本题主要考杳矩形的性质、三角形中位线的性质和勾股定理，关键是根据矩形的性质得AC环T豆守

解答.

—14*^5

12.【答案】

【分析】根据新定义a*b=a+b,a#b=ab,可得l*x=l+x,l#x=x,则(l+x)Ux=x(l+x)>再根据(l*x)#(l#x)

=1,可得：x(l+x)=1,解一元二次方程求解即可.

【解答】解：•：a*b=a+b,cAb=ab

:.1苒1=1+X,1#x=x,(1+x)#,v=x(1+x)

,:(l*x)#(l#x)=1

'.x(1+x)=1,即x1+x-I=0

._-l±Jl2-4xlx(-l)_-1+/5

・・%=2——2-

.-1+北-1-75

••Xj=29%2=2

Vx>0

._-14-75

・・%――2—.

乂心外生-1+V5

故答案为：~.

【点评】本题考查了解•元二次方程，理解新定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

13.【答案】（6,2）.

【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出。点坐标.

【解答】解：•・•以原点0为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段CO

・・・8点与。点是对应点

•••8点的坐标为（3,1）,位似比为：1：2

・••点D的坐标为：（6,2）

故答案为：（6,2）.

【点评】小题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题的美键.

14.【答案】3.

【分析】先根据题意推出△ACO会△。84,然后通过设0。=机分别求出点A和点。的坐标，进而判定£。是4

04尸的中位线，并推出。4=0/=2加，最后利用两点距离公式建立关于/〃的方程，解方程即可求出机的值.

【解答】解：如图，过点C作x轴的平行线交40于点E,连接。C,延长AC交x轴于点E

根据题意点B和点C关于线段AO的垂直平分线对称，则线段AC和OB也关于线段AO的垂直平分线对称.

，匹边形ACB0是等腰梯形，四边形0DCE为平行四边形.

根据轴对称的性质，△ACO0AOBA

S^AOC=S^OAB=()yf2

*.*SLAOC=SMEC+S^OEC=^EC*yA

设OD—EC—in,贝！]SMOC=^rnyA—6y[2,即yA=XA=

・•・直线。4的函数解析式为：＞，=萼匕

根据函数图象平移的性质，直线C0的函数解析式为：＞，=辱

联立直线C。解析式和反比例函数丫=第(％＞0)求解点C坐标为(，小半).

根据平行线分线段成比例可得：坐=当=""="

OAAFyc2

・・・£C为△40〃的中位线

：,OF=2EC=2m.

又•・•ZACO=ZABO=90a

・•・直线0C是线段AF的垂直平分线

：.0A=0F=2m

122

则。4之=%/+y/=(-------)2+(-m)2=(2m)2,解得加=3.

m3

・・・OD=3.

故答案为：3.

【点评】本题考杳了反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称的性质，中位线定理，两点距离公式等知识点，

根据轴对称的性质得出△ACOg^OBA是解答本题的关键.

15.【答窠】故答案为:8.5或4.

(分析】根据点C到)，轴的距离是3可分为以下两种情况：(1)当点C在y轴的左侧时，此时又有两种情况：

①兰点8在y轴的正半轴上时，过点8作y轴垂线/,过点C作CG_LAB于G,过点4作人/_L直线/于F,在

8尸的延长线取一点。，连接A。，使NAQ8=N4BC,在尸8上取一点E,连接AE,使NE=NA8C,过点C作

CK_直线/于K,则NAQ8=NA6C=NE,根据A(1,2),点C到)，轴的距离是3得4K=3,8尸=1,根据sin

NAD8=sin/ABC=sin/E=£在RlZXCOE中设4”=4a,AD=5a,则=3。，BD=BF+DF=3a+T,cosZ

Q

ADB=证明△840和△EBE全等得8O=CE=3〃+1,AD=BE=5cbWOEK=BE-BK=5a-3,根据cos/E

=cos/40B=1^=,得〃二率则A/=4a=9/2,再由勾股定理求出AB=8C=竽，然后再求HCG=马等，进

而可得△ABC的面积；②当点8在），轴的负半轴上时，同①可得△A8C的面积；（2）当点。在y轴的左侧时，

只有一种情况，即点B在y轴的正半轴上，过点8作），轴垂线/,过点。作CGJ_AB于G,过点4作A/_L直线

/于F,在用的延长线取一点Q,连接A。，使NQ=NA6C,在4尸上取一点E,连接CE,使N3EC=N48C,

过点。作。昭1直线/于K,则sin/。=sinN4BC=sin同（1）①得A/=4a,BF=3a,AD=5a,cos

Q

ND屋,BF=LBK=3,BD=3a-1,AABDmABCE,进而得AD=BE=5a,CE=BD=3a-I,EK=5a-3,

再根据cosNO=cos/BEC=|^=',得〃=1进而得"=4〃=3,再由勾股定理得/W=8C=JTU,然后再求

出CG=空，进而可得△月8c的面积：综上所述即可得出答案.

【解答】解：•・•点。到），轴的距离是3

，有以下两种情况：

（1）当点C在y轴的左侧时

,・•点8在），轴上

工又有两种情况：

①考点8在），轴的正半轴上时，过点3作），轴垂线/,过点C作CG_L4/3于G,过点A作AEL直线/于凡在

B尸的延长线取一点。，连接4。，使乙4OB=NABC,在尸8上取一点E,连接AE,使NE=/A8C,过点C作

图1

：.ZADB=ZABC=ZE

•・•点A的坐标为（1，2）,点。到），轴的距离是3

：.BK=3,BF=\

4

VsinZABC=I

4

/.sinZsinZABC=sinZE=卷

在RdCQ尸中，sinZ4DB=^=1

・••设4/=4〃，AD=5a

由勾股定理得：DF=，4"-”2=3.

FD3

：.BD=BF+DF=3a+\,cosZAD£?=/]

cosZ.E=cosXADB=2

*/ZABE=ZBAD+ZADB

XVZ：ABE=Z：EBC+ZABC,Z1ADB=Z1ABC

:・/BAD=NEBC

在△BAD和△£8E中

(/.BAD=乙EBC

\^ADB=乙E

l4B=BC

1•△84度△EBE(AAS)

，3D=CE=3a+l,AD=BE=5a

：.EK=BE-BK=5a~3

EK

EC=

*5a—33

3(i+l5

9

a=-

8

9

A而--

2

._________/or

在RlA/W尸中，由勾股定理得：AB=\/BF2+AF2=

CG4

T---

在RtZXBCG中，sinZAZ?C=85

AS/,ABC=^AB*CG=*xx2=8.5：

②些点8在y轴的负半轴上时，过点8作），轴垂线/,过点C作CG_LA8于G,过点A作4凡L直线/于F,在

B少的延长线取一点。，连接AQ,使NAQ8=N4BC,在/力上取一点七，连接A£,使NE=/A8C,过点C作

图2

（2）当点。在），轴的左侧时，只有一种情况，即点8在），轴的正半轴上

过点〃作,轴垂线/,过C作CG_A4于G,过点A作AFJ_直线/于凡在〃。的延长线取一点。，连接AD,

使NO=NA8C,在8/上取一点E,连接CE,使NBEC=NABC,过点。作。0_直线/于K,如图3所示：

则N£>=ZABC=/BEC

4

:.sinZD=sinZABC=sinZBEC=1

同(1)①得：AF=4a,BF=3a,AO=5〃，cosNO=1,8F=I,BK=3,BD=3a-I,△人8。0△BCE(/MS)

J

：.AD=BE=5a,CE=I3D=DF-BF=3a-I,EK=BE-BK=5a-3

FK3

VcosZD=cosZSFC=霞=g=3'5

5a—13

3a-l-5

•,.AF=4a=3

在RtZ\AB尸中，由勾股定理得：AB=y/AF24-BF2=V10

：.AB=BC=VTO

在RlZ\8CG中，sin/A8C=需

：.CG=^BC=1x710=iy5

；&ABC=：A8・CG=；x同x=4.

综上所述：△43C的面积为：8.5或4.

故答案为:8.5或4.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，坐标与图形性质，三角形的面积等，熟练掌握坐标与图形性质，三角形

的面积公式，灵活运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和直角三

角形是解决问题的难点，分类讨论是解决问题的易错点.

三.解答题(共8小题)

16.【答案】(1)-3；

c_7-717_7+g

⑵%!———»x2——4—•

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、负整数指数帚和零指数界分别运算，再合并即可：

(2)把方程化成一股式，再利用公式法解答即可.

【解答】解:(1)-tan45°+(-犷+2025°-2cos60。

=-1+(-2)+1-2x1

=-3+1-1

=-3；

(2)V2A2+4=7A

/.2A-2-7,v+4=0

：.a=2,b=-7,c=4

VA=(-7)2-4X2X4=l7>0

._7±/17_7±>/17

-X=~2^r=^~

.7—g7+717

,*xi=-4-，x2=-4—•

【点评】本题考查了实数的运算，解•元二次方程，熟知以.上知识是解题的关键.

17.【答案】(1)作图见解析过程；

(2)作图见解析过程；

(3)作图见解析过程.

【分析】(1)取格点G、H,连接G”交AC于点D,连接即可；

(2)取格点P、F,连接交AC于点E,则点E满足条件，即为所作的点：

(3)延长4C到M,延长4c到N,且使AC=MC,BC=NC,显然M、N均是格点，依次连接4MNM,MB,

则可得四边形4BMN是中心对称图形.

【解答】解：(1)如图①，取格点G、H,连接G”交AC于点O,连接6。，则30为所作的中线；

图①

(2)如图②，取格点尸、F,连接尸尸交AC于点£,则=

图②

(3)如图③，延长人。到M,延长8C到M且使人C=MC,BC=NC,显然M、N均是格点，依次连接人M

NM,MB,则可得四边形A8MN是中心对称图形.

图③

【点评】本题考查了矩形的性质，中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键.

18.【答案】(1)见解析；

(2)4V5.

【分析】(1)根据矩形性质先判定四边形8EFQ是平行四边形，然后有8E=8。即可证明菱形；

(2)先根据矩形性质得到人。和八8的长度，然后用勾股定理算出8。即为。凡然后算出A尸的长度，在利用

勾股定理计算8户即可.

【解答】(1)证明：由矩形可得：BE//DF

■:EF//BD

・•・匹边形BEFD是平行四边形

•；BE=BD

・•・平行四边形8"。是菱形：

(2)解：在矩形ARCO中，/A=90°,AD=BC=3,AB=CD=4

在RlaAB。中，BD=>JAB2+AD2=5

由(1)得：DF=BD=5

：.AF=AD+DF=S

在Rt/^ABF中，BF=y/AB2+AF2=V42+82=46.

【点评】本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握相关图形的基本性质，并能结合勾股定理计算线段长度是

解题的关键.

19.【答案】见试题解答内容

【分析】(1)点A(・2,1)代入y=费可求出反比例函数的解析式，从而得到点3的坐标，再把点A,B的坐

标代入丁=&+匕，可求出一次函数的解析式，即可；

⑵设直线AB与X轴交于点C,求出点C的坐标，再根据S,\AOB=SMOOS&BOC,即可求解；

(3)直接观察函数图象，即可求解.

【解答】解：(1)反比例函数图象过点A(-2,1)

1=鸟，解得：〃?=-2

・••反比例函数的解析式为y=-1

把点B(〃，・2)代入丫=一乡导：

2

-2二-余解得：〃=1

工点8(1,-2)

把点A(-2,1),8(1,-2)代入)，=近+近得:

・•・一次函数的解析式为)，=-X-I；

(2)如图，设直线48与x轴交于点C

：.C(-1,0)

:.oc=\

•・•点A(-2,I),B(1,-2)

113

:•S^AOB=SMOC+S&BOC=]Xlxl+2Xlx2=2；

⑶观察图象得：关于x的不等式匕+y空勺解集为-24V0或X>1.

【点评】本题主要考查了反比例函数与•次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够

运用数形结合的思想观察两个函数值的大小美系是解题的关键.

20•【答案】（I）月平均增长率是20%.

⑵售价应降低30元.

【分析】（1）设月平均增长率是-利用3月份的销售量=1月份的销售量X（1+月平均增长率）2,即可得出关

于x的一元二次方程，解之取其正值即可；

（2）设售价应降低），元，则每件的销售利润为（lOO-y-60）元，每天的销售量为（20+^X4）件，根据使销

售该公仔每天获利1200元，列出关于），的一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【解答】解：（1）设月平均增长率是x

根据题意得：5（1+x）2=7.2

解：XI=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：月平均增长率是20%：

（2）设售价应降低），元，则每件的销售利润为（100-J-60）元，每天的销售量为（20+5x4）件

依题意得：（100-y-60）（20+5x4）=1200

整理得：）2-30尹200=0

解得：＞4=20,”=10（不符合题意，舍去）

答：售价应降低20元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等最关系，正确列出一元二次方程是解题的关健.

21.【答案】（1）BC=20cm；

（2）BD=3.8cm.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可；

（2）利用锐角三角函数求出。N的长，然后根据计算即可.

【解答】解：（1）在中，NA=45°

・・・N8=45°

：,BC=AC=2（）cm；

（2）由题可知ON=EC=9C=1Ocm

：.NB=ON=iOcm

又•••NOON=32°

，DN=ON,tanNDON=Wlan320*10X0.62=6.2cm

：・BD=BN-DN=10-6.2=3.8cw.

【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.【答案】（1）k=-4,m=-2.

（2）（-2,2）或（6-4V2,-6-4V2）或（6+4企，-6+472）.

⑶2.

【分析】（1）先把点（2,/〃）代入直线y=x-4求出机的值，再把（2,-2）代入双曲线表达式求得左值.

（2）根据题意先判定点，在双曲线第二象限只有一个位置，并根据双曲线的对称性求出该点坐标，然后根据直

线平移规律求出点P在第四象限时直线PQ的解析式,与双曲线解析式联立即可求出点P在第四象限时的坐标.

（3〕设点A坐标为（-1,-k）并得出点。坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式并与双曲线解析

式联立求出D、E两点坐标，再通过构造A”〃GE,根据平行线分线段成比例求出。尸的长度.

【解答】解：（I）把点（2,而代入直线y=x-4,tn=-2.

又因（2,-2）在双曲线尸色上，则・2=净，k=-4.

故左=-4,m=-2.

（2）对于直线y=x・4和双曲线尸一之联立两解析式可得：-7=^-4

整理得：x2-4x+4=0,解得：x=2,此时y=-2

故根据图象可以看出直线8c与双曲线的第四象限的这一支相切，切点M坐标为（2,-2）.

根据平行四边形的性质，PQ//BC

根据双曲线轴对称和中心对称的性质，结合团8c尸Q的面积是某个定值，旦符合条件的点P有且只有三个

可以得出：直线PQ与双曲线的第二象限的这一支相切或直线P0与双曲线的第四象限的那支相交，这样符合条

件的点P在第二象限只有一个，在第四象限有2个.

根据双曲线中心对称的性质，直线PQ在第二象限与双曲线相切时切点P与点M关于原点中心对称，则点P坐

标为（-2,2）.

如图直线PQ交x轴于点K.

根据双曲线的轴对称性质，（）K=（）B=4,/3K=8,S^PCB=S^.KCB=2S^OCB=16.

当点?在第四象限时，由于16,则点P到BC的距离和第二象限时点P到BC的距离相等.

根据直线平移的规律，PQ在第四象限时的解析式为尸（x-8）-4=x-12.

(4%=6-4企或x=