2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷【常州专用测试范围：苏科版九年级上册第一章~第二章】（全解全析）

九年级数学上学期期中模拟卷（常州专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版九上第一章〜第二章。

第一部分（选择题共16分）

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.将一元二次方程4/=3,5x化为一般形式后，常数项为-3,则一次项系数是（）

A.-5B.5C.4D.-4

【答案】A

【详解】解：••一元二次方程4/=3+5x化为一般形式后，常数项为-3,

••.一般形式为4/-5x-3=0,

•••一次项系数是-5,

故选：A.

2.将方程/+4x=9降次转化为一元一次方程，得（）

A.x=3,x+4=3B.x=l,x+4=9

C.x+2=VTJ>x+2=->/\3D.x—VTJ，x=-yf\3

【答案】C

【详解】解：•-2+4尸9，

2

两边都加4得：X+4X+4=13，

•••（K+2）2=13,

二x+2=而或x+2=-V13，

故选：c.

3.已知点掰1,2)，点尸(5,2).若。4的半径为5,则点P与的位置关系是()

A.点。在内B.点P在。力上C.点。在。力外D.无法确定

【答案】A

【详解】解：•.•点4(1,2),点尸(5,2),

"IIx轴,

:.AP=5-1=4<5»

二点。在04内，

故选:A.

4.问题懈方程3X+3=0”，嘉嘉说“其中一个解是X=1"，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的

和为3”，珍珍说“从-4而<0,此方程无实数根”，判断下列结论正确的是()

A.嘉嘉说得对B.琪琪说得对

C.珍珍说得对D.三名同学说法都不对

【答案】C

【详解】解：方程丁-3x+3=0中，。=1,b=-3,c=3,

:.及-4r/c=(-3)--4x1x3=-3<0,

此时方程无实数根，珍珍说得对.

故选：C.

5.如图，A,B,C是。。上的三点，△/3c是等边三角形.若”=3,则。。的半径是()

222

【答案】C

【详解】解:如图，

易得8。平分N/BC,

/.NOBE=30。,

:.OE=-OB.

2

-OE2+BE2=OB2,

(\V小2

-OB+—=082,

(2)⑶

解得Q?=G.

故选：c.

6.如图，在。。的内接四边形力SC。中，々=62。，48=39。，则NC4O=()

【答案】A

【详解】解：•••4=62。，

.*.ZZ)=180°-Z5=118°,

•••4CZ)=39。，

Z.CAD=180°-ZD-ZACD=23°，

故选：A.

7.九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份

留言.如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）

A.当』=870B.当4=870C.x(x-l)=870D.x(x+l)=870

【答案】C

【详解】解：假设全班有％名学生，根据题意得,

x(.r-1)=870

故选：C.

8.如图，正方形/18CZ）中，48=4,£•是8c的中点.以点。为圆心，CE长为半径画圆，点P是。。上

一动点，点下是边力。上一动点，连接力尸，若点。是/P的中点，连接FQ,则8尸+尸。的最小值为

A.2A/1()-1B.2A/10+1C.713+1D.y/\3—1

【答案】A

【详解】解：如图，取点4关于直线力。的对称点连接80、力C两线交于点O,连接。0,CP.

：.OQ=^CP=\t

二点。在以。为圆心，半径为1的圆上运动,

,••四边形/8C。为正方形，

AC1BD,OA=OB,

：.0N=AN=BN=-AB=2,

2

•.•4必=14=4,

MN=4+2=6,

••OM=NMN〜ON?=2布，

vBF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OM,

・•・当M、F、Q、。四点共线时，8尸+尸。+0。的值最小，8口+/。+。。的最小值为。0=2而，

BF+FQ的最小值为2瓦-1,

故选:A.

第二部分(非选择题共104分)

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

9.方程/=3》的解为：.

【答案】x=0或x=3

【详解】解：一=3》，

x2-3x=0»

x(x-3)=0,

x=0或x-3=0,

解得：x=0或x=3.

故答案为：工=0或%=3.

10.用一个圆心角为120。的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为2cm,则扇形的半径为—cm.

【答案】6

【详解】解：设扇形的半径为〃cm,

•・•扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，

.•.塔二2乂21，解得：,・=6.

180

答：扇形的半径为6cm.

故答案为：6.

II.如图，在宽为20m,K30m的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地

的面积为500n?,若设路宽为布，则可列方程为:

【答案】(30-x)(20-x)=500

【详解】解：设路宽为xm,

则耕地的长应该为(30-x)m,宽应该为(20-x)m；

根据面积公式可得：(30-x)(20-x)=500,

故答案为：(30-x)(20-x)=500.

12.方程/一%+20=0的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为

【答案】4或3

22

【详解】解：•••——9》+20=0,

.­.(J-4)(X-5)=0,

贝"4=0或工一5=0,

解得王=4,七=5.

•.•方程X?-%+20=0的两个根分别是直角三角形两边边长，

当4,5是两直角边长时，

则斜边长为J42+52=向，

这个直角三角形的外接圆半径为”，

2

当5是斜边边长时，

则另一条直角边长为二7'=3，

则这个直角三角形的外接圆半径为：，

2

故答案为：坦或;.

22

13.已知心夕是方程工2一3》-1=0的两个根，则。?+3尸=.

【答案】10

【洋解】解：.•飞夕是方程1=0的两个根,

a2-3a-l=0»

a~=3a+l，

.•.£+3夕=3。+3夕+1,

根括跟与系数的关系可得a+〃=3,

+34=3a+34+1=3x3+1=10

故答案为：10.

14.如图，点A、B、C、。在0。上，NC4B=20°,则/。阳为

【答案】20答20度

【详解】解：•.•点A、B、C、。在。。上，NC48=20。，

:"CDB=/CAB=20°,

故答案为：20°.

15.已知三角形的两边长分别是乙和7,第三边长是方程20x+99=0的根，则第三边的边长是

【答案】9

【详解】解：/-20x+99=0,

(x-ll)(x-9)=0,

x-9=0,x-11=0,

解得：％=9；x2=11,

•.•4+7=11,

由于三角形两边之和大于第三边,

只能取x=9.

故答案为：9.

16.如图，PA＞尸6分别与。。相切丁月、B,。为。。上点，Z/1CB=126°,则ZP的度数为

A

•O

/CK\

【答案】72。/72度

【详解】解：在优弧力A卜取一点。,连接彳。、RD、04、OB.

•.•ZACB+力=180。，4c8=126。，

.•.〃二180。-4。8=54。，

「.408=22=108。，

•；P/1、依分别与。。相切，

NOAP=NOBP=9M,

・..”=360°-^OAP-zLOBP-4OB=360°-90°-90°-108°=72°.

G故答案为：72。.

17.如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上A点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹

为圆弧，对方在中轴上8点有一随碍壶，48=16米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方

冰壶撞开，则圆弧的半径为.

领会yg⑥

【答案】10米/10m

【详解】解：依题意，48,。三点共圆，如图，

设圆弧的半径为「，过点。作_L力4交ACB于点E,

•.48=16,DE=4,

.•.力。=8,OD=r-4

在Rt△力。0中，AO2=AD2+OD2

r=82+(-4『

解得：〃二10

故答案为：10米.

18.如图，在平面直角坐标系中，8(0,4),力(3,0),OJ的半径为2,P为。4上任意一点,C是8尸的中

【详解】解：如图，连接力4,取力8的中点〃，连接。/、HO.

-BC=CP,BH=AH,。力的必径为2,

：.CH=-PA=\,

2

•••点。的运动轨迹是以“为圆心半径为1的圆，

v5(0,4),4(3,0),

.,.”(1.5,2),

-OH=>J].52+22=2.5»

•••0。的最大值OH+CH=3.5,

故答案为：3.5.

三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.(本题8分)解方程.

(1)3X2+2X-1=O(因式分解法)

⑵/+x-3=0(公式法)

【答案】(1)芭二—1，x2=1

0-1+V13-1-V13

【详解】(1)解：3X2+2X-1=0,

(x+l)(3x-l)=0,

••・x+l=0或力-1=0,

⑵解：X2+X-3=0

a=l,b=l,c=-3

A=/r-4ac=l2-4x1x(-3)=13

-b±\lb~-4ac-\±yf\3

2a2

-1+V13-1-V13

xi=2，=2

20.(本题8分)已知关于x的一元二次方程f-2(k+l)x+公+2=0.

(1)若方程的一个根为2,求〃的值；

(2)若方程有实数根，求〃的取值范围.

【答案】（1”=2±近

（2）^!

【详解】（1）解：把x=2代入■?一2（〃+1）1+公+2=0得％2一4*+2=0,

解得人把巫王坦与2士加;

（2）解：•.■方程有实数根.

.*.A=[2（）t+l）]2-4xlx（^2+2）＞0,

.4的取值范围为左之^.

21.（本题8分）如图，CO是。。的直径，力8为。。的一条弦（不为直径），点厂是48与CO的交点，AC=BC，

彳8=12,6=2.

0F

（1）判断力8与。的位置关系，并说明理由:

（2）求。。的半径.

【答案】（1）44，CO,理由见解析

⑵10

【详解】（1）解：AB1CD,理由如下：

如图所示，连接。4，OB,

'-AC=BC>

••./AOC=/BOC,

-：OA=OB,

：.NOAB=NOBA,

：ZFO=ABFO,

•.41FO+ZBFO=180。,

：.ZAFO=ABFO=90。,

:.ABICD：

（2）解：•••481CO,CD是。。的直径，

：.AF=BF=LAB=6,

2

设。。的半径为〃，则OF=OC-CF=/-2,

.•.在Ra/。产中，OA2=OF2+AF2,

.•./=（一2『+6],

r=10,

••・。。的半径为10.

22.（本题8分）为进一步提高某届学生的阅读量，学校积极开展课外阅读活动，目标将该届学生人均阅读

量从刚上七年级的80万字增加到八年级结束时的115.2万字.

（1）求该届学生人均阅读量这两年中每年的平均增长率；

（2）若按这两年中每年的平均增长率增长，学校能否实现九年级结束时该届学生人均阅读量达到140万字的

目标，请计算说明.

【答案】（1）20%

（2）学校的目标不能实现，说明见解析

【详解】（1）解：（1）设该届学生每学年学生人均阅读量的平均增长率为X,根据题意得，

80（1+力2=115.2,

解得X]=-2.2（舍去），x2=0.2=20%.

答：增长率为20%.

（2）（2）按照（1）中的阅读量增长率，九年级的人均阅读量为115.2x（1+0.2）=138.24（万字），

•.T9>138.24,.•.学校的目标不能实现.

23.（本题8分）平安路上，多“盔”有你.在“交通安全宣传月''期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40

元，售价为每顶60元.平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调

查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少

元？

【答案】每顶头盔应降价5元.

【详解】解：设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（60-x-40）元，平均每周的销售量为

（100+20力顶,

依题意得：(60-%一40)(100+20x)=3000.

整理得:X2-15X+50=0,

解得：再=5,X,=10,

v6（）-x>50,

.,*<10，

A—5，

答：每顶头盔应降价5元.

24.（本题8分）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原

理.如图1,表示地球，点尸是支点.

（1）请用无刻度的直尺和圆规在图I中作出撬起地球的杠杆（直线/），使其经过点P，且与。。相切于点

D.（标明字母，保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图2,连接OP交。。于点8,延长尸。交。。于点A,。为力8下方的。。上一点，且480=15。，在

图I的条件下，若。为正的中点，求的度数.

【答案】（1）见解析

（2）15°

【详解】（1）解：如图（1）,直线/即为所求作的直线:

：.0D1PD,

是前的中点,

/.CB1OD,

BC//PD,

.'.ZOPD=ZABC=\5°.

25.（本题8分）如图，在矩形/BCD中，AB=5cm,BC=6cm,点尸从点A开始沿边向终点8以IcnVs

的速度移动，与此同时，点。从点8开始沿边8C向终点C以2cm/s的速度移动.如果P,。分别从A,B

同时出发，当点。运动到点。时，两点停止运动.设运动时间为，秒.（。</<3）.

（1）当/为何值时，尸。的长度等于5cm?

（2）连接PC,是否存在Z的值，使得△PQC的面积等于8cm2?若存在，请求出此时/的值；若不存在，请说

明理由.

【答案】（1”=2

⑵存在，t=\

【详解】（1）解：在矩形48co中，AB=5cm.«C=6cm,点p从点A开始沿边力8向终点3以lcm/s的速

度移动，与此同时，点。从点SJT始沿边8C向终点。以2cm/s的速度移动，设运动时间为f秒（0<1<3）,

/.BQ=2/cm,AP=tCvr\,

:.PB=4BTP=（5-f）cm,

•••四边形川?CO是矩形，

.♦.NB=90。，

在RtZ\P8。中，由勾股定理得P02=P炉+8。，

.\（5-/）2+（2/）2=52,

解得乙二0（舍去），G=2,

.・・当£=2时，。。的长度等于5cm；

（2）由题意得：CQ=BC-BQ=（6-2t）cm,

•••△尸0c的面积等于8cm一

?.-CQPB=8,

2

二.：（5-）（6-2r）=8,

/-87+7=0，

.1=1或f=7（舍去），

.・・当£=1时，使得△尸。。的面积等于8cm2.

26.（本题8分）如图，△力4c中，AB=AC,以48为直径作00交AC于点。，作。石上力。交力。于点

E,延长石。交力4的延长线于点

（1）求证：OE是圆。的切线；

（2）若△/AC为等边三角形，4E=3,求圆。半径的长.

【答案】（1）见详解

(2)2

【详解】（1）证明：连接O。,

•••AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

•/OB=OD,

:.ZABC=/ODB,

ZACB=NODB,

:.0D〃AC,

•：DELAC,

:.ODLDE,

•••OD是。。的半径，

。七是的切线；

(2)解：•••18C为等边三角形，

/ABC=NBAC=ZC=60°,

•・•初是。。的直径，

ZADB=ZADC=90°,

ZE4D=NCAD=30°,DE1+AE2=AD2,

/.AD=IDE,

DE2+32=4DE2,

:.DE—6

?.AD=273

在RtZUB。中，AB=2BD,BD:+AD2=AB2>

=4BD：

：.BD=2,

AB-4.

.•・0。半径的长为2.

27.(本题10分)阅读材料，并解决问题.

【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以

.d+2x-35=0为例，构造方法如下:

首先将方程/+2X-35=0变形为X(X+2)=35,然后画四个长为X+2,宽为x的矩形，按如图1所示的方

式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为(x+x+2)、还可表示为四个矩形与一个边

长为2的小正方形面积之和，R|J4x(x+2)+22=4x35+4.因此，可得新方程(x+x+2『=144.因为x表示

边长，所以2x+2=12,即x=4.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.

【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程叙-12=0(x>0)的

正确构图是.(从序号①②③中选择)

①①③

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程"+3x-2=0,请将其解答过程补充完整:

第一步：将原方程变形为,5+|%-1=0,即x(—)=1；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程,解得原方程的一个根为

【拓展应用】一般地，对于形如犬+外=6的一元二次方程可以构造图2来解.

已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4,那么此方程的系数。=

b=•求得方程的正根为.

【答案】【理解应用】②

【类比迁移】工+小卜+工+目=4xl+^-|；x=g

【拓展应用】±2：3：1或3

【详解】解:［理解应用］

丁-4%-12=0(x>0)变形为x(x-4)=12(x>0),

如图所示，

①②③

图①•个长方形的面积为：4x3：图②•个长方形的面积为6x2；图③•个长方形的面积为：7x3；

.•.当x=4时，4x(4-4)/12,不符合题意；

当工=6时,6x(6-4)=6x2=12,符合题意;

当x=7时，7x(7-4)=7x3^12,不符合题意，

故选：

［类比迁移］第一步：将原方程变形为421=0,即+露1；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程卜+x+gj=4x1+||j,解得原方程的一个根为x:

故答案为：x+1'；（x+x+'|）=4xl+（'|；x=g;

［拓展应用］••・f+aub

.•.xjx+a）=b,

四个小矩形的面积为6，大正方形的面积是（x+x+q））其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形

的面积，即4x6+/,

•••图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4,

•"=3,a2=4f

解仔，b=3,a=±2,

当G=2时，（x+x+2）2=4x3+4,

十2=4,

解得，x=l，即方程的一个正根为1;

当a=-2时，（x+x-2『=4x3+4,

Zv-2=4,

解得，x=3,即方程的一个正根为3；

综上所述，方程的一个正根为1或3,

故答案为：±2,3,1或3.

28.（本题10分）（1）如图1,在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门。。，当他带球