2025-2026学年上海市闵行区九年级数学上学期期中试卷（含详解）

2025学年第一学期期中考试九年级数学试卷

（考试时间：100分钟满分：150分）

一，选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列各组图形中一定是相似形的是（）

A.两个平行四边形B.两个等腰三角形C.两个直角三角形D.两个正方形

2.如果把RtZ^ABC的各边长都扩大到原来的4倍•，那么锐角A的余弦值（）

A.扩大到原来的4倍B.缩小到原来配

C.没有改变D.无法判断是否发生改变

3.在V/1BC中，点。刀分别在边AB,4c上，下列条件中，一定能判断力石〃8c的是（）

ADAEcDEAD厂DEAEBDAE

A.B.=C正力D.

~BD~~CEBCAB

4.已知，"和C都是非零向量，下列条件中，不能判定4〃〃的是()

A.a=2bB.同=2忖C.a=-2/?D.a//c,h//c

已知，〃是锐知,小噜等，那么锐角.的度数是（）

5.

A.30°B.45°C.60°D.75°

AQ2

6.如图,在梯形A8C。中,A8〃CQ,对角线AC与相交于点。，寿二千5八8。=1,以下说法中,正确的个数是（）

V--X-XD

395

①2皿=SBS,②S.上，③S△应=丁④SiS*-

A.1个B.2个C.3个D.4个

二，填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.已知鸿，那么—一

8.已知线段A3的长为2,点夕是线段的黄金分割点，那么线段AP的长等于.（结果保留根号）.

9.在某一时刻，测得一根高为2.4米的竹竿影长为4米，同时同地测得一根旗杆的影长为20米，那么这根旗杆的高度是一

米.

10.如果两个相似三角形的周长比为2:3,其中较小的三角形一边上的高是6厘米，那么另一个三角形对应边上的高是—

厘米.

11.己知e为单位向量，。与。方向相同且长度为3,那么。（用e的式子表示）.

12.计算：2（a—gb）+3a=.

13.如图，某位学生沿着坡度为，=1:2.4的斜坡由A到3直行了26米，那么他上升的高度6c长是米.

14.如图，已知直线〃段,/3分别交直线〃于点AAC,交直线4于点且/〃〃2///3,A4=4,AC=6QF=10,则DE=

4

15.如图,已知点MN分别在正方形A8CD的边3C、CD上,BM=2,CM=4,CN=，.那么可以判断二ABM与△MCN

4

16.在R（Z\A8C中,47=90。，48=5巾114=§,。”是边/\8上的高,那么。〃的长是.

17.定义：在直角三角形中,一个锐角的斜边与共邻边的比叫做该锐角的正割（sec）,锐角A的正割记作secA.己知在

RtAABC中,NC=90。,点。是斜边AB的中点，点E在边C4上,ZADE=90。,OE=C£,那么secA的值是.

18.如图，在RtA48C中,？490?,8C=4,44=5,点。在边4c上，将VA3c沿直线4。翻折，点4落在点£处，如果

C石〃"，那么8Q的长是

A

三，解答题：（本大题共7题，满分78分）

4sin30。

19.计算:-cot45°.

tan60°-2cos60°

20.如修，点M是7ABC边八8的中点，设CA=a,C3=〃，请解决以下问题.

c

（1）A8=,CM=（用“，。的线性组合表示，直接写出化简后的结果）.

（2）在图中求作：〃一28（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）.

21.如瓯已知点。，石分别是VABC的边AC和A3的中点，连接BD,CE交于点G连接DE.

（1）求7不的值・

CE

（2）如果CEJ_BDAnn/BCG=2.AB=2M，求。石的长.

22.已知甲，乙两幢楼之间的距离CO等于叽现在要测乙楼的高度3C（8CJ_C。）,所选观察点A在甲喽一窗口处，

AD//BC.从八处测得乙楼顶端4处的仰角为。（〃是锐角），底部C的俯角为/?（6是锐角），请结合示意图求乙楼的

高度（结果用含有肛的代数式表示）.

23.如怪,已知点DE分别是V48C边48,AC上的点,ZAED=NABC.

（1）在线段AE上取点兄连接。凡如果。尸〃8E,求证：—.

ACAD

（2）连接座，如果ZZ迎=Z4,求证：BC2=BDAB.

24.已知：在平面直角坐标系X。），中，直线/与x轴轴分别交于A（6,”8（0,6）两点.

(1)求直线/的表达式.

(2)已知点C的坐标为(2.0),点。是x轴上的点，且△COB与.8。力相似，直接写出所有符合条件的D坐标.

(3)已知点M与点”均在直线人=3上，点用的坐标为(3/),点尸在点例的上方，点G是直线4=3与直线/的交点，当

/MOF=45。时，求ZFOG的余切值.

25.在VAOB中，点E是边A8上的点，连接OE.

图1图2

⑴如图1,点。是8。的延长线上的点，过点。作A8的平行线，分别交40.EO的延长线于点C,F.

①求证：CFBE=AEDF.

②连接AQ,如果A3=6,8=9,E1尸〃4),求_COF与YAOB的面积比值.

(2)如图2,已知ZAHO=90。,点〃是线段。E上的点，分别连接BH、A”.如果ZAOH=ZBOH=NOBH,AH=AB、BE=4,

求sin/OAB的值.

1.D

【分析】本题主要考查了相似图形的定义.根据相似形的形状相同，大小不同的特点，再结合等腰三凭形，正方形,直角三

角形,平行四边形的性质与特点逐项排查即可.

【详解】解•：A,两个平行四边形的形状不•定相同,则不一定相似，故本选项不符合题意.

B,两个等腰三角形的形状不一定相同，贝!不一定相似，故本选项不符合题意.

C,两个直角三角形的形状不一定相同，贝!不一定相似，故本选项不符合题意.

D,两个正方形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项符合题意.

故选：D.

2.C

【分析】本题考查了余弦的定义，分式的性质，掌握“锐角-4的余弦值等于NA的邻边与斜边的比值”是解题关键.余弦

值是邻边与斜边的比值，各边长扩大相同倍数后，比值不变.

【详解】解：设原Rt△ABC中,/A的邻边为〃,斜边为c,则cosA=2.

c

•・•各边长扩大到原来的4倍.

:.新邻边为4/九新斜边为4c.

.・.8S小丝，…4

4cc

故锐角A的余弦值没有改变.

故选：C.

3.A

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系.根据平行线分线段成比例定

理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例,则这条直线平行于第三边.选项A中比例关系符合逆定

理条件，能推出。石〃BC,其他选项的比例关系不能保证平行.

【详解】解:选项A中，黑=%.

BDCE

根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则。石〃BC.

选项BCD的比例关系均不一定能推出。石〃8C河排除.

故选：A

4.B

【分析】本题主要考查了向量平行的判定条件，掌握向量平行需方向相同或相反，即存在非零实数z使得。=妙伏工0)是

解题的关键.

根据向量平行的条件逐项判断即可.

【详解】解：•・•向量平行定义为方向相同或相反.

a=kb(k/0).

A.由a=2b,其中k=2/0,即

B.由，|=2怜|仅表不模长关系，未指定方向，不能判定a〃8.

C.由〃=一乃，其中攵二一2工0,・・・

D.a//c且力〃c：（cwO），则存在非零实数"?，〃使得。=，〃。石=〃（?，即"=：。（〃工。）,故a//b.

综上，不能判定平行的是选项B.

故选B.

5.B

【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键.根据特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】解：:cos45°=也，且COSQ=也,a是锐角.

22

・・・a=45。.

故选：B.

6.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积,关键是利用相似三角形的性质找到三角形的面积与线段

之间的关系.

①根据三角形面积的求法，找到两三角形的底，高，各自的关系，即可得出结论.

②找到S呐与S®之间的关系，即可求得S四一

③找到S0也与S八。8之间的关系，即可求得SDOC

④分别求出两三角形的面积，再作差即可求得.

【详解】解：・.・4BCD

・•・，,A/X?和一BCD同底等高

•q―q

••°.ADC.U.BCD

故结论①正确.

VABCD

A..ABO^^CDO

.AOBOAB2

^~CO~~Dd~~CD~3

c

•••S,00一_9

14

9

即

故结论③正确.

..SAOB_=2

・S砂一CO一3

•・•s--/2

故结论②正确.

..AO_BO2

.CODO~3

.AO_BO_2

「ACBD5

s

■―/SOAO

=

•'S.w.AC

5

即SABCzz--

2

..SABCAB=2

•s~~CD

J.ADC3

15

,,S.ADC=---

4

,,S.ACD_SABC=W

故结论④正确.

故选：D.

7.2

3

【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的求值，掌握比例的性质是解题关键.由已知条件可得上;:，将所求分式拆项,

x3

再通过有理数运算求解即可.

x3

【详解】解：•・,-=

），4

...Z=4

x3

故答案为：j2.

8.6—或3-石

【分析】根据黄金分割的概念分两种情况讨论：当4>“尸时,AP=叵1A3,当APvBP时1P=逐二再求出

22

AP,即可得出答案.

【详解】解：当心>8尸时.

丁点P是线段AB的黄金分割点.

.•・人。=叵2"=或二乂2=逐一1.

22

当时.

•・•点P是线段AB的黄金分割点.

・•.研=避」人8=叵*2=逐-1.

22

.・.AP=AB-BP=2-[y/5-\)=3-y/5.

综上所述，线段AP的长等于b-1或3-6.

故答案为：6-1或3-6

【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握若点P是线段48的黄金分割点，旦”"P,则川=叵1相是解题的关

2

键.

9.12

【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用物高与影长成正比例，列出方程求解，即可得出结论.

【详解】解：设旗杆的高度为工米.

由题意得：24益x.

化简得：06弋.

解得：x=0.6x20=12.

故旗杆的高度为12米.

故答案为：12.

10.9

【分析】本题考查了相似三角形的性质,根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，对应边上的高比也等于相似比，因此

列出比例式求解.

【详解】解：设另一个三角形对应边上的高为万厘米.

由相似三角形的性质，得;=亭

h3

即2〃=6x3.

解得〃=9.

故答案为:9.

11.3e

【分析】本题考查了向量的线性运算.解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量.

根据单位向量的模为I,且向量方向相同时,可表示为标量乘以单位向量，标量即为该向量的模.

【详解】解：因为：与单位向量;方向相同，且|力=3,

所以a=3e.

故答案为3G.

12.5d-b

【分析】本题主要考查向量的线性运算,掌握向显的数乘和加法运算法则是解题的关键.先通过乘法分配律去括号，再合

并即可.

【详解】解：2（〃彳4+3〃

=2a-b-3a

=5d-b-

故答案为5a-b.

13.10

【分析】本题考查了坡度的定义及勾股定理的应用，熟练掌握坡度的定义及勾股定理是解题关键.

先根据坡度定义设8C=x米，则AC=2.4x米，再由勾股定理列出方程f+（2.4x）2=26,求出x进而求出8c长即可.

【详解】解：・"=1:2.4.

设3C=牙米，则AC=2.4x米.

由勾股定理得BC2+AC2=AB2.

即/+(2.4X『=262.

解得工=10或x=-10（长度不能为负舍去）.

8C=10米.

故答案为10.

14.空

3

【分析1直接根据平行线分线段成比例定理得到照=整然后根据比例的性质可计算出OE的长.

DFAC

【详解】解：・门〃〃2〃/3.

二匹二组,即匹二

DFAC106

・•・DE=—.

3

20

故答案为：y

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.掌握平行线分线段成比例

是解题关键.

15.相似

【分析】本题考查了正方形的性质相似三角形的判定.先求得翡嗡=3,根据叱制《CN.

【详解】解：：正方形A3CD

・•・人B=BC=4M+CM=6,N3=NC=9G°.

“八/CM4c

..AB6_=v=3

・——=一=3,CN4

BM2-

J

.AHCM

•/Z^=ZC=9O°.

・•・NABMWMCN.

故答案为：相似.

16.—

5

【分析】本题考查了解直角三角形的应用,掌握正切的含义是解题关键.根据题意设8c=4k,AC=乂(A>0),由勾股定

理得A8=5&,从而求出4C=4,4C=3,再利用三角形面积公式,通过面积相等列出方程求解CH即可.

BC4

【详解】解：在RtZXABC中，NC=90°,tanA=—=一.

AC3

设6C=4&,AC_3A(A>0).

由勾股定理得=JHT+AC?=5h

VAB=5.

:.k=\.

/.4c=4,AC=3.

s=-ACBC=-ABCH.

ARBCC22

“ACBC3x412

AB55

12

故答案为:y.

17.空

3

【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键.

An

根据正割的定义，在中,NCuOD^secAMF.由点D是A8中点，点E在。上,ZAZ花=90。且OE=CE,然

AC

后利用相似三角形和勾股定理建立方程求解.

222

【详解】解：如图：在洋△ABC中,NC=900,设4。=中BC=a,AB=c,^c=a+b.

•・•点D是A8中点.

・•.A。」.

9

i&CE^xMAE=b-x,DE=CE=x.

在RUMDE中,ZA/JE=90°，由勾股定理得AE2=AD2+DE2.

—+x\化简得：b1-2bx=—.

2)4

■:ZADE=ZC=90°.ZA=ZA.

/.ADE-^ACB.

4DDE

--

A-c-C-

B

c

4c

2一X3pX--%

---2

〃a

将工=当代入〃2-2版=口可得：b2-GC=—.

2人44

将/=/+尸代入h2-ac=―^b1-ac="+"，整理得3bl=a2+4ac.

44

设secA=A="，则。=必a1=c2-b1=^k2-\）b2,a=b｛（k，-1）.

代入3//=/+4公、得3=公一i+4W?-i）,即4,^=4k盾f.

两边平方并整理得15/-8r-16=0.

4

令〃二依，得15〃2-8吁16=0,解得〃=Q（舍去负根）.

.2262#

••k=—f==-----，即sec4=----.

V332

故答案为：毡.

3

18.2

2

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理.作EF_LA6于点尸，证明四边形8FEC是矩形，利用勾股

定理求得AF=y]AE=EF?=3，设BD=DE=x，则CD=4-x,在RhdME中，由勾股定理列式计算即可求解.

【详解】解：作石尸_L人吕于点尸.

•:?B90?,CE〃AB.

ZBCE=Zfi=9O°.

VEFLAB.

・•・NBFE=900.

・•・四边形BFEC是矩形.

・•・EF=BC=4、CE=BF.

由折叠的性质知AE=AB=5,BD=DE.

・•・AF=y/AE2-EF2=3•

：・CE=BF=AB-AF=2.

]^BD=DE=XMCD=4-X.

在RtZiCDE中，由勾股定理得CQ?+CE2=DE2.

BP（4-X）2+22=X2.

解得x=:.

乙

・・・8。的长是

故答案为：y.

19.G

【分析［本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题

的关键.

先运用特殊角的三角函数值化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可.

4sin300

【详解】解：360。-28s60。…45。

44

5/3-2x-

2

2倍+1)

（阴+i）

2（吊】）］

2

=73+1-1

=&.

20.(l)/?—a,ga+g〃

⑵见解析

【分析】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据48=。8-。,。必=04+4〃求解即可.

（2）延长C4至点。，使8。=67）,连接4。,则DA即为所求.

【详解】（I）解：•・•点M是边A5的中点.

・•・AM」A9即AM=-AB.

22

♦CA=a,CB=b.

,AB=CB-CA=b-a.

AM=；伍—4）.

CM=CA+AM=a+—（b-a\=—d+—b.

2V722

故答案为：b-a，3。+3b.

（2）解：如图,AO即为所求.

CD=2b.

DA=CA-CD=a-2b.

21.⑴生,

CE3

⑵姬

4

【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理.

⑴根据三角形中位线定理得到小心展=2,根据相似三角形的判定和性质作答即可.

（2）根据三角函数求出0£=平，根据勾股定理求出5C=相撮后根据器=2计算即可.

【详解】（I）解：•・•点。方分别是V4BC的边AC和的中点.

:.OE是V48C的中位线.

।m

・•・DE//CIi,DE=-Cl3^—=2.

21）1'.

；・&GDEjGBC.

,CGBC.

・•—=—=z.

GEDE

.CG2

•・---=—.

CE3

（2）解：•・•点E是边AB的中点.

・•・BE=-AB=4vi.

4

*/CE_LfiD,tanN3CG=2.

・wBEx/17

tan/BCG2

BC=VBE2+CE2=J(何+件)=率•

・里=2.

DE

,nrCB底

••DE=--=------.

24

22./n(tana+tan

【分析】本题考查了解直角三角形的仰用俯角问题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求解

线段长度.

通过作轼助线构造RtZXABE和RtACE,利用正切函数求出的与CE的长，即可求出乙楼的高度.

【详解】

解：如图过点A作AE_L8C于点E.

•/ADBC、BC工CD、AE工BC.

二•四边形4EC。是矩形.

AE=CD=m.

在RtAARE中,N8AE=a,AE=〃?.

/.BE=AEtanZ.BAE=nitana

在Rt二ACE中NE4C=6，=〃?.

CE=AE-tanZ.EAC=m-tanP,

乙楼的高度为"?(lana+tan0).

23.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等角对等边等知识，解题的关键是:

AnArAD4F

⑴证明可得前二方,根据平行线分线段成比例定理得出前;瓦，然后两式相乘并化简即可得证.

（2）证明.AB£s二£%）,根据相似三角形的性质可得A炉=4｛以1证明N/3EC=NC,根据等角对等边得出BE=BC,

即可得证.

【详解】（1）证明：VZAED=ZABC,ZA=ZA.

・•・AAEDs^ABC.

.ADAE

••--=---.

ACAB

DF//BE.

.ADAF

.ADADAEAF

^~AC~AE"

.ADAF

**7C-AD'

(2)证明：•：ZDEB=ZA,ZABE=NEBD.

:o.ABEy.EBD.

.ABBE

*'~EB=~BD'

**-BE?=ABBD.

•・•ZDEB=ZA,ZAED=ZABC,ZAED+4DEB+/BEC=180°,ZA8C+ZA+ZC=180°.

・•・ZBEC=ZC.

・•・BE=BC.

:.BC2=AI3BD.

24.(1)j=-x+6

(2)(T8,0)或(18,0)或(—2,0)

(3)3

【分析】(1)利用待定系数法解答即可.

(2)由点8、C坐标可得O8=6.OC=2,设。的坐标为(〃7,0),则”>=帆.再分(O8S/O。和第08—008解答即

可求解.

(3)设直线x=3与x轴的交点为点H,可得MH=\,OH=3,G(3,3),进而得到NGO”二45。,即得到乙FOG="OH,

再根据余切的定义解答即可求解.

【详解】(1)解：设直线/的表达式为了=阮+〃，把A(6,0).B(0,6)代入得.

0=6出+力

6=b

・•・直线/的表达式为y=f+6.

(2)解：B(0,6),C(2,0).

：.OB=6,OC=2.

设。的坐标为(〃7,0),则。。=帆.

:点。是X轴上的点.

・•・4BOC=NBOD=90。.

当,COB-BOD时单=空.

BOOD

26

即公=r"i.

6同

解得，"=±18.

・・・。的坐标为(-电0)或(1&0).

当,・C08s时，盥=等=1.

DO(JtS

2,

即n二L

:.〃?=±2.

・・・。的坐标为(―2,0).

综上，当△CO8与.40/)相似时坐标为(-18,0)或(18,0)或(-2,0).

(3)解：设直线x=3与x轴的交点为点”.

:,MH=1,OH=3.

把x=3代入y=r+6,得y=-3+6=3.

・•・G(3,3).

：,OH=GH=3.

•・•NOHG=9()。.

:./GOH=45。.

•・•NMOF=45。.

・•・ZFOG=ZMOH.

('ii-iq

cotZFOG=cotZMO/7=--=-=3.

MH1

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质，一次函数的几何应用，等腰三角形的性质，锐角三

角函数，掌握相似三角形的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键.

27

25.(1)①见解析②三

⑵中

4

【分析】(1)①证明几式犯£,然后利用对应边成比例即可得出结论.

②证明△OCAAZM8得出对应边成比例然后证明CDA,80叱..如,假设S砂=4s,表示出相关图形的面

积，然后求比值即可.

(2)过点E作石G04于点G，证明八期Hs.HBE,令AE=x,OH=BH=EH二r，则AB=AH=x+4,利用对应线段成

?

比例表示出/=二-4,然后利用勾股定理列出方程求解即可.

4

【详解】(1)解：①・・・CO〃/W.

・•・ZC="AB,/OFC=ZOE4,4ODF=NOBE,4OFD=Z.OEB.

/.t.OCF^OAE,..ODF^OBE