2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷（北师大版测试范围：第1-4章）解析版

九年级数学上学期期中全真模拟卷（北师大版）

考试时间：120分钟试卷满分：120分考试范围：第1-4章

【全解全析】

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要

求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）

1.如图，已知■正方形ABCD对角线BD上一点，连接CP,CP平分乙ACD,则乙ACP的度数是（）

A.22.5。B.25°C,30°D.45°

【答案】A

【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得NACD的度数，再由

角平分线的定义可得答案.

【完整解答】解：:四边形ABCD是正方形，

AZACD=45°,

TCP平分，ACD,

.\zACP=|zACD=22.5o,

故选:A.

2.一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某决方块上（图中每一块方砖除花色外完全

相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（）

B-3C，5D-

【答案】A

【思路引导】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖I：的概率是相等的方砖总共有15

块，花形方砖占4块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【完整解答】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有15块，花形方砖占

4块，

・••最终停留在花形方砖上的概率为假，

故选:A.

3.下列各组中的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是（）

A.a=l,b=l,c=l,d=5B.a=2,b=a,c=2后d=V15

C.a=l,b=V2,c=2V2»d=8I）,a=V2,b=3,c=2,d=8

【答案】B

【思路引导】本题考查了比例线段.根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看

它们的积是否相等即可得出答案.

【完整解答】解：A、5X1H1X1,四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

B、2XV15=V5X2X/3,四条线段成比例，故本选项符合题意：

C、8xlH&x2vL四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

D.8x72*2x3,四条线段不成比例，故本选项不符合题意；

故选：B.

4.如图，在矩形。人!^中，点13的坐标是（5,4）,连接AC,则AC的长是（)

A.3B.41C.V3D.V41

【答案】D

【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，连接。B,过点B作BD1X轴于点D,根据勾

股定理求出。B的长，再根据矩形的对角线相等即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键.

【完整解答】解：如图，连接0B,过点B作BD_Lx轴于点D,

•・•点B的坐标是(5,4),

:.0D=5,BD=4,

•••OB=VOD2+BD2=近2+42=x/41,

又•••四边形ABC。是矩形,

:.AC=OB=V44»

故选:D.

5.甘肃省图书馆创建于1916年，现坐落于甘肃省兰州市，占地6600平方米，阅览席位2000个，现藏书容

量10()万册.在7月份，有5000人在该图书馆借阅了名著类书籍，9月增加至7200人，设7—9月份借阅名著

类书籍的人数的平均增长率为x,依题意，可列方程()

2

A.5000(1+2x)=7200B.5000(1+x)=7200

22

C.7200(1-x)=5000D.5000(1+x)=7200

【答案】B

【思路引导】本题主要考查了•元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键.

设每月平均增长率为必则9月人数为7月人数乘以(1+x)的平方，据此列出方程即可.

【完整解答】解：•・•7月人数为5W0,平均月增长率为后

:,8月人数为5000(1+x),

/.9月人数为5000(1+x)(l+x)=5000(1+x)2,

又♦:9月人数为7200,

:.5000(1+x)2=7200.

故选：B.

6.随着科技的飞速发展，m人工智能应运而生多种加软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划

举办手抄报展览，确定了“Deepseek”“豆包”“Kimi”三个主题，若小红和小明从中各随机选择其中一

个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是().

A.-B.-C.—D.—

JT*54

【答案】C

【思路引导】本题考查列表法求概率，用A,B,C表示三个主题，列出表格，利用概率公式进行计算即可.

【完整解答】解：由题意，列表妇下：

ABC

AA,AA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

共9种等可能的结果，其中她们恰好选中同一个主题的结果有3种,

•p21.

*,=9—=3，

故选C.

7.如图，有一块三角形余料ABC,BC=120mm,高线AD=80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩

形的一边在BC上，点P、M分别在AB,AC上，若满足PM:PQ=5:2,则PQ的长为（）

C.75mmD.20mm

【答案】B

【思路引导】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键.证明△APM-a

ABC,PM:PQ=5:2,假设MP=5kmm,PQ=2kmm,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题.

【完整解答】解：如图，设AD交PN于点K.

•.PM:PQ=5:2,

:.可以假设MP=5kmm,PQ=2kmm,

•••四边形PQNM是矩形,

PM||BC,

:.△APMABC,

vADlBC,BC||PM,

.-.AD1PM,

PM_AK

,BC=AD>

5k_80-2k*

,*120-80,

解得k=15,

PQ=2k=30mm,

故选:B.

8.如图，在正方形ABCD中，娓CD边上一点，将4ADE沿AE翻折至AAD'E,延长ED'交BC于点尸.若

AB=15,DE=10,则BF的长是（）

A.3B.12C.10I）.5

【答案】A

【思路引导】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.

连接AF,证明4AFB三△AFD',设BF=FD'=x,fflEF=x+10,FC=15-x,EC=15-10=5,利用勾股

定理求解即可.

【完整解答】,・,正方形ABCD中，碗CD边上一点，将4ADE沿AE翻折至AAD'E,

AAB=AD=AD'ZABF=ZADC=ZAD'F=ZC=90°,

连接AF,

,.fAB=AD'

,IAF=AF'

...△AFB三△AFD'(HL),

.'.BF=FD'

设BF=FD'=x,

则EF=x+10,FC=15-x,EC=15-10=5,

・・・(x+10)2=(15-X)2+52,

解得x=3,

故选：A.

9.为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出•块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地.若长方形

场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为76m的篱笆闱成，并且在平行于墙的边上设

置两个开口宽为1m的进出门口（如图）.设垂直于墙的长方形边长为xm,则下列方程正确的是

()

/〃/〃///〃/////〃〃///〃〃/〃/

t

X

n门

A.x（78-3x）=480B.x（74-3x）=480

C.x（78-2x）=480D.x（74-2x）=480

【答案】A

【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解

题的关键.

【完整解答】解：根据题意，得X（76+2-3X）=480,

即x（78—3x）=400,

故选：A.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,连结AC,E,产分别在边AD,CD上，连结BE,BF分别交AC于点.机

A；若/EBF=45。,CF=2,则下列结论中：①/BEA+ZBFC=135。；②CA1BF；③BN二/；@AE=

5

结论正确的有（）

【答案】C

【思路引导】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由矩形的性质得到乙

BAD=ZABC=ZBCD=90°,由/EBF=45。，得到/ABE+4CBF=45。，即可判断①；由勾股定理可得

BF=2遮，证明△CFN-ZXABN,得到唾=翳，可判断③；证明△BCF~Z\ABC,得到乙CBF=△BAC,证

AiiDIN

得，CNB=90。，可判断②；证明△BCNYACB,得到累=黑，根据勾股定理求出AC=4。得到

CDAD

AM=^,证明△AME-ACMB,得到黑二黑，可判断④；掌握相关知识是解题的关键.

3L。L1*1

【完整解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，

.../BAD=ZABC=4BCD=90。,

VzEBF=45°,

.••乙ABE+Z.CBF-45°,

AZBEA+ZBFC=135°,故①符合题意;

VCF=2,BC=AD=4,

222

在RtZiCBF中，由勾股定理可得：BF=VBC+CF=V42+2=275,

VCD||AB,

ACFN^AABN,

.CF_FN

••丽=丽'

VAB=CD=8,FN=BF-BN=275-BN,

・2_2V5-BN

**8BN~~，

.・.BN=喀，故③符合题意；

•噜=髭NBCF=ZABC=9°。,

BCAB

:.△BCF〜△ABC,

AZCBF=Z.BAC,

VZBAC+ZACB=yuu,

AZCBF+ZACB=90°,

/.ZCNB=9O°,

ACA1BF,故②符合题意；

VZEBF=45°,CA1BF,

.-.zBMN=45o,zMNB=90°,

AMN=BN=咯

VZCBF=ZBAC,ZBNC=zABC=90°,

:.△BCN〜△ACB,

.CNBN

CBAB*

,CN_CB_1

**BN=AB=2*

・・.CN=挪=警，

/.CM=MN+CN=1^1,

222

在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC=V8+4=4后

.,.AM=AC-CM=4后一竿二竿，

VAD||BC,

/.△AMECMB,

.AE_AM

••瓦―CM*

AAE=|,故④不符合题意；

综上，结论正确的有①®共3个.

故选:C.

第n卷

二.填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.）

11.若方程2乂111-2+乂=3是关于*的一元二次方程，则m的值为.

【答案】4

【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程中未知数最高次数为2是解题

的关健.根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2,由此确定m的值.

【完整解答】解：•・•方程2xm-2+x=3是关于x的一元二次方程，

••・未知数x的最高次数为2,即m—2=2,

:.m=4.

故答案为:4.

12.如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验.若物距0B=8cm,像距OB'=12cm,蜡烛火焰倒立

像A，B'=6cm,则火焰AB的高度是cm.

【答案】4

【思路引导】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关

键.由AB||A'B彳导到△ABOA'B'O；再根据对应边成比例求解即可.

【完整解答】解：由题意得ABIIA'B',

•••ZBA'O=zBAO,ZAB'O=zABO,

ABO〜△A'B'O',

ABOB

’而=OB7*

AB8

.•'T二运'

解得：AB=6x84-12=4cm.

故答案为：4.

13.如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处.若AB=4；BC=6,则

CF=.

【思路引导】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程.由矩

形的性质推出CD=AB=4/C=90。，由线段中点定义得到CM=：BC=3,由折叠的性质得到：MF=DF,

设CF=x,由勾股定理得到(4-X)2=32+X2,求出X=/得到CF的值.

【完整解答】解：:四边形ABCD是矩形，

ACD=AB=4,ZC=90°,

是BC中点，

.*.CM=1BC=1x6=3,

由折叠的性质得到：MF=DF,

设CF=x,

/.FD=4-x,

/.MF=4—x,

VMF2=MC2+CF2,

・・・(4一x)2=32+X2,

•.・x=(

7

••.CF—

故答案为：

14.“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图，在正方形ABCD中，

AB=V29,AE:EF=2:3,假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为.

■【谷今来】西20

【思路引导】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设AE=2x,则EF=3x,根据BF2+AF?=AB2,求

出EF,得到正方形EFGH的面积，利用概率公式代入计算即可.

【完整解答】解：设AE=2x,则EF=3x,

BF=AE=2x,AF=AE4-EF=5x,

vBF2+AF2=AB2,

.•.4x2+25x2=29,

解得：x=1或一1（舍去），

.-.EF=3,

SEFGH=9,

•••SABCD=29,

S阴影=29-9=20,

这个点落在阴影部分的概率为3

故答案为：|^-

15.古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它

的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2（a>0,b>0）

的方程的图解法是：如图，以3和5为两直角边作口△ABC,再在斜边上截取BD=£则该方程的一个正实

数根等于线段的长.

【答案】AD/DA

【思路引导】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在RtZiABC中，利用勾股定理列出关系式，把

各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可求解.

【完整解答】解：；x2+ax=b2,

•••2+ax+停）2=b2+停）2,即（X十1）2=b2+（0\

AX+7=±Jb2+g）I

则x=±Jb2+—g,

在Rt△ABC中，vAC=b,BC=

•••AB=Jb2+©，

又vBC=BD=

・••图形中线段AD的长是方程x2+ax=b2的一个解，

故答案为：AD.

16.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,连接AC,zACD的平分线交AD于点区过点游DF_LCE于点G,

分别交AC、AB于点队用点尸是线段GC上的任意一点，月.PQ_LAC于点0,连接PH,则下列结论正确的

②CP.CB=CQ.DF；

③SACDE：S^DAF=3:1；

@PH+PQ的最小值是警.

【答案】①②④

【思路引导】①通过证明4CGD三△CGH(ASA),即可求解；

②通过证明△CPQ〜ADFA,即可求解；

③通过证明△CDEs/lDAF,得至］相似比为CD:AD=2:1,即可求解：

④过点H作HT_LCD交于T,交CE于K,过K作KRJ.AC交于R,当P点与K点重合时，PH+PQ有最小值，最小

值为HT的长，证明AABC〜△CTH,得到CT=2HT,由①可知：△CDG三△CHG(ASA),再用勾股定理求

出HT二塔，则问题可求解.

【完整解答】解：结论①：DH=2DG推导：

•••CE平分乙ACD,

:.zDCE=ZACE,

vDG1CE,

zDGC=ZCGH=90°,

:.△CDG=△CHG(ASA)>

DG=GH,

DH=2DG,故①符合题意：

结论②：TCE平分NACD,

:.Z.DCE=Z.ACE,

VPQ1AC,

ZCPQ=90°-zPCQ,

vAB||CD,

:.zAFD=Z.CDG,

vDG1EC,

zCDG=90°-z.DCG,

zDFA="PQ.

.♦.△CPQ-ADFA,

CP_CQ

'CF=AD>

vBC=AD,

.-.CP.BC=DFCQ,结论②正确.

结论③：vZ.ADF=zDCE,

CDEDAF,

CD:AD=2:1,

^△CDE：^ADAF=4：1;结论③错误•

•••CE平分乙DCH,KT1CD,KR1AC,

AKR=KT,

:.KR+KH=KT+KH=HT,

当P点与K点重合时，PH+PQ有最小值，最小值为HT的长,

AB||CD,

zTCH=zBAC,

vzB=90°,HT1CD,

.-.zB=Z.GTC=90°,

.-.△ABC-ACTH,

.BC_AB日口2_4

B|JHT-CTt

:.CT=2HT,

由①可知，ZkCDG三△CHG(ASA),

CH=CD=4,

在Rt^CHT中，(2HT)2+HT2=16,

解得HT=衅，

・•.PH+PQ的最小值为等，结论④正确.

故答案为①②④.

【考点剖析】本题考查矩形的性质，熟练掌握角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，三角形相似的

判定及性质是解题的关键.

三.解答题(本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.)

17.(本题6分)解方程

(1)x2-4x+3=0(用配方法解)

(2)x2+5x+1=0(用公式法解)

【答案】(1)X]=3,x2=1

(2)xi=萼红，x2=^i

【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和用公式法解一元二次方程是解题的关键.

(1)用配方法求解即可；

(2)用公式法求解即可.

【完整解答】(1)解：配方得，X2-4X+4-4+3=0,

即(X-2)2=1,

所以，x-2=±1,

所以，Xi=3,x2=1：

⑵解：a=1,b=5,c=1,

△=b2-4ac=52-4x1x1=25-4=21,

y_-5±VH_-5±V21

2x12-'

解得：勺=带至，Xz=-5-^r

18.(本题6分)(1)先化简，再求值：(#b)(a-b)-a(a-2b),其中a=l,b=2：

(2)如图，菱形力比舛，AB=AC.E、粉别是优业郭J中点，连接他6K证明：四边形力反7泥矩形.

AFD

【答案】（1）-b2+2ab,0；（2）证明见解析.

【思路引导】（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简,然后代人求解即可：

（2）首先根据菱形的性质得到AD||BC,AD=BC,然后根据瓦中）•别是必力屈勺中点，得出AF=CE,根

据一组对边平行且相等证明出四边形力仇7是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出AE1

BC,即可证明出四边形力加提矩形.

【完整解答】（1）（Kb）Ca-b）-aQa-2b）

=a2—b2—a2+2ab

=—b2+2ab

将w=l,。=2代入得：原式=-2?+2x1x2=0；

（2）如图所示，

•・•四边形月娟泥菱形，

AAD||BC,且AD=BC,

乂•：E、/分别是必月珊中点，

・,.AF=CE,

・••四边形然於是平行四边形，

•：AB=AC,蹑比的中点，

AAElBC,gpzAEC=90°,

工平行四边形川%7是矩形.

【考点剖析】此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟

练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理.

19.（本题6分）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转

盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲

转盘中指针所指区域内的数字为用乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一

次，直到指针都指向一个区域为止）.

1I

-20

\^jj/yjjy

甲乙

(D请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|>1的概率；

(2)直接写出点(m,n)落在函数y=x2图象上的概率.

【答案】⑴盘

⑵9

【思路引导】本题考查列表法和树状图，解题的关键是掌握列表法和树状图以及概率公式，即可.

(1)画树状图得出所有等可能的结果数以及|m+n|>1的结果数，再利用概率公式可得出答案：

(2)由树状图可得出所有等可能的结果数以及点(m,n)落在函数y=x2图象上的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

【完整解答】(1)(1)画树状图如下：

共有12种等可能的结果,其中满足|m+n|>1的结果有：(一2,—1),(一2,0),(—1,一1),(1,1),(1,2)共

5种，

.,.|m+n|>1的概率为

(2)由树状图可知，共有12种等可能的结果，

，满足点(m,n)落在函数y=x2图象上的结果有：(一1,1),(1,1),

・••点(m,n)落在函数y=x2图象上的概率为：・=今

20.(本题6分)图①、图②均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称

为格点，点A、B、C、M、N均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求

画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法.

⑵如图②,在线段AB上找一点E,使AE=4BE.

【答案】⑴g

（2）见解析

【思路引导】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

（1）由题意易知AADM〜△BDN,AM=4,BN=3,然后问题可求解；

（2）同（1）的方法构造相似三角形，根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图.

【完整解答】（1）解；山图可知；△ADM-ZkBDN,AM=4,BN=3,

AD_AM_4

'BD=BN=3；

故答案为：］：

（2）线段AB上找一点E,使AE=4BE,所作图形如下：

21.（本题8分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据

市场调杳，销售单价是50元时，每天的销伐量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但

要求销售单价不得超过65元.

（1）若销售单价为每件55元，求每天的销售利润；

（2）要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？

（3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由.

【答案】（1）1350元

（2）60元

（3）不能，见解析

【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，涉及销售利润的计算和方程求解，理解题意、正确列出方程

是关键.

（1）直接计算销但单价为55元时的利润，利用利润公式；

（2）设售价为阮，根据利润公式列方程求解，并考虑售价范围；

（3）列方程判断利润能否达到20J0元，通过判别式判断方程是否有解.

【完整解答】（1）解：销售单价为55元，比50元提高5元，俏售量减少2x5=10（件），销售量为100

-10=90（件）；

利润为（55—40）x90=15x90=1350（元）；

答；每天的销售利涧为1350元；

(2)解：设每件工艺品售价为抚，则俏售量为10。-2(x—50)=(200—2x)件，

由题意得：(x-40)(200-2x)=1600,

整理得：X2-140x4-4800=0,

解得：X]=80,x2=60,

•・•销售单价不得超过65元，

・・・x=80不符合题意，舍去，

答：每件工艺品售价应为60元；

(3)解：设每件工艺品售价为抚，则销售量为(200-2*)件，

由题意得方程：(X-40)(200-2:<)=2000,

整理得：x2-140x4-5000=0,

♦:N-(—140)2-4x1x5000=—400<0,

・••方程无实数解.

答：利润不能达到2000元.

22.(本题8分)在学习矩形的学习过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，

试说明4BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证

明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填

空：

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF,垂足为F(只保留作图痕迹).

在ZkBAE和4EFB中，•••EFj.BC,zEFB=90°.

又vzA=90°,zA=zEFB=90°,

vAD||BC,:.①又•••②BAE=△EFB(AAS).同理可得③

A^ABCF=S4EFB+S^EFC=矩/I^ABPE+5s矩形EFCD=

【答案】作图见解析；乙AEB=MBE,BE=EB,△CDE-△EFC(AAS),各矩形ABCD・

【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、尺规图一作垂线、全等三角形的判定与性质以及面积的推导，

熟练掌握矩形性质和全等三角形判定(AAS)是解题的关键.

本题先通过尺规作图过点E作BC的垂线EF,再利用矩形的性质和全等三角形的判定(AAS)证明三角形全

等，进而推导ABCE与矩形ABCD的面积关系.

【完整解答】解：如图，以E为圆心，适当长度为半径画弧，交BC于两点；分别以这两点为圆心，大于两

点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；连接E与该点，交BC于F,则EF_LBC.

在△BAE和△EFB中,

vEFlBC,

.•./EFB=90°.

又vzA=90°,

.-.zA=zEFB=90°,

vAD||BC,

zAEB=zFBE,

又•:BE=EB,

BAEs△EFB（AAS）.

同理可得△CDE三△EFC（AAS）,

•*,SaBCF=S4EFB+SaEFC=/矩形ABPE+2s矩形EFCD=2s矩形ABCD，

23.（本题8分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，

知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且

为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.90<x<100,氏80三

x<90,6：70<X<80,ZZ60<X<70,得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：

八年级20名学生的竞赛成绩是：66,67,71,81,83,85,85,86,89,90,90,93,93,93,95,96,

98,99,100,100.

九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83,87,86,89,85,88.

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数众数中位数方差

八年级88a9010.3

九年级8894b9.6

九年级抽取学生竞

赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题:

(1)上述图表中的a=____,b=_____,m=______；

(2)若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估

计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？

(3)该校从八、九两个年级竞赛成绩在力组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2

名.现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八

年级的概率.

【答案】(1)93,88.5,30

⑵855

⑶京

O

【思路引导】本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.

(1)根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答.

(2)运用样本估计总体进行列式计算，即口J作答.

(3)先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有1。种，然

后列式计算，即可作答.

【完整解答】(1)解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，93出现次数最多，且为3次，

，众数a=93；

•・•调查20名九年级学生竞赛成绩，

・•・中位数排在第1。和11名之间，

则45%x20=9,即力组有9名学生，

结合成绩情况，得出第1。和11名的竞赛成绩分别是89和88,

又・；B组有6名学生，

则m%=2x100%=30%,

故答案为:93,88.5,30.

(2)解：依题意，900x+800x=495+360=855,

••・佐计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有855人.

(3)解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下:

开始

甲乙丙

Z\/N/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

，一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有•名来自八年级的结果有1。种，

・•・扑到的学生至少有一名来自八年级的概率为卷=}

1Zo

24.(本题12分)我们发现，关于>的一元二次方程ax2+bx+c=0(a=#0),若△:b2—4ac的值是一个完

全平方数(两个相同的数相乘的结果)时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根

都为整数，则△的值一定是一个完全平方数.

定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0())称为“全整根方程”，代数式丝泮

的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)="F：若另一关于x的一元二次方

程px2+qx+r=。(pH0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r),当满足Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c

时，则称一元二次方程ax?+bx+c=0(a力0)是px?+qx+r=0(p00)的“全整根伴侣方程”.

(1)“全整根方程"x2—3x+2=0的“最值码”是_____；

(2)若关于一元二次方程x2—(2m_l)x+m2-2m-3=0(加为整数，且4Vm<15)是“全整根方

程”，求用勺值；

⑶若关于避J一元二次方程、2+(1―01户+111—2=0是'2+(11-1K一!1=0(m,〃均为正整数)的“全

整根伴侣方程”，求m—n的值.

【答案】⑴4

(2)m=9

(3)m—n=2

【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本

题的关键.

(1)直接利用新定义Q(a,b,c)="守计算即可；

(2)通过m的取值范围确定根的判别式b2-4ac的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值,

最后结合m为整数确定m取值；

(3)依次求出方程*2+(1一111户+01—2=0和乂2+(11—1/—11=0的“最值码”，根据“全整根伴侣

方程”的定义列得方程匚竿e-*2」=m-2,结合m,n均为正整数即可求解；读懂题目中“全整

根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关犍.

【完整解答】(1)解：Va=1,b=-3,c=2,4ac-b2=4x1x2-(-3)2=8-9=-1,4a=4,

・•・“全整根方程"x2—3x+2=0的“最值码”是Q(a,b,c)二"咨=

故答案为：

(2)Vx2-(2m-l)x+m2-2m-3=0,

:上=b2—4ac=[—(2m—l)]2—4x1x(m2—2m-3)=4m+13,

V4<m<15,

/.29<4m+13<73,

•・・x2-(2m—l)x+m2-2m-3=0是“全整根方程”，

・・・b2-4ac是完全平方数，

即4m+13是完全平方数，

,・.4m+13=36或49或64,

解得m=个或9或?，

Im为整数,

/.m=9,

(3)解：方程x2+(i-m)x+m-2=0的判别式Ai=(l—m)2-4xlx(m-2)=m2-6m+9=

(m-3)2,

方程x?+(n—l)x—n=。的判别式A?=(n—I)2—4x1x(—n)=n2+2n+1=(n+l)2,

方程x2+(1_m)x+m—2=0的最值码Q1=4(m-2)[l—m)2=_吟受，

方程x2+(n-l)X-n=。的最值码Q2="-n)[n-l)2=_胃丝1,

2

VX+(1-m)x+m-2=0是x2+(n-l)x-n=0的“全整根伴侣方程”，

.•.Q]_Q2=C,即—+=m—

化简整理，得：n2+2n-m2+2m=0,

(n+m)(n—m+2)=0,

n为正整数，

m4-n>0,

m—n—2=0,

m—n=2.

25.(本题12分)在△ABC中，ZACB=45°,点〃(与点反坏重合)为射线BC上一动点，连接AD,以

AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

图①图②

(1)如果AB=AC.如图①，且点底线段BC1：运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.

(2)如果AB>AC,如图②，且点底线段BC上