2025-2026学年北师大版九年级数学上学期期末必刷常考题之相似三角形的判定与性质

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之相似

三角形的判定与性质

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•长治期中）在△A3C和△£）£尸中，已知怨=g=空，若容这二士则空的值为（）

DEEFDFS&DEF9DE

2394

A.—B.-C.-D.—

3249

2.（2025秋•青龙县期中）如图，在平行四边形"CD中，点E在4D上，且AE=2£7）,CE交对角线BD

于点F,则SzxCDF：S^CBF为:）

3.（2025秋•宣化区期中）如图I,将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼

成如图2所示的图形（点。，G,H,C在同一直线上，点。，凡8在同一直线上），则尸G的长为（）

图1

2

A.-B.-C.3-V5D.3+V5

34

4.（2025•天宁区校级一模）如图，正方形网格中每个小正方形边长为I,点A、B、C都在格点上，AC.

8c分别与网格线交于点£）、E,则DE的长为（）

123

A.-B.-C.ID.-

332

5.（2025秋•清镇市期中）如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，AB=6,AE=2,EC=1,

且=二7,则DB的长为（）

C.4D.6

6.（2025秋•兴隆台区期中）如图，nABCD中，EF//AB,DE：EA=2：3,EF=6,则CQ的长为（）

A.15B.10C.8D.16

7.（2025秋•咸阳期中）如图，在AABC中，8c=9,8/平分N八BC交AC于点F,点。，E分别是边4B,

.,,...j..人。AE1EF1

AC上的点，连接。E,^-=-=-—=一，则BD-DE的值为（）

EC6

5

C.3D.-

554

8.12025•长春）将直角三角形纸片A/?C（ZC=90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（）

MNDEPQ

C.AN=BQ=、NQD।・—

'DE~PQ~BC

二.填空题（共5小题）

9.（2025秋•昌平区期中）如图，在△A8C中，点。，£分别是边AB,AC的中点，则△AOE与△A8C的

面积之比等于

A

10.（2025秋•碧江区期中）如图，在RtZ\A8c中，ZC=90°,AC=6,8c=8,这个直角三角形.上可以

剪出一个面积最大的正方形的边长是.

11.（2025秋•长治期中）将矩形ABCQ和矩形GCM按照如图所示的方式摆放，连接ED,AF,若翳=^=

4

。月=6近，则AF的长为.

12.（2025•青岛）如图，在正方形43CQ中，E,尸分别为CQ,人。的中点.连接8r并延长交AE于点G,

交C。的延长线于点M,，为BE的中点，连接G〃，CH,CG.下列结论：®CH//AE；②NM=30°；

13.（2025秋•府谷县期中）如图，四边形A8C。是正方形，点E在边A。上，4BE/是以E为直角顶点

的等腰直角三角形，EF,8户分别交。。于点M,N,过点尸作A。的垂线交AO的延长线于点G.连接

DF,若DE=1,DF=272,则MN=.

三.解答题（共2小题）

14.（2025秋•昌平区期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O.

（1）图中有对相似三角形；

（2）连接。E,试判断△OQE与AOCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由.

15.（2025秋•长宁区校级期中）如图，在平行四边形A8C。中，对角线AC、相交于点0,AC1AD,

过点4作垂足为£过点。作CFJ_CD交AE的延长线于点F.

(1)求证：CA・CD=CB*CF；

(2)联结CE,求证：ZACE=ZF.

D

0

E

B

C

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之相似

三角形的判定与性质

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案ABCBAAAD

一.选择题（共8小题）

1.（2025秋•长治期中）在△/WC和AOE小中，已知怨=翌=经，若容照二士则空的值为（）

DEEFDFS^DEF9DE

23

A.-B.-

32

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】先证再根据相似三角形面积比是相似比的平方即可得解.

【解答】解：,嘿

EF~DF'

:AABCSADEF,

由相似三角形面枳比是相似比的平方可知:

S—BC4,工日、°

SxDEF9DE

*AB2

••一:

DE3

故选：A.

【力:评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

2.（2025秋•青龙县期中）如图，在平行四边形"CO中，点£在人。上，且AE=2EQ,CE交对角线BD

于点/，则SaCDF:S^CBF为:)

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】三角形：多边形与平行四边形；图形的相似.

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质可得AO=8CAD//BC,进而由AE=2EQ可得DE=£力。再由

DPDE1

AQ〃4。得到△O£7?s/\8C广，根据相似三角形的性质可得荔;==■=彳，由此求出S/sCDF：S^CBF.

BFBC3

【解答】解：:四边形ABC。是平行四边形，

：,AD=liC,AD//BC,

<AE=2ED,

：,DE=AD=\BC.

oo

*：AD//BC,

:•△DEFS^BCF,

DFDE1

••,

FBBC3

S2CDFDF1

-----=—二一，UPSACW：S^,CBF=1：3.

S»CBFFB3

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键.

3.（2025秋•宣化区期中）如图1,将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼

成如图2所示的图形（点。，G,”，C在同一直线上，点。，凡8在同一直线上），则/G的长为（）

D

1®/®!,①/②L

图1C图2

23

A.-B.-C.3-V5D.3+V5

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】C

r2

【分析】先结合图1和图2,得Gb=AH,再证明故；一==，最后运用配方法解

2-r4-r

得「=一行+3,即可作答.

【解答】解：•・•将边长为2的三方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图

形（点。，G,H,。在同一直线上，点。，F,B在同一直线上），

AGF=AH,EF=AB=2,NDFG=/B=90°

设G产=4"=r,WOFB=2-r=BH,

：.DB=DF+FB=4-r,

VZDFG=Zi?=90a,ZD=ZD,

:.△DGFSXDHB,

•GFDF

••=9

HBDB

r2

印—=一，

2-r4-r

解得r=V5+3>2（舍去），r=—75+3,

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程,

正确掌握相关性质内容是解题的关键.

4.（2025•天宁区校级一模）如图，正方形网格中每个小正方形边长为I,点八、夙C都在档点上，AC.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】B

CE2DE

【分析】先根据平行线分线段成比例定理推导出九=:，再由DE//AB,证明△OECS/XABC则二=

CB3AB

CE299

—=-，求得于是得到问题的答案.

【解答】解：如图，取格点从F,连接C”、BH、EF,

•正方形网格中每个小正方形边长为1,

・A4=1,CF=2,CH=3,

'EF//BH,

CECF2

'CB~CH~3

*DE//AB,

.△DECS^ABC,

DECE2

'AB~CB~3f

,DE=^AB=I，

【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△OECs4

A/3C是解题的关键.

5.（2025秋•清镇市期中）如图，在中，D,石分别是人人C上的点，人4=6,AE=2,EC=\,

AnAP

且二7=77，则DB的长为（）

DBEC

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】A

ADAE6-X2

【分析】设。『，则加6i=-W—=?解得x=2.

【解答】解：由题可知：48=6,设BO=x,则4。=6-%,

ADAE

AE=2,EC=\,

DB~EC

6-x2

••~9

X1

解得x=2,

：.DB=2.

故选:A.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，属于基础题.

6.（2025秋•兴隆台区期中）如图，o/WCD中，EF〃AB,DE：EA=2：3,EF=6,则8的改为（）

A.15B.10C.8D.16

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】4

【分析】根据得△DEFSADAB,从而EF：AB=DE：DA=2：5,即可求出AS的长，从而

解决问题.

【解答】解：尸〃A8,

:.ADEFs4DAB,

：.EFtAR=DE：DA=2t5,

A6：AB=2：5,

・"B=15,

•••四边形ABC。是平行四边形，

.\AB=CD=\5,

故选：A.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题

的关键.

7.（2025秋•咸阳期中）如图，在△ABC中，BC=9,8广平分NABC交AC于点尸，点。，E分别是边4B,

40AE1EF1

AC上的点，连接DE,若—=—=一，一=则BQ-DE的值为（）

ABAC3EC6

A

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力.

【答案】4

【分析】延长DE,BF交于点G,可证得DE//BC,得出8O=QG,可证△EFGs4

CFB,求出EG=1BC,则BD・DE的值可求.

40AE

【解答】解：如图，ZDAE=ZBAC,—=—,延长。E,BF交于点G,

/.ZADE=ZABC,

J.DE//BC,

:・/CBG=NDGB,

•・•NABC的平分线BF交AC于点F,

:./DBG=/CBG,

:・/DBG=/DGB,

••・13D=DG,

YEG//BC,

:.△EFGsXCFB、

EGEF

••—>

BCCF

EF1

,?—=EC=EF+CF,

EC6

EF1

••=一,

CF5

1o

：,EG=”C=£

g

则80一DE=DG-DE=EG=三.

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握

相似三角形的性质.

8.12025・长春）将直角三角形纸片4灰?（/。=90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（）

1

C.AN=BQ=»/Q

~PQ~BC

【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例.

【专题】三角形；图形的相似；展开与折叠.

【答案】D

【分析】由折叠可得：QE_LAC,PQLAC,MN±AC,AM=MD=DP=PC,则MN//DE//PQ//BC,

那么△AQES^AC/3s△4MAsA4PQ,继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一

判断即可.

【解答】解：由折叠可得：DE1AC,PQ1AC,MN1AC,AM=MD=DP=PC,

••・血〃。后〃尸。〃8。，故4正确，不符合题意；

・•・△AOEs"CBs/\AMN,

tDEAD1MNAM1

''BC~AC~2DE~AD~2

：・BC=2DE,DE=2MN,

:,BC=4MN,

:.BC=2DE=4MN,故8正确，不符合题意；

*：MN//PQ//BC,

tPCBQ1AMAN1PMQN1

"AC~AB~4AC~AB~4'AC~AB~2

111

：,BQ=AN=QN=初,AN=BQ=+NQ,故C正确，不符合题意；

1乙乙

•••△AOES/\4CBSZ\AMNSZ\APQ,

.MNAM1DEAD2PQAP3

''DE~AD~2PQ~AP~3*BC~AC~4’

：.—MN^：—DE^-PQ^,故。错误，符合题意，

DEPQBC

故选：D.

【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知

识点并灵活运用是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

9.（2025秋•昌平区期中）如图，在△44C中，点Q,£分别是边A8,AC的中点，则△AQE与△A8C的

面积之比等于1：4.

B

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】推理填空题；三角形；推理能力.

【答案】1：4.

【分析】由中位线的性质可知。上〃8C、DE=^BC,由。E〃8c可得△AQES/\4BC,根据相似三角

形的性质可得，受包=（登心.

^ABCBC

【解答】解：:。、E分别为A8、AC的中点，

JOE是△A8C的中位线，

：,DE//BC,DE=』BC,

乙

AZADE=AABC,NA=NA,

JAADEsXABC,

;DE=/c,

•SRADE="2=A2=1

SABC（8C）（2）膜

故答案为：1：4.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，属于中档题.

10.（2025秋•碧江区期中）如图，在RtzMBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,这个直角三角形上可以

剪出一个面积最大的正方形的边长是三

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】y.

【分析】当四个点在三角形的边上时面积为最大，对此进行分类讨论进行求解面积进行比较即可.

【解答】解：当正方形CDFE为下图的情况时,

:.设FE〃DC,DC=EF=CE=x,BE=8-x,

:.△ABCSRFBE,

EFBE

••一，

ACBC

*x8-x

••—，

68

24

x=—,

2424576

••・正方形CDFE的面积为彳Xy=—

当正方形GH1J为下图的情况时,

B

VZC=90°,AC=6,Z?C=8,

：.AB=yjAC2+BC2=10,

11

••SAABC=jAC-BC=^AB•CK,

:・AC・RC=AB・CK,

••・6X8=10CK,

・・・CK=4.8,

设正方形G”"的边长为x,

•・•四边形GHIJ为正方形,

工NBHI=NAGJ=9C,IJ//AB,

：.HI//CK//GJ,

:.△CIJsRCBA,ABlHsABCK,

HIBI1JCI

CK~BC'AB-BC9

BICK_CIAB

,BC=BDC=F~

BICK_CIAB

HI-IJ

4.88/10C/

—,

XX

・・.4.83/=10a,

又・；BI+C1=BC=8,

.200.96

•®=37‘rOR

200

一HIBI,X

・••在=中，_37

CKBC4.8-8

._120

一W

12012014400576

正方形GHIJ的面枳为方X-----=-----------<-------

37139649

・•・面积最大的正方形的边长是一

故答案为：y

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和正方形的性质，分类讨论是解决本题

的关键.

ADGG

”.(2。25秋哝治期中)将矩形48。和矩形""按照如图所示的方式摆放,连接鼠",迷=

GF

4

一,DE=6^2,则Ar的长为10V2

3-----

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】1()72.

【分析】连接AC和CF,易证△ACOsZ^/rcE,再证△ACFS^DCE,进而即可得解.

【解答】解：如图，连接4C和CR

在矩形ABC。、矩形CEFG中，CE=GF,EF=CG,NADC=NCEF=90：

.40CG

''CD~'GF'

.ADCD

'''CG=~GF

ADCD

•■=9

EFCE

AACQs△尸CE,

4ACD=NFCE,

JNACD+NFCD=NFCE+NFCD,即^ACF=/ECD.

•:AACDsAFCE,

.ACCD

••CF一CE

AAACF^ADCE,

AFAC

•♦=9

DECD

•A•D_4

•——，

CD3

AC5

•*•1e

CD3

AF5

DE=6应,­7==一，

6>/23

解得AF=10V2.

故答案为：10a.

【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关

键.

12.（2025•青岛）如图，在正方形A8CO中，E,尸分别为CQ,A。的中点.连接8尸并延长交4E于点G,

交CO的延长线于点M,"为8E的中点，连接G",CH,CG.下列结论：①C"〃A£：②NM=30°；

③S4CGH=4S正方形A8cn®AG-MF=CD-AF.正确的是①@（填写序号）.

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】证明AADEgABCE（SAS）,推出NAEQ=NBEC,再由直角三角形斜边中线的性质求得NHCE

=/BEC,推出N〃CE=NAE。，可得到C〃〃AE,故①正确；证明N"=N/W〃，由正切函数的定义

可判断②错误；由平行线的性质求得SKG〃=5KM，即可求得S*G〃=gs下方形AB。，故③错误；证明

4GAF

RAFGsXMFD,推出「；二工7，再等量代换即可证明④正确.

MDMF

【解答】解：•・•四边形A3c。是正方形，

：,AD=BC,NA£）E=/4CE=9（）°,

•・•点石为CO的中点，

:・DE=CE,

:•△ADE9XBCE(SAS),

ZAED=ZBEC,

•・•点，为BE的中点，

:,HC=HE

・二ZHCE=NBEC,

；・NHCE=NAED,

：.CH//AE,故①正确；

••,四边形ABC。是正方形，

:.AB〃CD,BPAB//DM,

JZM=NABF,

四边形ABCD是正力形，

：.AD=AB,NBA产=90°,

,・,点广为AD的中点,

11

：.AF=^AD=*B,

AF1

/.tanM=tan^ABF=丽=

...N”=30°,故②错误：

,JCH/ZAE,

••S/\CGH=Sz^CEHf

设正方形A8CD的边长为2a,

，S正方形A8c'/)=(2a)2=4/，S^CEH==|x|x2axa=1a2,

；,SACGH=正方形"CD,4SM方彩ABCD,故③错误;

•・•四边形ABC。是正方形，

・・・AD=A8,ZADE=ZBAF=90a,

•・•点£,/分别为CD,A。的中点，

:・DE=AF,

AAADE^ABAF(SAS),

：.ZEAD=ZFBA,

ZM=ZFBA,

：,ZM=ZEAD,

:.RABFsXDMF、

,ABAF

"DM~DF'

，•点尸为八。的中点，

•组AF

''DM~DF~•

:,DM=AB=CD,

■:NAFG=NMFD,NM=NEAD,

:.XAFGSXMFD,

.AGAF

MD-MFf

，：DM=CD,

tAG_AF

・'co-MF'

：,AG*MF=CD*AF,故④正确；

故答案为：①④.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角

形，掌握以上知识是解题的关键.

13.（2025秋•府谷县期中）如图，四边形A8CQ是正方形，点E在边AQ上，△出亦是以E为直角顶点

的等腰直角三角形，EF,分别交CO于•点M,N,过点尸作AD的垂线交AO的延长线于点G.连接

「26

DF,若DE=LDF=272,则MN==.

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的全等；图形的相似：几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图所示，过点。作。产，。。于Q,先证明△/WEgZXGE/7得到G/=人及GE=AB,进而证

明AE=G。，得至l|GF=OG=2,则AB=8C=CO=GO+OE=3,证明四边形FGOQ是矩形，得至UFQ

=DG=2,CD//FG,DQ=GF=2,证明△OEMS/\GE”，求出DM=2,证明△BCNS"QM求出

CN=1c(?=I，则MN=CD-DN-CN=^.

【解答】解：如图所示，过点。作。几LCD于Q,

•・•四边形A8CO是正方形，

/.ZA=90°,AD=AB,

•；ABEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形,

AZBEF=90°,BE=EF,

AZAEB+ZGEF=90°,

：.ZABE=/GEF,

VFG171D,

AZG=ZA=90°,

/.△AfiE^AGEF(AAS),

：,GF=AE,GE=AB,

•*.AB=AD=GE,

:,AE=GD,

:・GF=GD,

VDF=2A/2,

AGF=DC=^DF=2,

：,AB=BC=CD=GD+DE=3,

VCD1DG,FGLDG,FQLCD,

••・四边形FGOQ是矩形，

；・FQ=DG=2,CD//FG,DQ=GF=2,

J△OEMsAGEF,CQ=CD-DQ=1,

DMDE,DM1

-----=,BP=一,

FGGE23

：.DM=援2，

J

VBC1CD,FQLCD,

J.FQ//BC,

:.△BCNSXFQN,

.CN_BCCN3

"QN-QF'QN-2

・・・CN="Q。

nonA

：.MN=CD-DN-CN=3-^-^=^,

26

故答案为：—.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等

腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

三,解答题（共2小题）

14.（2025秋•昌平区期中）如图，在△A8C中，BD、CE分别为△A8C的两条高，且交于点O.

（1）图中有6对相似三角形；

（2）连接。石，试判断△OOE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】证明题：推理能力.

【答案】（1）6；

（2）相似,

证明：・・・B。、CE分别为△/WC的两条高,

・・・/0硝=/0。。=90°，

•：/BOE=/COD,

:•△BOEs^COD,

•OBOE

•'=,

OCOD

OBOC

•♦=9

OEOD

*：ZBOC=ZEOD,

:.AODEsXOCB.

【分析】（l）通过分析三角形的角的关系，找出满足相似三角形判定条件的组合，共得到6对相似三角

形；

（2）先由高的性质和对顶角相等证明△BOEs/icoo,推出比例关系，再结合角相等，证明△OOEs

△OCB.

【解答】解：（1）题图中相似三角形有△ABQS/XACE,△BOES^C。。，ACOD^ACAE,△CO。

ABEOsABDA,△BOESXCAE,

共6对.

故答案为6；

（2）相似；

证明：・・・8。、。石分别为△ABC的两条高，

：.ZOEB=ZODC=90°,

♦:4B0E=4C0D,

:ZOEs^COD,

.OBOE

**OC-OD'

OBOC

OE~OD

'：4B0C=4E0D,

:•△ODEs^OCB.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，属于中档题.

15.（2025秋•长宁区校级期中）如图，在平行四边形48CQ中，对角线AC、4。相交于点0,ACA.AD,

过点A作人及L4O,垂足为£过点。作C/J_CO交AE的延长线于点F.

（I）求证：CA・CD=CB・CF；

（2）联结CE,求证：/ACE=/F.

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力.

【答案】(1)•・•四边形A8CD是平行四边形，AC1AD,

J.BC//AD,

AZACB=ZDAC=90°,

•••AE_L8O于点E,CF_LCO交AE的延长线于点凡

.•・NAZi8=N"C/=9()0，

，NACF=NBCD=90°+ZACD,

9：ZCAF+ZAOE=W,NCB/)+NBOC=90°，且NAOE=/BOC,

：.ZCAF=ZCBD,

：./\CAFs丛CBD,

CACF

••_•_—__，

CBCD

，C4・CO=CB-C尸.

(2)联结CE,ZOAE=ZOBC,NAOE=NBOC,

:./\AOEs4BOC,

•O_A___O_E

♦•~~，

OBOC

•_O_A__O_B

••,

OEOC

NAOB=ZEOC,

:.△AOBS4EO3

：.NAB"ZACE,

'：AB//CD,

JNABO=NBDC,

JNACE=/BDC,

由（1）得ACAFSACBD,

:,/F=/BDC,

NACE=NF.

【分析】（1）由平行四边形的性质得8C〃A。，因为4C_L4。，所以NAC8=ND4C=9（r,由AE_L

BD于点E,Cr_LCO交AE的延长线于点R得NAEB=NDCF=90°,则NAC尸=NBCO=90°+Z

C4CF

ACD,再证明NCAr=NC8Q,则△C4Fs/\C8。，所以一=一，则C4・CO=C3・C”.

CBCD

（2）联结。后,由/。4£=/。8。,NAOE=NBOC,证明△AOES/XB。。,得”=竺，变形为"=—,

OBOCOEOC

再证明aA。8s△EOC,得NA8O=NACE,因为NA8O=N8OC,所以NACE=N8OC,由相似三角

形的性质得/尸=N8OC,则/ACE=NF.

【解答】证明：（1）•・•四边形A3CO是平行四边形，ACLAD,

J.BC//AD,

：.ZACB=zmc=900,

•••AE_L8。于点E,C凡LC。交4E的延长线于点F,

•••/AE8=N。=90。，

AZACF=ZBCD=90°+ZACD,

'：ZCAF+ZA0E=9Q°,ZCBD+ZBOC=90°,且NAOE=NBOC,

:,NCAF=NCBD,

：・4CAFs4CBD,

*CACF

•■=9

CBCD

:.CA*CD=CB・CF.

（2）联结Cb•：NOAE=/ORC,