2025-2026学年湖南省长沙某中学八年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项）

1.（3分）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革（）

A中BOC.SD典

2.（3分）2025年9月3日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，北京天安门广

场举行了盛大的阅兵仪式.在阅兵仪式上，这款导弹射程超过20000公里，可以覆盖全球任意角落（）

A.2X1（）4B.0.2X105C.20X103D.2X105

3.（3分）已知三角形两边的长分别是1和6,则这个三角形第三边的长可能为（）

A.7B.6C.5D.4

4.（3分）如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板（）

5.（3分）如图，线段48为某景区缆车的缆绳，N4是缆绳与水平面4。的夹角.已知月8=200米,

则缆车从位置A到位置B,垂直上升的高度6C为（）

A.150米B.10S%米C.100米D.10S及米

6.（3分）长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出

行带来了便利，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固（）

第1页（共23页）

A.三角形具有稳定性

B.直角三角形两锐角互余

C.三角形两边之和大于第三边

D.三角形内角和等于180。

7.（3分）如图，有两根长度相等的木棍8c和E尸分别靠在垂克于地面的墙的两侧，己知N4BC=NDEF

A.AC=DFB.ZACB=65QC.AB=DED.4ABe冬ADEF

8.（3分）长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，若NB4C=

120°.则下列结论：®BD=DCx②△48。是直角三角形；®2AD=AC.其中正确的个数是（）

A.1个R.2个C.3个D.4个

9.（3分）如图，已知N"C=/及C8,且点力，要根据“S4T证明氏则还需要添加的条

件是（)

B.NBAC=/CDBC.AC=DBD./ACB=/DBC

10.（3分）如图，在等边△48。中，48=4,点。，£1分别在边力/且4）=CE=1.当PQ+PE的值最小

时，8P的长为（）

第2页（共23页）

A

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）等腰三角形的周K为10c，〃，腰K为4c/〃，则底边的长为cm.

12.（3分）如图，在△48C中，点。在8C的延长线上，N8=4（）°,则N/CO的度数是

13.（3分）如图，已知出△力C8,且点。在3c边上，ZCJD=20°，则N£4C=

14.（3分）如图，在△48C中，点。在8C边上，若AE=2cm,△48。的周长为8c〃?cm.

15.（3分）如图，在RiZUBC中，ZJ5C=90°,根据图中尺规作图的痕迹，可得

16.（3分）如图，。为△ABC中力C边上的一点，DC=2AD,AE=3BE,若△OEC的面积为2

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9

第3页（共23页）

分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（_1）2025包国+1]_&|+沈.

18.（6分）先化简，再求值:2（a2b+ab3）-3（a2b-ab3）+a2b,其中a=-2,b=1.

19.（6分）已知△48。的各顶点坐标分别为4（-2,3）,8（・5,1）,C（-3,5）.

（1）画出△/IBC向右平移5个单位长度后的图形△由阴Ci；

（2）画出△*6。关丁x釉对称的图形△出历C2；

20.（8分）某校为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、预防近视，促进学生身心全面发展，开设

了多种体育特色课：A.篮球，C.排球，D.羽毛球，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体

学生中随机抽取部分学生进行调查，绘制了如下两幅统计图：

事人数

根据统计图提供的信息，解答下列问题:

第4页（共23页）

（1）本次共调查了名学生，在扇形统计图中，〃的值是,扇形统计图中E所对

圆心角的度数为

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校共有3600名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢特色课。的学生人数.

21.（8分）如图，在△49C中，NACD=NB

（1）求证：△ACB为直角三角形；

（2）若/4C8的平分线CE交力8于点CDtAB于点D,/B=60°

22.（9分）“湘超”联赛（湖南省足球超级联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动

的开展.为响应此热潮，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购/

①购买1个A类足球与3个B类足球，花费290元；

②购买3个4类足球与3个4类足球，花费390元.

（1）A类足球和B类足球的单价分别为多少元？

（2）若学校计划采购48两类足球的总数量为60个，并要求同时满足以下两个条件：①采购4类

足球的数量不超过22个

23.（9分）如图，在四边形处?CO中，ZABC=ZC=90a,且和力£分别是NC。力和NQ46的角平

分线，OE的延长线和48的延长线交于点立

（1）求证：△/£</四△/EO；

（2）若。。=2,48=3,求线段力。的长度.

24.（10分）在平面直角坐标系巾，我们将点尸关于x轴的对称点记作点P，再将点P关于）轴的对称点

记作点尸2，则称点为点Q关于x轴和y轴的“一中对称点”.例如：点P（3,1）关于x轴的对称点

为点尸1（3,-1）,点。1（3,-1）关于y轴的对称点为点P2（-3,-1）,所以点P（3,1）关于x

轴和y轴的''一中对称点”为点尸2（-3,-1）.

第5页（共23页）

(1)点力(3,-4)关于x轴和y轴的“一中对称点”前的坐标是;

(2)点、B(2a+b,a-b)关于x轴和)，轴的“一中对称点”取的坐标是(-8,4),求a司人的值；

(3)若点C(x-w+1,9掰+3-4x)关于x轴和y轴的“一中对称点”C2在第三象限，且满足条件的x

的整数解恰有两个，求机的取值范围.

25.(10分)如图，△48c与△力E短均为等腰三角形，AB=AC,NEAD=NBAC,。为线段8c上一个动

备用图

(1)求证：BE=DC；

(2)将△48c分为△ACT)和△月两部分，记S^ABD=S2；将△力。七分为△4EG

SS-

和△XQG两部分，记SjEG=S3，5力£>6=54.求证：一-=—―:

S2S4

(3)若AE工AC,且NBAD=2NBDE,BD=4

第6页(共23页)

2025-2026学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DA.BBCABDAC

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项）

1.（3分）当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革（）

A毋BOC.8JD典

【解答】解：A,8,C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；

。选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；

故选：O.

2.（3分）2025年9月3日，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，北京天安门广

场举行了盛大的阅兵仪式.在阅兵仪式上，这款导弹射程超过20000公里，可以覆盖全球任意角落（）

A.2X104B.0.2X105C.20X103D.2X105

【解答】解：20000=2X104.

故选：A.

3.（3分）已知三角形两边的长分别是1和6,则这个三角形第三边的长可能为（）

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：设这个三角形第三边的长是X，

由三角形三边关系定理得到：6-Kx<3+1,

A5<x<5,

・••这个三角形第三边的长可能为6.

故选：B.

4.（3分）如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板（）

第7页（共23页）

0°

-50。（

A.50°B.60°C.65°D.70°

【解答】解.：由题知，

因为180°-50。-70。=60°,

所以需要补的角的度数是60°.

故选：B.

5.（3分）如图，线段为某景区缆车的缆绳，N力是缆绳片B与水平面4C的夹角.已知48=200米,

则缆车从位置J到位置B,垂直上升的高度8C为（）

A.15（）米B.100\/§米C.100米D.10S历米

【解答】解：在中，ZC=90°,48=200米，

则8C=LB=100（米），

2

工缆车从位置力到位置B,垂直上升的高度BC为100米，

故选：C.

6.（3分）长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出

行带来了便利，兴联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固（）

A.三角形具有稳定性

B.直角三角形两锐角互余

C.三角形两边之和大于第三边

D.三角形内角和等于180°

第8页（共23页）

【解答】解：联路大桥采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固.

故选：A.

7.（3分）如图，有两根长度相等的木棍4c和后b分别靠在垂直于地面的墙的两侧，已知NABC=/DEF

A.AC=DFB.ZACB=65°C.AB=DED.AABC@/\DEF

【解答】解：由题意可知，NCAB=NFDE=90：

在△力8c与△O£77中，

rZCAB=ZFDE=90°

'NABC=NDEF=35°，

BC=EF

:•△ABg^DEF(AAS),故选项。正确；

：.AC=DF,AB=DE,C正确：

•：NABC=35°,ZCAB=W,

AZACB=90a-35°=55°,故选项4错误;

故选：B.

8.（3分）长沙杜甫江阁的屋顶设计采用了等腰三角形结构，如图，工程师在检修时发现，若NB4C=

120°.则下列结论：①BD=DC；②△48。是直角三角形；④2力。=力0其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：・・•阁楼顶部中线力。恰好也是高线,

・•・△48。是等腰三角形，△48。是直角三角形,

:,BD=DC,/BAD=/CAD,

VZ^C=120°,

.•・N6=NC=3(T,

第9页（共23页）

：.2AD=AC,故④正确;

故选：D.

9.（3分）如图，己知且点力，要根据“S/1S"证明△/"。0△。。从则还需要添加的条

件是（)

B./BAC=/CDBC.AC=DBD.AACB=ADBC

【解答】解：添加

在△力BC与ADCB中，

rAB=DC

'ZABC=ZDCB*

BC=CB

:•△ABg^DCB(SAS),

故选：A.

10.（3分）如图,在等边△48C中,48=4,点。,£分别在边44,且4）=C£=1.当PQ+PE的值最小

C.3D.3.5

【解答】解：作点。关于8C的对称点。'，连接E。'交BC于P,最小值为E。'，

•••△48C是等边三角形,

AZABC=ZC=60°,AB=BC=AC,

第10页（共23页）

•••48=4,AD=CE=\,

:.BC=8,BD=4-1=3,

•・•点。和关于，C的对称，

：,BD'=BD=3,/DBC=/D'5c=60°,

BC=NC,

，：NBP»=NCPE,

:./XPCEs丛PBD',

・PC=CE=1

••而BD，百，

•.•PC_1

BC4

,:BC=2,

；,PC=l,

:.BP=4-4=3,

故选：C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）等腰三角形的周长为10c/〃，腰长为4c〃?，则底边的长为2c〃?.

【解答】解：•・•等腰三角形的周长为10S〃，腰长为4c/〃，

工底边的长为10-4X8=2（cw）.

故答案为：2.

12,（3分）如图，在△48。中，点。在8C的延长线上，N8=40°,则NZC。的度数是一100°

故答案为：100°.

13.（3分）如图，己知△力EO出△力C8,且点。在3c边上，ZCJD=20°,则N£4C=60°

第11页（共23页）

EA

CDB

【解答】解：,:△AETY^XACB、

：・NE/ID=NCAB=80°,

VZCJD=20°,

/.ZEAC=ZEAD-ZCAD=^O°-20°=60°,

故答案为：60°.

14,（3分）如图，在△48C中，点。在8C边上，若AE=2cm,△力BQ的周长为8cM12cm.

【解答】解：・・・。/?是/C的垂直平分线，

；•AD=CD,AE=CE=2.CHI

.\AC=AE+CE=4cmf

•••△48。的周长为2°〃，

：.AB+AD+BD=Scni,

：.AB+BD+CD=Scm,

:.AB+BC=6cm,

：.AB+BC+AC=l2cm,

•••△力8。的周长为\2cm.

故答案为：12.

15.（3分）如图，在RtZ\48。中，/ABC=90：根据图中尺规作图的痕迹，可得N4BD=50

・•・//=180°-90°-50°=40°,

第12页（共23页）

由图中作图的痕迹得8O_L4C

:./ADB=90°,

:.NABD=9G-ZA=50°,

故答案为:5().

16.(3分)如图，。为△/AC中/C边上的一点，DC=2AD,AE=3BE,若△HEC的面积为2I

:♦SADEC=2S^AED，

△。叱=8,

,*•^f\AED=S/.DEC=I；

•；AE=3BE,

:・AB=7BE,

**.SyBC=AS^BEC，

S^ABC=S^AED+S^DEC+S^BEC^

4S^BEC=3+2+5AZ?£C>

•'・S^BEC=1-

故答案为：8.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分,第22、23题每题9

分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（-1）2025改国+1「我"沈.

【解答】解：原式=-1+3+由-1+2=2X巧.

18.（6分）先化简，再求值：2（a2b+ab3）-3Ca2b-ab3）Sb,其中。=-2,6=1.

【解答】解：2（a2b+ab6）-3Ca2b-ab4）+a2b

=2a5b+2ab3-3a2b+3ab5+a2b

=5ab4,

当a=-2,b=1时.

第13页（共23页）

19.(6分)已知△力8c的各顶点坐标分别为Z(-2,3),5(-5,1),C(-3,5).

(1)画出△力8。向右平移5个单位长度后的图形△由81。；

画出△48C关于x轴对称的图形△出历Q；

(2)如图，△血历。2即为所求.

第14页(共23页)

20.（8分）某校为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、预防近视，促进学生身心全面发展，开设

了多种体育特色课：4篮球，C.排球，D.羽毛球，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体

学生中随机抽取部分学生进行调查，绘制了如卜两幅统计图:

根据统计图提供的信息，解答下列问题:

（1）本次本调查了10。名学生，在扇形统计图中，，〃的值是-24,扇形统计图中七所对圆心角

的度数为36

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校共有3600名学生，根据抽样调杳的结果，请你估计该校最喜欢特色课力的学生人数.

【解答】解：（1）被调查人数为184-18%=100（人），

样本中选择“D.羽毛球”所占的百分比为24；100义100%=24%；

样本中选择“E.其他”所占的百分比为104-100X100%=10%,

故答案为：100,24：

（2）100-18-26-24-10=22（人），补全条形统计图如下:

（3）3600X24%=864（人），

答：该校3600名学生中最喜欢特色课。的学生人数大约有864人.

第15页（共23页）

21.（8分）如图，在△48C中，/ACD=/B

（1）求证：△/C8为直角三角形;

（2）若/力@的平分线CE交力4于点£,CD工人B于点、D,NB=60°

【解答】（1）证明：•:NACD=/B,NBCD=NA,

,NACD+NBCD=/B+NA,

VZA+ZB+ZACD+ZBCD=\SOQ,

A2（ZACD+Z8CD）=180°,

AZACD+ZBCD=90a,

：.ZACB=90°,

•••△/CB为直角三角形；

（2）解：*：CDLAB,

；・NCDB=90°,

VZBCD=90°-ZB=90°-60°=30°,

•・・CE平分N4C8,

:・/ECB=L/ACB=45°,

3

:・/DCE=NECB・/BCD=45°-30°=15°.

22.（9分）“湘超”联赛（湖南省足球超级联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动

的开展.为响应此热潮，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购4

①购买1个A类足球与3个B类足球，花费290元；

②购买3个4类足球与3个4类足球，花费390元.

（1）A类足球和B类足球的单价分别为多少元？

（2）若学校计划采购4,8两类足球的总数量为60个，并要求同时满足以下两个条件：①采购4类

足球的数量不超过22个

【解答】解：（1）设4类足球的单价为x元，4类足球的单价为y元，

包隹明二处

根据题意得：x+3y=290，

3x+3y=390

第16页（共23页）

解得：P.

,y=80

答：4类足球的单价为50元，8类足球的单价为80元；

（2）设采购用个片类足球，则采购（60-加）个8类足球，

根据题意得：（欣22

50m+80（60-mX4200

解得：20WZ22,

又•・•〃?为正整数，

••・〃？可以为20,21,

・••该校共有3种购买方案，

方案1：采购20个4类足球，40个8类足球；

方案6：采购21个4类足球，39个8类足球；

方案3：采购22个4类足球，38个8类足球.

23.（9分）如图，在四边形48co中，NA8C=/C=90°,且。E和力七分别是NCD4和ND48的角平

分线，。£的延长线和48的延长线交于点R

（1）求证：AAEF^/\AED；

（2）若DC=2,AB=3,求线段力。的长度.

【解答】(1)证明：・・・N48C=NC=90°,

••・N48C+NC=180°,

:.AB〃DC,

：.ZBAD^ZCDA=\S00,

•・•OE和4E分别是ZCDA和NZM8的角平分线，

:・NCDA=2NADE,NFBE=NDAE,

・・・2ND4E+4N/OE=180°,

：.ZDAE+ZADE=90°,

在中，ZJEZ)=180°-C^DAE+ZADE)=90°,

第17页（共23页）

即AEVDF,

：.ZAEF=ZAED=90°,

在△力£b和△/EQ中，

rZFBE=ZDAE

'AE=AE，

NAEF=NAED=90°

:,△AEF/AAED（ASA）：

（2）解：由（1）可知：/且△力瓦），

：.EF=ED,AF=AD,

ZABC=ZC=90a,

:,NFBE=NC=90°,

在△4E/7和△CEO中，

'/FBE=NC=90°

<ZBEF=ZCED，

EF=ED

:・BF=CD,

：.AF=AB+BF=AB+CD,

'：DC=2,AB=3,

；.AF=AB+CD=7,

：.AD=AF=5.

24.（10分）在平面直角坐标系中，我们将点尸关于x轴的对称点记作点P，再将点Pi关于y轴的对称点

记作点尸2,则称点02为点尸关于x轴和y轴的“一中对称点”.例如：点尸（3,1）关于x轴的对称点

为点Pl（3,-1）,点尸1（3,-1）关于y轴的对称点为点22（-3,-1）,所以点尸（3,1）关于x

轴和y轴的“一中对称点”为点巳（-3,-1）.

（1）点力（3,-4）关于x轴和y轴的“一中对称点”血的坐标是一（-3,4）；

（2）点〃（2a16,a-b）关于;v轴和y轴的“一中对称点”处的坐标是（-8,4）,求。河人的值；

（3）若点C9M+3・4x）关于％轴和y轴的“一中对称点”。2在第三象限，且满足条件的x

的整数解恰有两个，求”的取值范围.

【解答】解：（1）根据“一中对称点”的定义，可以得到两个点关于原点对称，

点力（3,-4）关于x轴和），地的“一中对称点”47的坐标是（-3,

故答案为：（・3,6）；

（2）由题意可得:B（8,-4）,

第18页（共23页）

=

8a+b8f

a-b=-4,

.・.a"—-8—,bA--16；

33

（3）由题意可得：点C在第一象限,

.(x-m+7>0,

►**

9m+3-4x>0,

・••不等式组的解集为：〃l8VxV塞坦.

6

•・”恰有2个整数解,

则存在这样的整数a满足:

a-l4m-2<a,

a+l<竽<a+2,

4

a<m<a+6,

整理得:4a+1/『4a+5

/4a+5

a42'

为保证不等式组有解:

然<a+1,

4

&〃加p;解得:

5

・"取-1,2,1,

-84m<0，

当4=-1时,可得:+1n得，

此时,-2,<zw<0,

3

04m<1，

当a=2时，可得:

用<m<F

此时工〈〃忘回,

99

8<m<2,

&〃加p;当a=1时,可得:

&〃加P；此时〃7=1.

&〃加p;综上所述:-豆V〃7V。或”•或m=1.

396

第19页（共23页）

25.（10分）如图，△48C与△4EO均为等腰三角形，AB=AC,ZEAD=ZBAC,。为线段8C上一个动

点

备用图

(1)求证：BE=DCx

(2)将△48C分为△力CD和△48。两部分，记Syco=Si,SpBD=Sk48将分为△AEG

SS-

和△，/)G两部分，记&/£G=S3，Sa