2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十二章《二次函数》单元水平测试（含答案）

第二十二章《二次函数》单元水平测试

一、选择题：本大题共10小题，共30分。

1.设某个正方形的边长为4工>0）,则该正方形的面积S是关于X的（）

A.正比例函数B.一次函数C.二次函数D.未知函数

2.若平移抛物线y=4/后得到的帼物线的解析式是y=4（x-3）2,则关于平移的说法正确的是（

A.向左平移了3个单位长度B.向右平移了3个单位长度

C.向上平移了3个单位长度D.向下平移了3个单位长度

3.已知（一1,。）在抛物线、=2/-%一3上，则〃的值为（）

A.3B.-2C.-6D.0

4.抛物线y=x2+x（mH0）的对称轴是（）

A.直线x=gB.直线x=—gC.直线x=1D.直线x=—1

5.已知二次函数图象的顶点在x轴的负半轴上，则该二次函数的解析式可能是（）

A.y=%2-3B.y=/+3C.y=（%-3）2D.y=（x+3）2

6.抛物线y=/-2%+3与坐标轴的交点个数是（）

A.1B.2C.3D.0

7.若点4（一1,%）,8（3/2）在二次函数丁=0—IT的图象上，则（）

A.%<y2B.y2<yic.yi=y2=2D.y1=y2=4

8.若二次函数y=m/+%+加2-2的图象开口向上且经过原点，则/〃的值为（）

A.2B.1C.x<2D.-y[2

9.已知汽车刹车后行驶距离S（单位：m）是关于行驶时间£（单位：s）的函数解析式是S=-6£2+k3若汽车

刹车后到停下来用了1.25s,则S关于，的函数解析式为（）

A.S=-6t2+7.5tB.S=-6t2+15tC.S=-6t2-7.5tD.S=-6t2-15t

10.二次函数y=ax2+bx+C（Q,瓦c为常数，且QW0）中的x与y的部分对应值如下表：

A•••-1013•••

•♦•

J•••1-3-5-3

卜.列结论错误的是（）

A.ac<0

B.3是关于x的方程a/+（b+l）x+c=0的一个根

C.当x>l时，y的值随X值的增大而减小

D.当一1〈XV3时，Q/+(匕+i)x+c<0

二、填空题：本大题共5小题，共15分。

11.请写出一个以(L0)为顶点的二次函数解析式：.

12.已知抛物线y=X2-2X+九与x轴的一个交点坐标为(3,0),则一元二次方程%2-2x+n=0的两个实

数根是.

13.如图，已知抛物线yi=a/+5与直线丫2=依+血交于力(-3,-2),8(2座)两点，则当储+5之

依+m时，yi的取值范围是.

14.如图，菱形A8CO的顶点力(-1,0),C(3,0)在x轴上，过A,B,C三点的抛物线与y轴交于(0,-2),则

点D的坐标为.

15.在平面直角坐标系X。｝，中，将抛物线y=-x2+1在x轴和x轴上方的部分记作内，将Gi沿x轴翻折记

作G2,R和G2构成的图形记作G.关于图形G,以下结论正确的序号是

①图形G关于x轴对称；②图形G关于直线y=%对称;

③图形G上到y轴距离等于京勺点有4个；④若图形G的面积为5,则满足2VS<TT.

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=a/+8%-4与x轴交于八，B两点,OB=204=4,求

该抛物线的解析式和对称轴.

17.将一段长36。〃的铁丝剪成两段，围成两个全等的矩形.

(1)设矩形的一功长为xcm,则矩形的另一功长为cm：

(2)当x为何值时，这两个矩形的面积之和最大？请说明理由.

18.已知点(1,4)在抛物线y=-x2-(1-a)x+Q的图象上.

(1)。的值为;

(2)求抛物线与入轴的交点坐标与顶点坐标；

(3)画出该抛物线大致图象，并根据图象回答:

①当x取什么值时，y的值最大？

②当y>0时，直接写出x的取值范围.

19.共享单车是人们绿色出行的交通工具，既节约能源、提高能效、减少污染，又有益健康、兼顾效

率.已知某市区的一辆共享单车每次运营成本2元，当共享单车每次收费5元时，则每天可运营20次.为

了吸引更多人采用共享单车出行，采取降价措施，据市场调查反映：每次收费降0.5元，则每天可多运营5

次.设每辆共享单车收费为x(xv5)元，每天运营次数为)，次.

(1)求出)，与工的函数关系式：

(2)设一辆共享单车每天获得的利润为卬元，当每辆共享单车收数为多少元时，每天获得的利润最大？最

大利润是多少？

20.如图，已知抛物线y=-M+加与直线A3相交于4(一4,0),8(0,4)两点，与x轴的另一个交点为点

C,连接8C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点N,使得SMON=SAC08?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

21.综合与实践.

【材料阅读】云南晋宁是我国花卉生产的核心区，是全球温带花卉的最佳产地之一.产业园内鲜花温室大

棚可以人为地控制温度、湿度以及光照等环境因素，为鲜花提供最佳的生长条件.•般大棚使用竹结构或

者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.

【实践操作】如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形人8CO和抛物线构成，其中8C=3m,

CD=4m,取C。中点0,过点。作线段C。的垂直平分线OE交抛物线AE8于点E以点。为原点，CD

所在直线为x轴，0E所在直线为)，轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

图1

【解答问题】

(1)如图2,抛物线AEB的顶点E(0,4),求抛物线的解析式;

(2)如图3,在某一时刻，平行的太阳光照射在大棚的一侧，太阳光线透过B点恰好照射到。点，此时大棚

截面的影子为。K,求。K的长.

22.如图，在菱形ABC。中，AB=12cm,乙B=60。，点、E从点B出发,沿边BC向点。以2cm/s的速度

运动，同时点尸从点C出发沿边C。向点。以3cm/s的速度运动，E,尸两点分别到达C,。两点后就停止

运动.

A

⑴连接AE,AF,EF,设运动开始后第1秒钟后，△?1"的面积为Sc/M,求S与/的函数关系式，并写出

自变量/的取值范围;

(2)当f为何值时，S最小？最小值是多少？

23.综合运用：在平面直角坐标系中，抛物线y=Q/+匕》一3a与x轴交于人，8两点(点八在点8的左侧

),与)，轴交于点C,该抛物线的对称轴为直线％=-1,且过点(一2,3).

(1)求该抛物线的解析式及点A，B的坐标；

(2)如图1,连接AC,抛物线的对称轴上是否存在点P,使A/ICP是直角三角形？若存在，求巴点尸的坐

标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点M是该抛物线上一动点，且位于第二象限，连接MB,直线MB交AC于点N,连接4M,

BC,aAMN和ACN8的面积分别为S1和S2，当S1一$2的值最大时求直线MB的解析式.

答案和解析

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】4

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】y=x2-2x+1

/(答案不唯一)

12.【答案】=-1,x2=3

13.【答案】-2<<5

14.【答案】(1,|)

15•【答案】①③④

16.【答案】解：•••。8=2。力=4,。力=2,••・8(4,0),4(-2,0),・••该抛物线的对称轴为直线％=

1

空3=1，即3=1，把点A,8的坐标代入丫=以2+取一4得16。二?:4%)，解得。=5二该

214a-2D-4=0Q=T

抛物线的解析式为y=|X2-X-4.

17.【答案】【小题1】

(9-x)

【小题2】

9

设两个矩形的面积之和为Scm?,则s=2x(9-x),S=-2x24-18%,二•一1<0,当％=-

-X(一2

时，S的最大值为岑cm2,即当欠=3时，这两个矩形的面积之司最大.

18•【答案】【小题1】

3

【小题2】

由(1)知y=-/+2%+3,令y=0,则一/+2%+3=0,解得与=-1,不=3,••.抛物线与x轴的交

点坐标为(一1,0)，(3,0),对称轴为直线x=空中=1，即％=1，顶点坐标为(1,4).

【小题3】

如图：

①由图象可知，当％=1时，y的最大值为y=4；②当y>0时，-l<x<3.

19.【答案】【小题1】

解：根据题意得y=20+5x深，化简得y=7。-10工

【小题2】

根据题意得w=(%-2)(70-10x),整理得w=-10/+gox-140=-10(x-4.5)2+62.5,v-10<

0,.•.当x=4.5时，卬有最大值为62.5.答：当每辆共享单车收费为4.5元时，每天获得的利润最大，最大利

润是62.5元.

20.【答案】【小题1】

解：把点4(—4,0),8(0,4)代入旷=_/+以+。得\744ble=0,解得｛1二彳？，二抛物线的解析式为

y=-x2-3x+4.

【小题2】

令;y=0,则一%2一3%+4=0,解得.=-4,x2=1,C(l,0),：.ShC0B=^OC-OB=2,ShA0N=

S.COB，・•・SMON=T°A.Ml=2,.,Wx4|yNl=2,•••Ml=1，一/-3%+4=1或一/-3%+4=

一1,解得/=凸产，小=寿生，％3=等空，％4==空・综上，点N的坐标为(当2,1)或

仔竹,1)或仔磬,一1)或(乎V1)

21•【答案】【小题1】

解：・・・8C=3m,AB=CD=4m,E(0,4),二8(—2,3),C(-2,0),0(2,0),4(2,3),设抛物线的解析式

4

为)，=。/+的将点A,£的坐标代入解析式，得C：4c=3,解得卜二;♦,.•・抛物线的解析式为'=

一方+4.

4

【小题2】

k=_?

设直线8D的解析式为y=kx+b,将点8,D的坐标代入解析式，得｛1解得4

h3

b=2

直线8。的解析式为y=-""/"/肛.•・设直线PK的解析式为y=-*x+m,联立得

y『+m,整理得+4_m=0,.•./=e)—4x(4-m)=0,解得m=得，.,•直

y=--%2+4

线FK的解析式为y=-"+得令y=0,得"工，,KGi。)一'DK=OK-OD=得一2=,(m).

22.【答案】【小题1】

解：如图，过点A作4M_L8C,过点A作4N1CD,连接AC,延长。C,过点E作EH_LDC的延长线于点

H,

A

••,在菱形ABCZ)中，AB=BC=AD=CD,NB=60°,，△4BC与△4CD为等边三角形，Z.BAM=30°.v

AB=12cm,BM=6cm,AM=6\/~3cm,同埋4N=6V3cm,由题意可得，点正经过12+2=6(s)到

达点。停止运动，点尸经过12+3=4(s)到达点。停止运动，①当0&tW4,第，秒钟时，BE=

2tcm,故EC=(12—2t)cm,CF=3tcm,故S娱形人打尸=S0EC+S^CN=g(12—2t+3£)•673=

34(12+t)=3V3c+36A/3.根据菱形的性质，AB//CD,则/BCH=60。，NCEH=30。，CH=6—

7

t>EH=V_3(6—t),又CT=3t,S^ECF=J•V^(6—t)•3t=—+9^^£,...S—EF=

S四边形AECF-SAECF=373c+36口+浮£2―9c3S=苧产-+36/3(0<t<4).②当4<

2

CW6,点尸与点D重合，此时S=ShAEF=SUED=^ADAM=^x12x6/3=36/3(cm).综上所

述，S与，的函数关系式为S=［乎/-6G+36/3(0<t<4)

(36/3(4<t<6)

【小题2】

当0工£44时，S=^t2-6/3t+36/3=-2)2+30/3,•・•卑>0,JL30/3<36/3,.•.当

乙乙4

t=2秒时，S最小，最小值30V3cm2.

23.【答案】【小题1】

解：把点(一2,3)代入抛物线y=Q/+以-3①得3=4a-2力一3Q,整理得3=Q-2b,•.•对称轴为直

线x=-1,二一/二-1,二b=2a,,3二a—2x2a,a=-1,,b=-2,，抛物线的解析式为y=

22

-X-2X+3,当y=0时，-X-2X+3=0,解得与二-3,x2=l,/1(-3,0),8(1,0).

【小题2】

•••抛物线为丫=一%2-2%+3的对称轴为直线％=-1,，设点「(一14)，当％=0时，y=3,.-.C(0,3),v

做-3,0