2025-2026学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2?+3=0B.-2x+4=0

C./2口-]=0D.x2-^=0

x

2.（3分）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了4B,

C三个安检通道.甲从力通道进入体育比赛馆的概率是（)

A.1B.1C.1D.1

432

3.（3分）若&=2,则下列结论一定正确的是（）

y5

A.x=2fy==5B.2.v=5vC.、一=—D.

x+y7y5

4.（3分）如图，正方形力8C。的边长为8,MN〃OC分别交N,在MV上任取两点P,Q,那么图

中阴影部分的面积是（）

A.48B.40C.32D.24

5.（3分）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时

C.3.2cmD.3.6cm

6.（3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而

得到方程的两个根是3和2,因而得到方程的两个根是-1和-2,则原来的方程是（）

A.X2+5X-2=0B.x2+3x-6=OC.x2~3x+6=0D.x2-5x+2=0

第1页（共22页）

7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点力（2,4）,8（6,-2）,相似比为工把△48。缩小（）

C.（・3,1）或（3，・1）D.（・12,4）或（12,-4）

8.（3分）如图，在矩形力8c。中，力。=16a〃，点尸，。分别是边4。，点P,。同时出发，一直到达点力

为止，点。从点4出发以1"内的速度向点C移动，P,。两点运动了（）

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）请你写出一个负整数〃?的值：,使关于x的一元二次方程（x-4）2=〃"3

有实数根.

1（）.（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.如图，为了

估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6左右，则

据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为.

11.（3分）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为

立一、0・618）.如图4C的长为则月8的长为cm.（用

根号表示）

第2页（共22页）

12.（3分）如图，矩形力SCO中，2/106=26。，计算N1的大小为

三、解答题（本题有7小题，共61分）

14.（8分）解方程.

（1）（X-I）2=3（X-1）；

（2）x2-2x-4=0.

15.（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变

化，在课程学习中制作了如图四张除正面内容不同外，将四张卡片背面朝上.（提示：用48,C,D

分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）

火树银花（化学变化）晾干衣服（物理变化）水果发毒（化学变化）冰川消融（物理变化》

ABCD

（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是;

（2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率.

16.（8分）如图，在RtZ\/i8C中，/ACB=90°,AE=CD,AD=EC.

（1）求证：四边形/IQCE为菱形：

（2）若［4=8,NB=60°,求四边形/出CE的面积：

（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线〃4C,交8C于点E保留作图痕迹

第3页（共22页）

A

17.（8分）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，经市场调查

发现，在进货价不变的情况下，日销售量将减少10千克.

（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为.千克，每天共盈利元;

（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少

元？

18.（9分）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？

【数学眼光】如图（。），低角度拍摄，并结合仰拍技巧

【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图"），由于光的直射，8'处，线段48的像是线段力'B',

求证:NC二AC一

Cy-BC'

【数学语言】（2）如图（c）,小美站立在4处，腿部4C的像为4'C.试说明能拍出大长腿效果的

理由.

19.（11分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后,发现一元二次方程根的判别式除了可以判断

一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材

关于根的判别式的探究

素材对于一个关于x的二次三项式af+Zxx+c（a,b,c为

常数，心0）,利用根的判别式可以求该多项式的最

值.比如：求/+2x+5的最小值，令j，=/+2x+5,得

?+2x+（5-y）=0,则A=22-4X1X（5-jO20,

解得y242+2x+5的最小值为4.这种利用判别式求二

第4页（共22页）

次三项式最值的方法称为判别式法.

问题解决

任务1感受新知：用判别式法求4.r+4X・2的最小值：

任务2探索新知：若关于X的二次三项式*+*+2（〃为常数）

的最小值为-2,求〃的值；

任务3应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面

利用墙,

①设需要汨的篱笆是/米，4。=%米，用含/和X的

代数式表示的长为米；

②需要用的篱笆最少是多少米？

橹।------------------1

卸C

A3

20.（11分）【阅读】“关］供”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…

（1）【问题提出】如图（。），力。是△力8c的角平分线，求正：空二世.

ACCD

小明思路：关联”平布:线、等腰三角形”，过点。作"〃4D交84的延长线于点£,利用“三角形相

似”；

小红思路：关联”角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点。分别作。EJ_/出交力〃于点E,作

DFLAC交4c于点F；

请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明.

（2）【理解应用】填空：如图⑹，平行四边形”CQ中，AB=6,AC=7,8E平分N4BC交4c于点

E；

（3）【深度思考】如图（c）,矩形48co中，点£是对角线4。上一点，将△48E沿8E所在直线折叠，

点力恰好落在边4c上的点尸处.若/8=3,求b的长；

（4）【拓展升华】如图（d）,正方形48。。中，G为CD上一点、,将。G沿过点G的直线折叠，使点。

的对应点。'落在4G上，与8c的延长线交于点£.若BG=4祗，4。=8

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第6页（共22页）

2025-2026学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案ABDCBDCA

一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.ZV2+3=0B.-2x+4=0

C.x-^—1=0D.x2-j^=0

x

【解答】解：A.2?+8=0,只含一个未知数，且是整式方程，符合题意;

B.2A'+3=0,不符合题意；

2

C.x-l-i=o,是分式方程，不符合定义；

x

D.A3-y=O,含有两个未知数，不符合题意；

故选：A.

2.（3分）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了4,B,

C三个安检通道.甲从力通道进入体育比赛馆的概率是（）

D.1

【解答】解：•・•体育比赛馆开设了力，B,C三个安检通道,

・•・甲从力通道进入体育比赛馆的概率为1.

3

故选：B.

3.（3分）若区=2,则下列结论定正确的是（）

y5

A.x=2,y=5B.2x=5yC.」一二5D,也上

x+y7y5

【解答】解：•・•三=z,

y5

.*.8x=2y,-X—=2,x+f=Z-,

x+y8y5

故选项。符合题意.

第7页（共22页）

故选：D.

4.（3分）如图，正方形48co的边长为8,MN〃QC分别交40,M在MV上任取两点尸，Q,那么图

中阴影部分的面积是（）

A.48B.40C.32D.24

【解答】解：过点、P作直线EFL4BG于点E,交CD于EF,如图所示：

•・•四边形力8c。是正方形，且边长为8,

：,AB=BC=CD=8,/ABC=NBCD=90°,S正方形48CQ=22=64,

:.EFLCD,

<MN〃DC,

:.EF工MN,QHS-MN,

:・NBEF=NCFE=NEBC=NBCF=90°,NFPQ=NPQH=NQHF=NHFP=90°,

・•・四边形EBCF和是四边形QPFH都是矩形，

:.EF=BC=8,QH=PF,

/.PE+QH=PE+PF=EF=6,

由二角形的面积公式得：S^APB=--^4B*PE=^-»S^DCQ=^-CD*QH=^-i

2242

••・S△/。8+SAOC0=3X（PE+QH）=4X8=32,

「•S阴影=S正方形4BCD-（S“PB+S△DCQ）=64-32=32.

故选：C.

5.（3分）如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如图所示，此时

液面AB的宽度是（）

第8页（共22页）

C.3.2c，〃D.3.6crn

【解答】解：如图：过点。作OEJ_CQ,交4B千点F,

：,ZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

:.△OABsAocD,

・AB=OF

**CD而"

.AB-10-6

••614-81

解得:AB=3f

••・此时液面AB的宽度是3cm,

故选：B.

6.（3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而

得到方程的两个根是3和2,因而得到方程的两个根是-1和-2,则原来的方程是（）

A.7+5》-2=0B.F+3X-6=0C.x2-3x+6=0D.x2-5x+2=0

【解答】解：设原方程为了+及+c=0,

•・•小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是2和2,

:.-b=3+5=5,

:.b=-5；

•・•小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-3和-2,

第9页（共22页）

・・・c=-IX(-4)=2,

，原来的方程是f-8x+2=0.

故选：D.

7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（2,4）,8（6,・2）,相似比为1,把△480缩小（）

2

A.（3,-1）B.（12,-4）

C.（-3,1）或（3,-1）D.（-12,4）或（12,-4）

【解答】解：由题意知，当点9与点A在点O的同侧时6><工，即（3：

42

当点夕与点8在点。的异侧时，点4的对应点，的坐标是（-工X6,--X1）•

86

，点8的对应点4,的坐标是（-7,1）或（3.

故选：C.

8.（3分）如图，在矩形NACO中，AD=16cm,点、P,。分别是边力。，点RQ同时出发，一直到达点力

为止，点。从点8出发以1c”内的速度向点C移动，P,。两点运动了（）

0

A1--------------

A.或7sB.四威7sC.纥D.7s

333

【解答】解；164-2=8（5）.

过点P作PE1BC于点E,则PE=\2cm,

当运动时间为/（6WfW8）s时,DP=2tcm,CQ=（16-/）cm,

根据题意得：PE7+QE2=PQ2,

即128+（16-3/）2=135,

整理得:（16-3/）2=25,

第10页（共22页）

解得：Z8=­，，2=4,

3

••・P,。两点运动了号.

故选：A.

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）请你写出一个负整数，的的值：・3（答案不唯•）,使关于x的一元二次方程（x・4）2

=〃?+3有实数根.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程（x-4）2=〃叶3有实数根，

，〃?+320,

m>-6»

・•・〃？的值可以为-3.

故答案为：-3（答案不唯一）.

10.（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.如图，为了

估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6左右，则

据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为15.

【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,

据此可以估计黑色部分的面积为6X5X0.8=15.

故答案为：15.

11.（3分）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为

娓-1

0.618）-如图力C的长为4a",则48的长为L2V5-2)cm,（川根号表

2

第11页（共22页）

示）

【解答】解：・・・4为/1C的黄金分割点，RAB>BC,

.AB-V5-1

**AC4

AC=4cm,

：.AB=^~6~22^4-2）cw，

22

故答案为：（2芯-2）.

12.（3分）如图，矩形力8CO中，NADB=26：计算N1的大小为58°

【解答】解：如图,

•・•四边形/4CO是矩形,

AZJ=90°,

AZABD=90Q-/力力4=64〉,

由作图可知BE平分N/8D,

:・/EBD=L/ABD=32。，

2

由作图可知直线/垂直平分线段BD,

；・NB0E=9Q°，

••・/8=/8EO=90°-32°=58°.

故答案为：58.

第12页（共22页）

三、解答题（本题有7小题，共61分）

14.（8分）解方程.

(1)(x-1)2=3(x-1)；

(2)x1-2x-4=0.

【解答】解：(1)(%-1)2=7(x-1),

(x-1)3-3(x-1)=8,

(x-1)(x-1-3)=0,

(x-1)(x-3)=0,

x・1=8或x-4=0,

X7=l,X2=4;

（2）X2-2X-5=0,

x2-2x=4,

x2-5x+1=4+2,

（x-1）2=5,

x-1=±V5»

X3=l+V5»X8=l-V5.

15.（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变

化，在课程学习中制作了如图四张除正面内容不同外.将四张卡片背面朝上.（提示：用4C,D

分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）

火树银花（化学变化）晾干衣服（物理变化）水果发毒（化学变化）冰川消融（物理变化）

ABCD

（1）从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是——;

2

（2）从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的R•片内容都是物理变化的概率.

【解答】解：（1）•・•共有4张卡片，其中8和。是物理变化，

・•・从中随机抽取一张，则抽到的片片内容是物理变化的概率是

72

故答案为：3；

2

第13页（共22页）

（2）画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中抽取抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，

所以从中随机抽取两张，抽到的卡片内容都是物理变化的概率为卫二L.

126

16.（8分）如图，在RtZ\/14。中，NACB=9（Y：AE=CD,AD=EC.

<1）求证：四边形力。CE为菱形；

（2）若力8=8,NB=60°,求四边形力ACE的面积；

（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线。/〃/C,交BC于点尸,保留作图痕迹

【解答】(1)证明：・・・/4。8=90°,。是力8的中点,

：・CD=AD,

•:AE=CD,AD=EC.

：.AE=CD=AD=EC,

・•・四边形/OCE为菱形；

(2)解：VZ5=60°,

・・.〃C=L3=7,

2

:・AC=gBC=Ki,

・・・&/5C=Lx2X4而百，

2

是月8的中点，

S4,ACD=工8MBC=2X8A/4^/3»

22

•・•四边形4）以为菱形,

第14页（共22页）

**•S^ACD—，

••・四边形ABCE的面积=S△花＞S〃ZQ=4我+7我返;

（3）解：如图，。少为所作.

17.（8分）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，经市场调杳

发现，在进货价不变的情况下，日销售量将减少10千克.

（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为480千克，每天共盈利3360元;

（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少

元？

【解答】解：（1）根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为15+2・10

=5（元）,

・•・每天共盈利7X480=3360（元）.

故答案为：480,3360：

（2）设水果批发价每千克涨价x元，则每千克的销售利润为（15+x-10）元,

根据题意得：（15+x-10）（500-10%）=4500,

整理得:%2-45x4-200=8,

解得：xi=5,X5=4O,

又：要使顾客得到实惠,

答：水果批发价每千克应涨价5元.

18.（9分）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？

【数学眼光】如图（。），低角度拍摄，并结合仰拍技巧

【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图（力），由于光的直射，夕处，线段48的像是线段4B1,

求证：

第15页（共22页）

【数学语言】（2）如图（c）,小美站立在4处，腿部4c的像为4'C.试说明能拍出大长腿效果的

理由.

*：A'B'//AB,

43cos丛BCO,

yZz

.CQ=ACC'OfC’

COAC，COBC

z

•.A•'C_—B'C'•

ACBC

•.A•'IC‘--B-‘--C---;

ACBC

（2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即苫■*＞吉），则能拍出大长腿

的效果.

理由：过点夕作"E〃AB交AY）于点、E,连接CC交配E于点、F,

•・•摄影师仰拍，

/.NAEB，是AEOF的外角.

/./AEBANEFO.

工过点E作CC的平行线交线段4夕于点G.

第16页（共22页）

B

由（1）得里一=£.

FB，BC

'：EG//CC\

・EF二GC，

工厂下B，，

・GCZ_AC

飞B，-BC'

V/l'OGC,

・A，C'、AC

19.（11分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断

一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材

关F根的判别式的探究

素材对于一个关于x的二次三项式ad+以J,b,c为

常数，aWO）,利用根的判别式可以求该多项式的最

值.比如：求/+2x+5的最小值，令y=/+2x+5,得

?+2x+（5-y）=0,则△=22-4X1X15-y）20,

解得代4?+2x+5的最小值为4.这种利用判别式求二

次三项式最值的方法称为判别式法.

问题解决

任务1感受新知：用判别式法求4f+4x-2的最小值；

任务2探索新知：若关于x的二次三项式*+亦+2（〃为常数）

的最小值为-2,求。的值；

任务3应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面

利用墙，

第17页（共22页）

①设需要用的篱笆是/米，4O=x米，用含/和x的

代数式表示的长为米；

②需要用的篱笆最少是多少米?

【解答】解：任务1：令尸4』+4x-2得取2+4..（2+＞）=0,

则A=48_4X4X[_（5+）0]=16+32+灯=48+卬25,

解得y2・12,

所以4X2+4X-2的最小值为-12；

任务2：由题意，令歹=/+。犷2,

...W+ax+S・y=0,

AA=a2-5X1X(2-y)24,

又最小值为-2,

.•・8~J=-2,

4

・"=±8；

任务3：①设4O=x米，则/8=(/-4x)米;

②根据题意得:x(/-3x)=400,

整理得:4X2-/x+400=2,

AA=/2-4X3X400^0,

."280,

••・需要用的篱笆最少是80米.

20.（11分）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…

（1）【问题提出】如图"），力。是△/4C的角平分线，求证：级=理.

ACCD

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE〃/D交84的延长线于点£利用“三角形相

似”；

小红思路：关联''角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点。分别作。E_L48交力8于点E,作

DF工力